抽注水引起含水层水平径向运动的位移方程

量，即孔隙水相对于固体颗粒的多孔介质单位过流 r 断面上的平均流速，vs 为骨架颗粒流速； 而 β w 被定 1 ∂ρ w ， 义为[1 2] β w = ，其中 ρ w 为水的密度。式(9) ρ w ∂p 的物理意义是，单位时间内通过单位体积的含水层
第 24 卷 第 10 期
冉兴龙等. 抽注水引起含水层水平径向运动的位移方程
～ 8]
假定垂直方向零应变( ε zz = 0，ε = ε rr + ε θθ )，将 式(1)，(2)相加，得 ′ + σ θθ ′ = 2(G + λ )ε σ rr 而这时式(4)变为
(5)
′ + σ θθ ′ = σ rr
σ′ σ zz − p zz = ν ν
(6)
将式(6)代入式(5)得
EQUATION FOR HORIZONTAL-RADIAL DISPLACEMENT OF AQUIFER CAUSED BY WATER-PUMPING/INJECTION
RAN Xing-long1 2，XIA Bin1
，
(1. Laboratory of Marginal Sea Geology，Guangzhou Institute of Geochemistry and South China Sea Institute of Oceanology， Chinese Academy of Sciences，Guangzhou 510640，China；2. Environmental Sciences and Engineering College，Chang′ an University，Xi′ an 710054，China)
• 1689・
控制体的控制面，净流出的水与介质颗粒的体积等 于同时间内该控制体内由于孔隙水压力的下降导致 孔隙水膨胀而增大的体积。对式(9)在某一空间多孔 介质区域 Ω 上作体积分，即 r ∂h ∫Ω (∇ ⋅ qb )dΩ = −∫Ω nβ w ρ w g ∂t dΩ 式(10)的左端利用奥–高公式就变为
1 ∂ (rq) 1 ∂ (rvr ) ∂h + = −nβ w ρ w g r ∂r r ∂r ∂t
(13)
(10)
设 u r 为颗粒的径向位移量(离井方向为正)，则 ∂u r vr = ，将这个关系式代入式(13)得 ∂t
1 ∂ (rq ) 1 ∂u r ∂ 2 u r ∂h + + = −nβ w ρ w g r ∂r r ∂t ∂r∂t ∂t
(1) (2 为散度算符， qb 为体通量， r r r r r qb 对多孔介质定义为 qb = vs + q ，其中 q 为比流
r ∂h ∇ ⋅ q b = −nβ w ρ w g ∂t
(9)
β w 为水的体积弹性压缩系数。以体积单元为基础，
′ 为有效主应力；σ ii 为总主应力；p 为流体 式中：σ ii 压力； ε ii 为应变分量； ε ≡ ε rr + ε θθ + ε zz 为骨架体应 变； G = E / 2(1 + ν ) 为剪切模量，其中 E 为杨氏模 量， ν 为干土泊松比； λ 为拉梅弹性常数，其与 E 和 ν 的关系为 λ = Eν /[(1 + ν )(1 − 2ν )] 。如果在同样
，这是一个矛
σ zz − p = 2(G + λ )ε ν
(7)
盾。而根据文[9]的研究，对含水层抽注水产生的形 变是以水平方向为主的，这又是一个矛盾。因此， 有必要推导出含水层水平方向弹性形变条件下的形 变方程，建立相应条件下位移方程系数的定义式， 并与传统方程和相应参数的定义式进行对比。本文 着重对含水层水平面形变和渗流问题的轴对称情形 进行研究，因为这是最常见和最容易求解的含水层 形变与渗流问题，水平等厚、无限展布、均质各向 同性的承压含水层中的抽注水问题(以 Theis 井流模 型为代表)就属于这种情形[5
第 24 卷 第 10 期 2005 年 5 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 No.10 May，2005
抽注水引起含水层水平径向运动的位移方程
冉兴龙 1 2，夏
，
斌1
(1. 中国科学院 广州地球化学研究所与南海海洋研究所边缘海地质重点试验室，广东 广州 510640； 2. 长安大学 环境科学与工程学院，陕西 西安 710054)
3.1 含水层的质量守恒方程 在忽略骨架颗粒本身的压缩性且假定骨架颗粒 与水的均质性的前提下， 文[10]将文[11]给出的以孔 隙流速和颗粒流速表达的三维固结多孔介质的质量 守恒方程改写成如下的形式：
′ = σ rr − p = 2Gε rr + λε σ rr ′ = σ θθ − p = 2Gε θθ + λε σ θθ ′ = σ zz − p = 2Gε zz + λε σ zz
skeletal elastic water storage in the subsidence model is obtained from pumping test. Key words：soil mechanics；horizontal-radial elastic deformation；displacement equation；flow equation；water storage；coefficient
。
2
基本假定及孔隙水头与体应变的关 系方程
在垂向圆柱坐标下(水平径向坐标 r，水平切向
3
含水层的质量守恒方程与水流的 质量守恒方程
弧度坐标 θ ，垂向坐标 z)，设压应力取正，压缩应 变取正，对空间轴对称问题(对称轴为 z)，根据广义 Hooke 定律，假定初始时刻含水层系统不受应力作 用，那么在垂向圆柱坐标下均质各向同性多孔介质 中弹性应力–应变本构关系可以引用文 [4] 给出的 空间直角坐标系下的本构关系 ( 之所以能够引用是 因为两种坐标系同为正交坐标系)表达为
摘要：在垂直方向零应变、垂直方向总荷载不变、忽略骨架颗粒本身的压缩性、骨架颗粒与水分别为均质的假定 条件下，推导出均质各向同性多孔介质水平面轴对称径向弹性形变下的位移方程。它与传统假定(Jacob 假定)下的 水平面轴对称位移方程在形式上没有区别，只是方程中的系数定义式有所不同。新位移方程的系数也比传统假定 下的位移方程的系数大，但也仍为常数。如果方程中的系数通过野外试验或模型识别来确定，则对传统假定下的 水平面轴对称位移方程与所给出的新方程就没有必要进行区分。但利用抽水试验确定的骨架弹性储水率计算垂向 压缩量时，则计算值偏大。 关键词：土力学；水平径向弹性形变；位移方程；水流方程；储水率；系数 中图分类号：TU 433；P 641.2 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)10–1687–05
(14)
∫
A
(q b ) n dA = − ∫ nβ w ρ w g
Ω
r 式中：A 为空间区域 Ω 的外表面，(qb ) n 为 qb 在表面 r A 外法线方向(单位向量为 n )上的投影。式(11)的物 理意义与式(9)相比除控制体为任意大小外，并没有 变化。 对水平面 S 内的轴对称径向渗流和轴对称径向 颗粒位移问题(即忽略竖向位移和切向位移的存在)， 可以取通过径向流的中心(井点)的平面法线为轴的 微元圆环含水层 ( 内径为 r ，外径为 r + dr ) 控制 体，如图 1 所示。图中 b 为含水层厚度，对轴对称 问题为常数； vr ，q， qb 分别为内圈上的径向颗粒 位移速度、 径向比流量及径向体通量(均规定离井方 向为正，向井方向为负)， dr 为极径的微分增量， 则以上积分形式的质量连续性方程(式(11))， 在极坐 标下在该控制体上转化为
Abstract：The displacement equation for horizontal axisymmetric deformation of aquifer，as a homogeneous and isotropic porous medium，is developed under assumptions that matrix material is perfectly elastic，that skeletal particles and water are homogeneous and are not compressible，and that changes of pore pressure in the aquifer lead only to horizontal displacements of the solid skeleton of the formation with constant vertical mechanical loading， but not to vertical displacements. Compared with the corresponding equations developed under traditional assumptions (Jacob assumptions)， the new equations have the same structural form but with a different coefficient. The new-defined displacement coefficient，though still constant，is greater than traditional one. The new equation should be distinguished from the traditional one unless the coefficients in them are obtained by field tests in the fields or model calibration. The calculation value of vertical compaction will be bigger than its actual value if the