北师版数学高一-2.3素材 空间直角坐标系的应用

空间直角坐标系的应用

空间直角坐标系是在平面坐标系的基础上，通过类比推广建立的，从而可以将“坐标法”推广到空间去解决空间几何体问题.利用空间直角坐标系解题时，依据几何体的特点建立适当的坐标系是解决问题的基础，合理、准确地求出相关点的坐标是解决问题的关键.与此同时，还要掌握空间直角坐标系中一些特殊点的坐标特点，主要有：

（1）点P 在Ox 轴上时，其坐标为(00)x ，，；点P 在Oy 轴上时，其坐标为(00)y ，，；点P 在Oz 轴上时，其坐标为(00)z ，，．

（2）点P 分别在xOy 坐标平面，yOz 坐标平面或xOz 坐标平面时，其坐标分别为(0)(0)P x y P y z ，，，，，或(0)P x z ，，．

（3）点()P x y z ，，关于x 轴对称的点为1()Q x y z --，，；关于y 轴对称的点为2()Q x y z --，，；关于z 对称的点3()Q x y z --，，．关于xOy 平面对称的点为4()Q x y z -，，；关于yOz 平面对称的点为5()Q x y z -，，；关于xOz 平面对称的点为6()Q x y z -，，．

下面举例说明其应用．

例1 已知(234)A -，，，在y 轴上求一点B ，使7AB =，则点B 的坐标为 ． 解析：由题意，设点B 的坐标为(00)y ，，

7=，

解得3y =±

故点B

的坐标为(03B ，

或(03B ，．

例2 已知点3(331)(105)124A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，，，，，，，，． （1）求线段AB 中点D 的坐标；

（2）证明：AC BC =；

（3）求到A B ，两点距离相等的点()P x y z ，，的坐标x y z ，，所满足的条件． 解析：（1）设线段AB 中点D 的坐标为()x y z ，，， 则312302152x y z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩

，，，即3232D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． （2）由空间两点间的距离公式，得

AC ，

BC =，

AC BC ∴=． （3）点()P x y z ，，到A B ，的距离相等， 则222222(3)(3)(1)(1)(0)(5)x y z x y z -+-+-=-+-+-， 化简，得46870x y z +-+=，

即到A B ，距离相等的点P 满足的条件是46870x y z +-+=．

例3 已知(1211)(423)(614)A B C --，，，，，，，，，求证：ABC △是直角三角形． 证明：222(14)(22)(113)89AB =-+--+-=， 222(16)(21)(114)75AC =-+-++-=， 222(46)(21)(34)14BC =-+++-=， 222

AC BC AB ∴+=． ABC ∴△为直角三角形．

例4 （2000年全国高考题）如图1，直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BAC ∠=，棱12AA M N =，，分别是111A B A A ，的中点．求BN 的长．

解析：如图1，以C 为坐标原点O ，分别以1CA CB CC ，，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(010)B ，，，(101)N ，，．

222

(10)(01)(10)3BN ∴=-+-+-=．

例5 （2002年全国高考题）如图2，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ，ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若(02)CM BN a a ==<<． （1） 求MN 的长；

（2） 当a 为何值时，MN 的长最小．

解析：（1）如图2，以点B 为原点，BA BE BC ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．

可求得2222010M a a N a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，． 22

222222*********MN a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．

（2）由（1）知MN =

∴当a 时，MN =，即M N ，分别移动到AC BF ，的中点时，

MN ．