高二数学练习1
高二下数学测试1(解析版)(1)
武汉外国语学校高二下数学测试1一、单选题1．吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为()r V ，()r V '为()r V 的导函数．已知()r V 在03V ≤≤上的图像如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()12r r ''≤ C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭ D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=点之间的斜率，()0r V '表示00(,())C V r V 处切线的斜率，由于()012,V V V ∈，所以可以平移直线AB 使之和曲线相切，切点就是点C ,所以该选项正确.故选：D2．在1和10之间插入n 个实数，使得这()2+n 个数构成递增的等比数列，将这()2+n 个数的乘积记作n T ，则1211lg lg lg T T T +++=（ ）A ．132B ．11C ．44D ．521232121n n c q q qq+++⋅⋅⋅+++⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=1134513lg 2222T ++=+++⋅⋅⋅+=3．已知()f x 满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，21()f x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为( )A ．10x y +-=B ．320x y --=C ．330x y --=D ．20x y --=的切线方程为()031y x -=-，整理得330x y --=﹒故选：C ．4．若直线:l y x b =+与曲线y b 的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．D ．||b 5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14AB AD AA ===，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠==︒，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值是（ ）A B ．23C D ．13【答案】C 【详解】如下图，构建基向量AB ，AD ，1AA .则11AC A A AB AD =++，111BC AD AD AA ==+，所以22222111111()222AC AC A A AB AD A A AB AD A A AB A A AD AD AB ==++=+++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅161616244cos120244cos120244cos90=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒14864()42=+⨯-=，222211111()2BC BC AD AA AD AA AD AA ==+=++⋅⋅1616244cos 6043=++⨯⨯⨯︒=，1111()()AC BC A A AB AD AD AA ⋅=++⋅+11111A A AD A A AA AB AD AB AA AD AD AD AA =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅44cos12044044cos604444cos608=⨯⨯︒-⨯++⨯⨯︒+⨯+⨯⨯︒=，所以11111183cos ,6443A C BC A C BC A C BC ⋅<>===⨯⋅.故选：C. 6．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．1B ．42+2C．D ．2由题可知：:(1)C x -，所以点P 的轨迹方程上存在两点,A B ，使得)到直线l 的距离为7.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若||4AF =，则以下结论不正确的是（ ） A ．2p = B ．F 为AD 的中点 C ．||2||BD BF = D ．||2BF =二、多选题9.下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是()A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x答案ABD解析由奇函数的定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于A，y′＝6x2＋4>0，所以y ＝2x 3＋4x 在(0，1)上单调递增；对于B ，y ′＝1－cos x ≥0，且y ′不恒为0，所以y ＝x ＋sin(－x )在(0，1)上单调递增；对于D ，y ′＝2x ln 2＋2－x ln 2>0，所以y ＝2x －2－x 在(0，1)上单调递增．故选ABD. 3．【多选题】已知ln x 1－x 1－y 1＋2＝0，x 2＋2y 2－4－2ln 2＝0，记M ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则( ) A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，x 2＝125C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，x 2＝65答案 BC解析 本题考查两点间距离的最小值的相关问题，导数的应用．由ln x 1－x 1－y 1＋2＝0得y 1＝ln x 1－x 1＋2，(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值可转化为函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值的平方．由y ＝ln x －x ＋2得y ′＝1x －1，与直线x ＋2y －4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－12，则令1x －1＝－12，解得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，∴点(2，ln 2)到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0的距离为|2＋2ln 2－4－2ln 2|1＋4＝255，即函数y ＝ln x －x ＋2的图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值为255，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为45.过点(2，ln 2)与直线x ＋2y －4－2ln 2＝0垂直的直线为y －ln 2＝2(x －2)，即2x －y －4＋ln 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4－2ln 2＝0，2x －y －4＋ln 2＝0，解得x ＝125，即当M 最小时，x 2＝125.故选BC.11．已知正三棱锥O ABC -的底面边长为2A ,B ,C 三点均在以O 为球心的球O的球面上，Q 是该球面上任意一点，下列结论正确的有（ ▲ ） A ．球O 的半径为43B ．三棱锥O ABC -的内切球半径为36C ．QA QB ⋅的取值范围是⎡⎢⎣⎦D ．若QA ⊥平面ABC ，则异面直线AC 与QB【解析】设2,,G H O 分别为,,BC AB AQ 的中点，1O 为ABC ∆的中心，ABC S ∆=S =表，COB S ∆∴=OG =，43OB ∴==,故A 对；13V S r =表，121333r =⋅，r ∴=B 对；2221QA QB QH BH QH ⋅=-=-，4433QH ⎡∈-⎢⎣⎦，141499QA QB ⎡-+∴⋅∈⎢⎣⎦,故C错；2//,//QB O H AC HG，222222222133cos 226O H HG O G O HG O H HG ⎛+- +-∴∠===-⋅，cos θ∴=D 对. 12.已知F为双曲线22:1C x y -=的右焦点，P 在双曲线C 右支上，点2K ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 设PKF α∠=，PFK β∠=， KPF γ∠=，下列判断正确的是（ ▲）A ．α最大值为3πB．sin sin 2βα≤ C ．tan αβ=D ．存在点P 满足2γα= 【解析】过P向2x =作垂线，垂足为1P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为2P，设直线:2PK x ty =+不妨设0t >，221x ty xy ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，消y ，()221102t y ∴-+-=，2420t ∴∆=-=， 2t ∴=，1tan k t α∴===cos 3α∴=，cos 3α∴≥，故A错；sin 2βα≤⇔PK ≤（易得1PF PP =1PK ⇔=1PP PK ⇔≥cos 3α⇔≥，故B 对；tanαβ=⇔222PPPF KP =⇔=12⇔=（显然成立），故C 对；1sinsin sin sin 2KFPF αγγα=⇔=12sin cos 2ααα⇔=⋅cos 22P x α⇔=-⎭14cos P x α⇔=（已知cos 1α≤≤）1,44P x ⎡⇔∈⎢⎣⎦（显然成立），（也可用极限思想考虑）故D 对. 三、填空题13.设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝2x －ln x ，则f ′(1)＝________． 答案 2e －114．已知直线y ax b =+与曲线ln 2y a x =+相切，则223a b +的最小值为____________．15．在等比数列{}n a 中，5312a a -=，6424a a -=，记数列{}n a 的前n 项和､前n 项积分别为n S ，n T ，若()21n n S T λ+≤对任意正整数n 都成立，则实数λ的最小值为___________.122n -⋅⋅=时，()21nnS T +四、解答题17．求下列函数的导数： (1)y ＝sin 4x ＋cos 4x ；(2)y ＝x 3e cos x .解析 (1)∵y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 22x＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x ，∴y ′＝－sin 4x .(2)y ′＝(x 3)′e cos x ＋x 3(e cos x )′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x ·(cos x )′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x .18.已知函数()()1e xf x x =-．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；(2)过点(),0A a 作曲线()1e xy x =-的切线，若切线有且仅有1条，求实数a 的值．【解析】（1）()()1e e e x x xf x x x =--=-'，令1x =，()1e f '=-，()10f =，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处19.已知等比数列n a 的前n 项和为n S ，且满足123112a a a -=，430S =，数列{}nb 满足：11b =，1231111123n n b b b b b n+++++=-，（*n N ∈） （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 的通项()()131nn n n c a b =+-+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【解析】（1）123112a a a -=，2111112a a q a q∴-=，220q q ∴--=， 2q ∴=或1q =-， 当1q =-时，40S =不符合，舍去， 当2q =时，()()4411411121530112a q a S a q--====--，12a ∴=，1222n nn a -∴=⋅=，，1231111123n n b b b b b n+++++=- ① 12311111231n n b b b b b n -∴++++=--， ② 2,*n n N ≥∈，∴①-②11n n n b b b n +=-，11n n b b n n+∴=+ 2,*n n N ≥∈，当1n =时，1211b b =-=，22b ∴=，21121b b ∴==，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，1n b n ∴=，n b n ∴=. （2）()()()()1312131nnn n n n c a b n =+-+=+-+，∴当n 为偶数时，()()()()()()212471013323112n n T n n -⎡⎤=+-++-+++--++⎣⎦-1132232222n n n n ++=-++⋅=+- 当n 为奇数时，()()11339212231=2222n n n n n n T T c n n n +-=+=+--+-+--， 11392,22322,2n n n n n T n n ++⎧--⎪⎪∴=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数（或()1351321244n n n T n +⎛⎫=++⋅-- ⎪⎝⎭）21.已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1，a 为实数． (1)当a ≤2时，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间[1，5]上单调递减，求实数a 的取值范围．解析 (1)根据题意知f (x )定义域为R ，f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]， 当a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)2≥0，f (x )在R 上单调递增； 当a <2时，a －1<1，由f ′(x )>0得x >1或x <a －1， 由f ′(x )<0得a －1<x <1.∴f (x )在(－∞，a －1)与(1，＋∞)上单调递增，在(a －1，1)上单调递减． 综上所述，当a ＝2时，f (x )在R 上单调递增；当a <2时，f (x )在(－∞，a －1)与(1，＋∞)上单调递增，在(a －1，1)上单调递减． (2)由已知得f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1≤0在区间[1，5]上恒成立， ∴a (x －1)≥x 2－1在区间[1，5]上恒成立． 当x ＝1时，a ∈R ；当1<x ≤5时，a ≥x ＋1.而函数y ＝x ＋1在(1，5]上单调递增，当x ＝5时，y max ＝6， 则a ≥6. 综上，a ≥6.22. 已知抛物线C ：()220x py p =>，F 为抛物线C 的焦点，()0,1M x 是抛物线C 上点，且2MF =；（1）求抛物线C 的方程；（2）过平面上一动点(),2P m m -作抛物线C 的两条切线P A ，PB （其中A ，B 为切点），求11AF BF+的最大值.【小问1详解】依题意得：=122p MF +=，∴2p =，∴24p =，所求抛物线2C 的方程为24x y =； 【小问2详解】抛物线2C 的方程为24x y =，即24x y =∴'2xy =，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),2P m m -则切线P A ，PB 的斜率分别为12x ，22x .所以切线P A ：()1112x y y x x -=-，∴211122x x y x y =-+，又2114x y =，11220y x x y ∴-+=，同理可得切线PB 的方程为22220y x x y -+=，因为切线P A ，PB 均过点(),2P m m -，所以112240y mx m -+-=，222240y mx m -+-=，所以()11,x y ，()22,x y 为方程2240y mx m -+-=的两组解.所以直线AB 的方程为2240y mx m -+-=. 联立方程222404y mx m x y -+-=⎧⎨=⎩，消去x 整理得()()2222420y m m y m --++-=，∴()()()222222442480m m m m m m ∆=-+--=-+≥，∴m R ∈.∴21224y y m m +=-+，()2122y y m =-由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+，所以11AF BF AF BF AF BF++=，∵()()()121212111AF BF y y y y y y =++=+++2269m m =-+， ∴2223+112612+2692269m AF BF m m AF BF AF BF m m m m +-+===+-+-+，令32m t R +=∈，∴原式2111154545222621221222t t t t t +=+=++=-++-≤，即原式的最大值56+.。
高二数学强化训练含答案1
正弦定理（一）1、在△ABC 中，若a=5，b=15，A=300, 则c 等于 （ ）A 、25B 、5C 、25或5D 、以上结果都不对2．在△ABC 中，一定成立的等式是 ( )A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC .asinB=bsinA D.acosB=bcosA3.若c C b B a A cos cos sin ==则△ABC 为 （ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形4.△ABC 中,∠A 、∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°,4,6==b a ,那么满足条件的△ABC （ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定5.在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于 .6. 在△ABC 中，若210=c ，︒=60C ，3320=a ，则=A ． 7. 在△ABC 中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 .8. 在锐角△ABC 中，已知B A 2=，则的b a 取值范围是 ． 9. 在△ABC 中，已知21tan =A ，31tan =B ，则其最长边与最短边的比为 ． 10. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 ．11、在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
12．在△ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b13.△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。
14．为了测量上海东方明珠的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5 ，前进38.5m 后，到达B处测得塔尖的仰角为80.0 .试计算东方明珠塔的高度（精确到1m）.正弦定理（二）1.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100°C ．a = 7，b = 5，A = 80°D ．a = 14，b = 16，A = 45° 2.在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是( )A ．2>xB ．2<xC ．3342<<xD ． 3342≤<x 3.在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ． 23B ．43C ．23或3D ．43 或23 4.在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A其中成立的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、已知△ABC 的面积为23，且3,2==c b ，则∠A 等于 6.在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为 .7.在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则sinA:sinB:sinC=8、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a ::9.在△ABC 中，若∠A=600，∠B=450，a =那么△ABC 的面积为 . 10.2sin sin ::1:3:5,sin A B ABC a b c C-∆=在中，若求= . 11.在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-。
高二数学单元测试题一
高二数学单元测试题一一：选择题：1．下列语句正确的是（）A.x+3=y-2B.d=d+2C.0=xD.x-y=52: 将二进制数10101（2）化为十进制为（）A．21 B. 20 C.19 D. 183：将十进制数111化为五进制数是（）A．421（5） B. 521（5） C.423（5） D. 332（5）4: 用程序框图表示“秦九韶算法”将用到（）A、顺序结构B、条件结构C、顺序结构和循环结构D、三种差不多逻辑结构5：用冒泡法对6，5，3，1，2，7，9，8进行排序，需要（）趟排序A．3 B.4 C. 5 D. 66：用更相减损术求138和92的最大公约数（）A .23 B.42 C .56 D.467: 用辗转相除法求228，1995的最大公约数（）A．35 B．46 C．57 D．688: 下列数是“回文数”的个数是（）123，456，121，14541A. 0B.1C.2D.3二：填空题9.课本中显现了两种排序的方法，它们是：___________________；_______________________10.算法的差不多结构是______________ __________________ __________________11.用秦九韶算法为x=5时，多项式f(x)=3x 5-4x 4+6x 3-2x 2-5x-2的值为____________12.下列程序运行的结果是_____________N=15SUM=0I=1WHILE I ≦NSUM=SUM+II=I+2WENDPRINT “SUM=”;SUMEND三．解答题13.请编写出一个“求满足10003212222>++++n 的n 最小值”的程序。
14.某班50人参加考试。
请设计一个算法统计出80分以上的人数，并画出程序框图。
15.2000年世界人口50亿，按年增长率8%0运算，多青年后，世界人口超过100亿，请设计出一个算法，并画出程序框图。
高二数学月考卷1
高二数学月考卷1一、选择题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = (x² 1)/(x 1)的定义域是（）A. RB. {x | x ≠ 1}C. {x | x ≠ 0}D. {x | x ≠ 1}2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则2a 3b = （）A. (8, 1)B. (8, 1)C. (8, 1)D. (8, 1)3. 二项式展开式(x + y)⁵中x²y³的系数是（）A. 5B. 10C. 20D. 304. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，a3 = 9，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 65. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. y = x上D. y = x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是实数。
（）2. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）3. 两条平行线上的任意一对对应线段比例相等。
（）4. 双曲线的渐近线一定经过原点。
（）5. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f'(x) > 0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若log₂x = 3，则x = ______。
2. 若等差数列{an}中，a4 = 8，a7 = 19，则a10 = ______。
3. 圆的标准方程(x h)² + (y k)² = r²中，(h, k)表示圆的______。
4. 若sinθ = 1/2，且θ是第二象限的角，则cosθ = ______。
5. 矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式|A| = ______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述矩阵乘法的定义。
2. 请解释什么是反函数。
3. 简述等差数列的通项公式。
4. 请说明直线的斜率的意义。
5. 简述三角函数的周期性。
高二数学02-03上学期单元练习1
高二数学练习（1）一、选择题（每小题4分，共40分）1．a,b,c,d ∈R ，满足条件a+d=b+c ，且|a-d|<|b-c|，则有（ ）（A ）ad=bc （B ）ad>bc（C ）ad<bc （D ）ad 与bc 的大小关系不确定2．若a,b,c,d ∈R ，设22)()(d b c a x -+-=；2222d c b a y +++=,则有（ ）（A ）x ≤y （B ）x ≥y（C ）x<y （D ）x>y3．若a>b,c>d ，则有（ ）（A ）ac>bd（B ）ad+bc<ac+bd（C ）c bd a<（D ）d c b a ->-114．下列命题：①a>b,c b d a d c ->-⇒>②|a|>|b|,a,22b a R b >⇒∈③a>b,d b c a d c ->-⇒> ④b a 11>,b a ab >⇒<0⑤33b a b a >⇒>。
其中正确的是（ ）（A ）①②③④ （B ）①②④⑤（C ）②④⑤ （D ）①②⑤5．已知410<<<a b ，则有（ ）（A ）b a b a b a ->->-（B ）b a b a b a ->->-（C ）b a b a b a ->->-（D ）b a b a b a ->->-6．已知x>0,y>0且x+y ≤4，则下列不等式中恒成立的是（ ）（A ）411≤+y x （B ）2≥xy（C ）11≥xy （D ）111≥+yx 7．若a,+∈R b ，a ≠b,且a+b=2，则下列不等式成立的是（ ）（A ）ab b a <+<2122 （B ）2122b a ab +<< （C ）1222<+<b a ab （D ）以上都不对8．若已知A （2，3），B （1，5），则直线AB 的倾斜角是（ ）（A ）arctg2（B ）arctg(-2)（C ）22arctg +π （D ）212arctg +π 9．过点（1，2）倾斜角α的正切值等于53的直线方程是（ ） （A ）)1(432--=-x y （B ）)1(432-=-x y （C ）)1(432-±=-x y （D ）以上都不对10．一条直线过点P （a,-b ）,(ab ≠0)且在x 轴与y 轴上的截距相等，那么满足这样条件的直线（ ）（A ）只有一条（B ）最多有两条（C ）最多有三条（D ）有无数条二、填空题（每小题5分，共20分）11．已知a 、b 、c 、d ∈R ，且有122=+b a ，122=+d b ，则abcd 的取值范围是 _______。
高二数学期末测试题(一)试题1
4
∴Leabharlann an 1 = a n 1 2
an=2048(
1 n－1 ) . 2
(2) ∵log2an=log2[2048( ∴Tn=
1 n－1 ) ]=12－n, 2
1 2 (－n +23n). 2
由 Tn<－509,解待 n>
23 4601 ,而 n 是正整数,于是,n≥46. 2
∴从第 46 项起 Tn<－509.
19．解： （Ⅰ） 设等差数列 an 的公差为 d ,由 （Ⅱ）由 bn an p n ，得 bn npn 。所以 Tn p 2 p2 3 p3 (n 1) pn1 npn ，
a
当 p 1 时， Tn 当 p 1 时，
n 1 ； 2
pTn p2 2 p3 3 p4 (n 1) pn npn1 ，
3 2
（Ⅰ）求 a , b 的值； （Ⅱ）讨论函数 f ( x ) 的单调性。
2
21．设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n ， an Sn 4096 。 （1）求数列 {an } 的通项公式 （2）设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ,对数列 Tn ，从第几项起 Tn 509 ？ 22．某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一 座铁塔 如图所示， 塔及所在的山崖可视为图 中 的 竖 线 OC ， 塔 高 BC80( 米 ) ， 山 高 OB220(米)，OA200(米)，图中所示的山 坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上， l 与水
160 640 160 640 288 2 160 640 288 ．当且仅当 x 时上式 x x 320 200 60 ． 取等号．故当 x 320 时 tan BPC 最大．这时，点 P 的纵坐标 y 为 y 2
高二数学选择性必修一练习题
高二数学选择性必修一练习题1. 已知直线L1与L2的斜率分别为k1和k2，L1与L2相交于点A(-3,5)。
若k1+k2=6，且L1与x轴交于点B，L2与y轴交于点C，则求三角形ABC的面积。
解析：首先，我们需要确定直线L1和L2的方程，然后找到点B和点C的坐标，最后计算三角形ABC的面积。
设直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2。
由题意可知，直线L1经过点A(-3,5)，因此代入得到5 = k1*(-3) + b1，即b1 = 5 + 3k1。
同样地，直线L2经过点A(-3,5)，代入得到5 = k2*(-3) + b2，即b2 = 5 + 3k2。
直线L1与x轴相交时，y = 0，代入直线L1的方程得到0 = k1x + (5 + 3k1)，整理得到x = -5/(k1+3)。
因此，点B的坐标为(-5/(k1+3), 0)。
直线L2与y轴相交时，x = 0，代入直线L2的方程得到y = k2*0 + (5 + 3k2)，即y = 5 + 3k2。
因此，点C的坐标为(0, 5 + 3k2)。
根据点B(-5/(k1+3), 0)，点A(-3,5)和点C(0, 5 + 3k2)，我们可以计算三角形ABC的面积。
首先，计算线段AB的长度。
根据两点间距离公式，线段AB的长度为：AB = √ [(-5/(k1+3) - (-3))^2 + (0 - 5)^2]= √ [(-5 + 3(k1+3))^2 + 25]= √ [(9k1 - 6)^2 + 25]然后，计算线段BC的长度。
根据两点间距离公式，线段BC的长度为：BC = √[(0 - 0)^2 + (5 + 3k2 - 5)^2]= √[(3k2)^2]= 3k2最后，计算三角形ABC的面积。
根据Heron公式，三角形的面积为：S = √[s(s - AB)(s - AC)(s - BC)]其中，s = (AB + AC + BC) / 2。
2020高二数学上册寒假作业1——直线与线性规划【含答案】
17．在直线 l：3x－y－1＝0 上求一点 P，使得 P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大． 解：如图所示，设点 B 关于 l 的对称点为 B′，连结 AB′并延长交 l 于 P，此时的 P 满足 PA－PB 的值最大．
18．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为 a 的钢条 2 根，长度为 b 的 钢条 1 根；或截成长度为 a 的钢条 1 根，长度为 b 的钢条 3 根．现长度为 a 的钢条至少需要 15 根，长度为 b 的钢条至少需要 27 根．问：如何切割可使钢条用量最省？
8． 18
9．
5
10
解析：①当斜率不存在时，直线方程为 x＝1，与两直线交点 A(1，－3)，B(1，－ 3 )，
| | 5
5
－ －(－\f(10,3))
∴AB＝ 3
＝3≠ 2．∴x＝1 不是所求直线．
②当斜率存在时，设为 k，则所求直线的方程为 y－2＝k(x－1)， 3k－7 －5k＋8
它与两已知直线分别联立方程组，求出它与两已知直线的交点坐标分别是 A(3k＋4， 3k＋4 )，
b2＋1 1
b2＋1
解析：由两条直线垂直可得：－ a ·b2＝－1，解得 a＝ b2 ，
b2＋1 b2＋1 1
1
1
b·
所以 ab＝ b2 ·b＝ b ＝b＋b．又因为 b＞0，故 b＋b≥2 b＝2，
1 当且仅当 b＝b，即 b＝1 时取“＝”．
12．
解析：由题可知， ( Ax1 By1 C)( Ax2 By2 C) 0 ，表示两点在直线的同一旁，又因为
该约束条件的(x，y)有两个：
(4，8)或(3，9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条 4
高二数学排列组合专题训练（一）
⾼⼆数学排列组合专题训练（⼀）⾼⼆数学“排列组合”专题训练（⼀）班级姓名学号⼀．选择填空题1．从编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的11个球中，取出5个⼩球，使这5个⼩球的编号之和为奇数，其⽅法总数为（ C ）（A ）200 （B ）230 （C ）236 （D ）2062. 从{1、2、3、4、…、20}中任选3个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有（ B ）（A ）90个（B ）180个（C ）200个（D ）120个3兰州某车队有装有A ，B ，C ，D ，E ，F 六种货物的卡车各⼀辆，把这些货物运到西安，要求装A 种货物，B 种货物与E 种货物的车，到达西安的顺序必须是A ，B ，E （可以不相邻，且先发的车先到），则这六辆车发车的顺序有⼏种不同的⽅案（ B ）（A ）80 （B ）120 （C ）240 （D ）3604. ⽤0，1，2，3，4这五个数字组成⽆重复数字的五位数，其中恰有⼀个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ C ）（A ）48 （B ）36 （C ）28 （D ）125. 某药品研究所研制了5种消炎药,,,,,54321a a a a a 4种退烧药,,,,4321b b b b 现从中取出两种消炎药和⼀种退烧药同时使⽤进⾏疗效实验，但⼜知,,21a a 两种药必须同时使⽤，且43,b a 两种药不能同时使⽤，则不同的实验⽅案有（ D ）（A ）27种（B ）26种（C ）16种（D ）14种6. 某池塘有A ，B ，C 三只⼩船，A 船可乘3⼈，B 船可乘2 ⼈，C 船可乘1 ⼈，今天3个成⼈和2 个⼉童分乘这些船只，为安全起见，⼉童必须由成⼈陪同⽅能乘船，他们分乘这些船只的⽅法共有（ D ）（A ）120种（B ）81种（C ）72种（D ）27种7. 将5枚相同的纪念邮票和8张相同的明信⽚作为礼品送给甲、⼄两名学⽣，全部分完且每⼈⾄少有⼀件礼品，不同的分法是（ A ）（A ）52 （B ）40 （C ）38 （D ）118. ⽤1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（ D ）A.360个B.180个C.120个D.24个解：因为3+4+5+6=18能被9整除，所以共有44A =24个.9. 4名男⽣3名⼥⽣排成⼀排，若3名⼥⽣中有2名站在⼀起，但3名⼥⽣不能全排在⼀起，则不同的排法种数有（ A ）（A ）2880 （B ）3080 （C ）3200 （D ）360010. 在5付不同⼿套中任取4只，4只⼿套中⾄少有2只⼿套原来是同⼀付的可能取法有（ C ）(A) 190 (B) 140 （C ）130 （D ）3011．将某城市分为四个区(如图)，需要绘制⼀幅城市分区地图，现有5种不同颜⾊，图中①②③④，每区只涂⼀⾊，且相邻两区必涂不同的颜⾊(不相邻两区所涂颜⾊不限)，则不同的涂⾊⽅式有( A )A.240种B.180种C.120种D.60种12．圆周上有16个点，过任何两点连结⼀弦，这些弦在圆内的交点个数最多有( C )A.A 164B.A 162A 142C.C 164D.C 162C 14213．20个不同的⼩球平均分装到10个格⼦中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取⾃同⼀格⼦中，则不同的取法⼀共有（ B ）A.C 510B.C 520 C.C 510C 12 D.A 210A 12 14．从6双不同的⼿套中任取4只，其中恰好有两只是⼀双的取法有（ B ）A.120种B.240种C.255种D.300种15．某⼈练习射击，射击8枪命中4枪，这4枪中恰好有3枪连在⼀起的不同种数为（ D ）A.72B.48C.24D.2016．某博物馆要在20天内接待8所学校的学⽣前去参观，其中⼀所学校因⼈数较多要连续参观3天，其余学校只需要1天，在这20天内不同的安排⽅法为（ C ）A.C 320A 717B.A 820C.C 118A 717D.A 1818种⼆．填空题17.商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有__33_种不同的选法；要买上⾐、裤⼦各⼀件，共有_270_种不同的选法．18.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数排成三横三纵的⽅阵，要求每⼀竖列的三个数从前到后都是由从⼩到⼤排列，则不同的排法种数是_1680 _19.过正⽅体的每三个顶点都可确定⼀个平⾯，其中能与这个正⽅体的12条棱所成的⾓都相等的不同平⾯的个数为 8 个 20.3名⽼师带领6名学⽣平均分成三个⼩组到三个⼯⼚进⾏社会调查，每⼩组有1名⽼师和2名学⽣组成，不同的分配⽅法有 540 种。
高二第一学期数学练习册答案
高二第一学期数学练习册答案第一章：函数与方程1. 判断题：- (√) 函数f(x) = x^2 + 1 在整个实数域上是单调递增的。
- (×) 函数f(x) = x^3 在x=0处有极值点。
2. 选择题：- 函数y = 2x - 3的图像与x轴的交点是（A）A. (1.5, 0)B. (2, 0)C. (0, 0)D. (-1, 0)3. 填空题：- 函数f(x) = 3x + 5的零点是 x = -__/3，答案为 -5/3。
4. 计算题：- 求函数f(x) = x^2 - 4x + 4的极值点。
解：f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得x = 2，代入原函数得极小值f(2) = 0。
第二章：三角函数1. 判断题：- (√) 正弦函数sin(x)在区间[0, π]上是单调递增的。
- (×) 余弦函数cos(x)在区间[π/2, 3π/2]上是单调递增的。
2. 选择题：- 已知sin(θ) = 1/2，θ属于第一象限，求cos(θ)的值。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/√2D. -1/√2答案：A. √3/23. 填空题：- 已知cos(α) = 1/3，求sin(α)的值，假设α属于第一象限。
答案：√(1 - (1/3)^2) = 2√2/3。
4. 计算题：- 求函数y = sin(x) + cos(x)的值域。
解：y = √2 * sin(x + π/4)，因为sin(x)的值域为[-1, 1]，所以y的值域为[-√2, √2]。
第三章：解析几何1. 判断题：- (√) 点(2, 3)在直线x + y = 5上。
- (×) 点(-1, 2)在直线y = 2x + 3上。
2. 选择题：- 已知直线l1: y = 3x + 2与直线l2: y = -x + 5平行，求l2的斜率。
A. 3B. -3C. 1D. -1答案：B. -33. 填空题：- 已知直线l: x - 2y + 3 = 0，求直线l的斜率和截距。
高二数学选修1练习题
高二数学选修1练习题1. 试回答下列各问题：(1) 若函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + bx + 6 的图像经过点 (1, 4)，求实数 b的值。
(2) 设函数 f(x) = ax^3 + 2x^2 - 3x + 1 在区间 [-1, 2] 上是增函数，求实数 a 的取值范围。
(3) 已知两个函数 f(x) = e^x + k 和 g(x) = \frac{1}{x} + a，其中 a 和k 为常数。
若在定义域上恒有 f(x) <= g(x)，求 a 和 k 的关系。
2. 计算下列函数的导数：(1) y = \frac{3x + 4}{2x - 1} - \frac{2}{\sqrt{x}} + 3x^2 - 5(2) y = \ln(2x^2 - 1)(3) y = e^{2x^2 + x}3. 函数 f(x) = 2x^3 - 3ax^2 + 6x + 1，给定 f(1) = 0 和 f(-2) = 0，求实数 a 的值。
4. 已知函数 f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}，求函数 g(x) = f^{-1}(x) 的解析式，并判断该函数的定义域和值域。
5. 设函数 f(x) = ax^2 - 2x + 1 是减函数，函数 g(x) = x - 1 是增函数，求实数 a 的取值范围。
6. 已知两个函数 f(x) = x + \frac{1}{x} 和 g(x) = kx + \frac{1}{x}，其中 k 为常数。
若在定义域上恒有 f(x) >= g(x)，求 k 的取值范围。
7. 设函数 f(x) = 2^x + \log_2(x - 1)，求函数 f(x) 在定义域上的最小值和最大值。
解答：1. (1) 将点 (1, 4) 代入函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + bx + 6 中，得到 4 = 1 - 3 + b + 6，解方程得 b = 0。
高二数学复习考点知识讲解与提升练习1 数列的概念
高二数学复习考点知识讲解与提升练习第01讲 数列的概念一、数列及相关概念1、定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，… ，第n 项，… 注：数列与数集的区别：数集中的元素具有无序性和互异性，而数列的主要特征是有序性，而且数列的项可以重复出现。
2、数列的一般形式可以写成：123,,,,,,n a a a a 其中n a 是数列的第n 项，n 是n a 的序数，上面的数列可简单记作{}n a 。
3、函数思想：数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数。
函数与数列的联系与区别： 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N ,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即1n n a a ->)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{}n a 递增⇔1n n a a +>对任意的()n n N *∈都成立．类似地，有{}n a 递减⇔1n n a a +<对任意的()n n N *∈都成立.二、数列的表示方法解析法、图像法、列举法、递推法.三、数列的分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列；1. 有穷数列:项数有限.2. 无穷数列：项数无限.3. 递增数列:对于任何n N *∈,均有1n n a a +>.4. 递减数列:对于任何n N *∈,均有1n n a a +<.5. 摆动数列:例如:-1,1,-1,1,-1,1, …….6. 常数数列:例如:6,6,6,6,…….四、数列的通项公式定义：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是n a2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .一、求数列通项公式【例1】 ,52,21,32,1的一个通项公式是。
高二数学必修练习_第一章1.1_数列的概念_作业2_含解析
,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．下列说法中正确的是( )A ．数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列B ．数列1，2，3，…与数列1，2，3，5，…是同一个数列C ．数列1，2，3，4，…的一个通项公式是a n ＝nD ．以上说法均不正确解析：选C.根据数列的定义判断．2．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617B.1819C.2021D.2223解析：选C.由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021. 3．已知数列{n 2＋n }，那么( )A ．0是数列中的一项B ．21是数列中的一项C ．702是数列中的一项D ．以上选项都不对 解析：选C.解方程n 2＋n ＝702，即n 2＋n －702＝0，得n ＝26.故702是数列{n 2＋n }的第26项．4．数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，n 2－2，n ≥2，则该数列的前两项分别是( ) A ．2，4B ．2，2C ．2，0D ．1，2解析：选B.当n ＝1时，a 1＝2；当n ＝2时，a 2＝22－2＝2.5.数列1，－13，17，－115，…的通项公式a n 是( )A ．(－1)n 12n －1B ．(－1)n 12n －1 C.（－1）n －12n －1 D.（－1）n －12n －1解析：选D.(观察法)通项的符号为(－1)n －1，分子都是1，分母为1，3，7，15，…，其通项为2n －1.所以数列的通项公式为a n ＝（－1）n －12n －1.(特值法)取n ＝1代入选项A ，B 的通项公式，得项为－1，不合题意，可排除选项A ，B.再取n ＝3代入选项C 的通项公式，得项为15，不合题意，可排除选项C. 6．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 解析：由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3. 答案：37．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是________． 解析：数列35，12，511，37，717，…也可以写成35，48，511，614，717，…， 先看分子，3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，7＝5＋2，…，则分子为n ＋2；再看分母，5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，17＝3×5＋2，…，则分母为3n ＋2，综上可知，a n ＝n ＋23n ＋2. 答案：a n ＝n ＋23n ＋28．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项． 解析：令a n ＝n 2－8n ＋12<0，解得2<n <6，又因为n ∈N ＋，所以n ＝3，4，5，一共有3项．答案：39．根据数列的前四项，写出数列的一个通项公式．(1)2，5，10，17，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…. 解：(1)如果数列的各项分别减去1，则变为1，4，9，16，…，所以通项公式为a n ＝n 2＋1；(2)数列的前四项的分子都是1，分母是两个连续正整数的积，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式为a n ＝（－1）n n （n ＋1）.10．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解：(1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ，所以a 8＝80，a 20＝440.(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17.所以323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项．[B.能力提升]1．已知数列{a n }的首项a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 5＝( )A ．7B ．15C ．30D ．47 解析：选D.将a 1＝2代入关系式a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝5，将a 2＝5再代入a n ＋1＝2a n ＋1可得a 3＝11，依次类推得a 5＝47，故选D.2．数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ． 6 D.log 23＋log 31325解析：选B.a 1a 2…a 30＝log 23×log 34×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝log 232＝log 225＝5. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝sin n θ，0<θ<π6，若a 3＝12，则a 15＝____________． 解析：a 3＝sin 3θ＝12，又0<θ<π6，所以0<3θ<π2，所以3θ＝π6，所以a 15＝sin 15θ＝sin 56π＝12. 答案：124．数列213，－415，817，－1619，…的一个通项公式为____________． 解析：各项的绝对值分别为213＝2＋13＝2＋12×1＋1， 415＝4＋15＝22＋12×2＋1， 817＝8＋17＝23＋12×3＋1， 1619＝16＋19＝24＋12×4＋1，…，第n 项的绝对值为2n ＋12n ＋1；而奇数项为正，偶数项为负，故a n ＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋1.答案：a n ＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12n ＋15．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 015；(3)2 018是否为数列{a n }中的项？解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.所以a n ＝4n －2.(2)a 2 015＝4×2 015－2＝8 058.(3)令2 018＝4n －2，解得n ＝505∈N ＋，所以2 018是数列{a n }的第505项．6．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1，(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．解：(1)设a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N ＋，所以0<33n ＋1<1，所以0<a n <1.所以数列中的各项都在区间(0，1)内．(4)令13<3n －23n ＋1<23，所以⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧n >76，n <83.所以76<n <83.当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。
高二理数《概率统计1》
高二理科数学《概率》练习11.已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.2.已知射手甲射击一次，击中目标的概率是23．（1）求甲射击5次，恰有3次击中目标的概率；（2）假设甲连续2次未击中．．．目标，则中止其射击，求甲恰好射击5次后，被中止射击的概率．3.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列4.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为34，且各次射击的结果互不影响． （1）求射手在3次射击中，3次都击中目标的概率（用数字作答）； （2）求射手在3次射击中，恰有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； （3）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）．5.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：23123456f(x)=x,f(x)=x,f(x)=x,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2.（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列6.甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是320，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过测试的概率比丙大.（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；（Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ.0.01频率组距7.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和 平均分；(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率.8.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在 下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A ；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望E ξ．高二理科数学《概率》练习1答案1.解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，“甲射击一次，命中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件， （1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A B +，由互斥事件的概率加法公式，()()()0.120.10.22P A B P A P B +=+=+=． 答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．…………………………………6分 （2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C ，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D ，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为A C D ++， ∴()()()()0.120.220.560.9P A C D P A P C P D ++=++=++=．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分 2.解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A ，则()32352180C 33243P A ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为24380．………………………………6分 （2）方法1：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C ，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则()2221222212116C C 33333243P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为16243．……………………………12分 方法2：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C ，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则()2222121161C 333243P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为16243．……………………………12分 3.（1）记“该生考上大学”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则5415)32()32)(31()(+=C A P2分 243131])32()32)(31([1)(5415=+⋅-=∴C A P 4分 答：该生考上大学的概率为2431315分 （2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，6分,91)31()2(2===ξP274313231)3(12=⋅⋅⋅==C P ξ 27431)32(31)4(213=⋅⋅⋅==C P ξ 8148)32()32(31)5(4314=+⋅⋅==C P ξ 10分故ξ的分布列为：4.解: （1）记事件“射手在3次射击中，3次都击中目标”为事件A ， 3327()()464P A ==；………………………………………4分 （2）记事件“射手在3次射击中，恰有两次连续击中目标”为事件B ， 2319()2()4432P B =⋅⋅=；………………………………………8分 （3）记事件“射手第3次击中目标时，恰好射击了4次”为事件C ， 31381()3()44256P C =⋅⋅=………………………………………12分 5. 解：（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知.51)(2623==C C A P ………………………………………………………………4分（2）ξ可取1，2，3，4.103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； …………8分 故ξ的分布列为6.解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x 、y 依题意得：23,52033(1)(1),540xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即3,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 1,23.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）┅┅┅┅┅┅┅4分 所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是34、12. ┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）因为3(0)40P ξ== 3(3)20P ξ==2312312317(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)54254254220P ξ==--+--+--=7.（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.03f =-+*++*=……2分直方图如右所示……………………………….4分（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++*=所以，抽样学生成绩的合格率是75%......................................6分 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅………………….8分＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝71估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分（Ⅲ）[70,80)，[80,90) ，[90,100]”的人数是18,15,3。
高二数学上学期常考题及答案(一)
高二数学上学期常考题及答案（一）1. 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点．（1）证明：．【答案】见解析【解析】法一：证明：连接，，是的中点，，又平面平面，平面，平面平面，平面，，，，，又，平面，．、法二：证明：连接，，是的中点，，又平面平面，平面，平面平面，平面，以为原点，以所在直线为轴，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，由，得．（2）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】【解析】方法一：解：取中点，连接、，则四边形是平行四边形，由于平面，故，平行四边形是矩形，由得平面，则平面平面，在平面上的射影在直线上，连接，交于点，则是直线与平面所成角（或其补角），不妨设，则在中，，，，是的中点，故，，直线与平面所成角的余弦值为．方法二：解：设直线与平面所成角为，由得，，，设平面的法向量为，则，取，得，，直线与平面所成角的余弦值为．2. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．（1）求证：．【答案】见解析【解析】以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，，依题意，，，，．（2）求二面角的正弦值．【答案】【解析】依题意，是平面的一个法向量，，，设为平面的一个法向量，则，即，不妨设，则，，，二面角的正弦值为．（3）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】【解析】依题意，，由知，为平面的一个法向量，，直线与平面所成角的正弦值为．3. 过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程为（）．A. B. C. D. 【答案】A C【解析】设，当时，，当时，，则，得或，∴，即，或，即．故选．4. 过点且与圆相切的直线方程是()A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】解:圆的圆心为，半径为，当过点的直线无斜率时，满足与圆相切，此时直线方程为；当直线有斜率时，设直线方程为，即，由直线和圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，故直线方程为，即；综上，所求的切线方程为或．故选:D．5. 椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于、两点，则的周长为；若、两点的坐标分别为和，且的面积是，则的值为．【答案】【解析】因为，，所以的周长为．因为，，所以，即，所以，即．6. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线为，由已知，①，又的准线为，则②，又③，由①②③得，故选．7. 已知椭圆：的一个顶点，过左焦点且垂直于轴的直线截椭圆得到的弦长为，直线与椭圆交于不同的两点，．（1）求椭圆的标准方程．【答案】【解析】由题意，顶点，故．，．椭圆的标准方程为．（2）当的面积为时，求实数的值．【答案】【解析】设，，由，消去，整理得．则．由根与系数的关系得，．，解得，即．8. 已知椭圆：的离心率为，设椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，，成等比数列．（1）求椭圆的标准方程．【答案】．【解析】因为，，为等比数列，所以，即，根据题意可得，解得，，，所以椭圆的标准方程为．（2）过点作直线与椭圆交于，两点（直线与轴不重合），设直线，的斜率分别为，，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【答案】是；．【解析】设直线的方程为，，，联立得，所以，所以，所以①，又因为，，所以，把①代入上式，得，所以是定值，定值为．9. 设是首项为的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式．【答案】；．【解析】设的公比为，则，，又∵，∴，，，∴，．（2）记和分别为和的前项和．证明：．【答案】证明见解析．【解析】，①，②，①②得，∴，∴，又∵，∴．10. 已知数列和满足，，，．（1）证明：是等比数列，是等差数列．【答案】见解析【解析】证明：，，，，即，．又，，是首项为，公比为的等比数列，是首项为，公差为的等差数列．（2）求和的通项公式．【答案】，【解析】解：①，②，由①②可得：，，由①②可得：，；，．第11页，共11页。
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lk∥l1,设lk与l1确定平面 ，则 ,Ak ,因此l1与Ak既在平面 内又在平面 内，根据公理的推论1知过l1和其外一点的平面有且只有一个，所以 重合，从而由lk的任意性知l1,l2,l3…,ln共面
5 空间两条异面直线的画法
6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式： 与 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ， 所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异面直线的一条上
推理模式： 且 且 唯一 如图示：
应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推理模式： 不共线 存在唯一的平面 ，使得
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
基础知识：1 空间两直线的位置关系
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式： ．
3 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
4 等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等
过B作BE⊥B1C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE= = ，即AB与B1C的距离为
（2）解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，则OF∥D1B，∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角
∵AO= ，
OF= BD1= ，
AF= ，
∴在△AOF中，
cos∠AOF= =
推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
推理模式： 存在唯一的平面 ，使得 ，
推论2经过两条相交直线有且只有一个平面
推理模式： 存在唯一的平面 ，使得
推论3经过两条平行直线有且只有一个平面
推理模式： 存在唯一的平面 ，使得
5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形
例3如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线
证明： AB∥CD，
AB，CD确定一个平面β，
易知AB，BC，DC，AD都在β内，
由平面的性质可知四点E，F，G，H都在β上，
因而，E，G，G，H必都在平面α与β的交线上，
证法二： l1∥l2,l1∥l3 直线l1和l2及直线l1和l3分别确定一个平面
l1 l=A1,l2 l=A2,l3 l=A3,
A1,A2 ,A2,A3 ,l ,且l ,
α和β都是过相交直线l1和l的平面，而过两相交直线的平面有且只有一个
l1,l2,l3,l共面，同理可证l4,l5,…,ln都在由直线l1和l所确定的平面内
（3）两条相交直线可以确定一个平面（）
（4）一条直线和一个点可以确定一个平面（）
（5）三条平行直线可以确定三个平面（）
（6）两两相交的三条直线确定一个平面（）
（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）
（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）
5．看图填空
（1）AC∩BD=
（2）平面AB1∩平面A1C1=
3．空间图形是由点、线、面组成的
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形
符号语言
文字语言（读法）
点 在直线 上
点 不在直线 上
点 在平面 内
点 不在平面 内
直线 、 交于 点
直线 在平面 内
直线 与平面 无公共点
直线 与平面 交于点
平面 、 相交于直线
（平面 外的直线 ）表示 或
4 平面的基本性质
公理1如果一条直线的两点在上，由于BD是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理2知P BD
证法一：(几何法)连结GE、HF，
∵E、G分别为BC、AB的中点，
∴GE∥AC
又∵DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，
∴HF∥AC ∴GE∥HF
故G、E、F、H四点共面
又∵EF与GH不能平行，
其中命题和叙述方法都正确的是（）
2．下列推断中，错误的是（）
A．
B．
C．
D． ，且A、B、C不共线 重合
3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．
4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面（）
（2）两条直线可以确定一个平面（）
连结DM并延长DM交D1A1的延长线于P，
则点P既在截面内又在底面A1B1C1D1内，
连结PN交A1B1于E，连ME，ND，
则过M，N，D的截面就是四边形DMEN，
易证ME∥DN且ME DN，因而它是一个梯形
小结：
1 证明“线共点”的方法，一般是先证两条直线相交于一点，然后再证其它的直线过这一点
2 证明“线共面”的问题，一般先由公理3或推论确定一个平面，再证明其它的直线在这个平面内
点评：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线
例2已知n条互相平行的直线l1,l2,l3…,ln分别与直线l相交于点A1，A2， …，An，求证：l1,l2,l3…,ln与l共面
分析：证明多条直线（三条或三条以上）共面，先由两条确定一个平面，再证其它直线在这个平面内，或者分别由两条直线确定几个平面，再证这些平面重合
异面直线所成的角的范围：
8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作 ．
9．求异面直线所成的角的方法：
几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG、D1G，则AC∥BG，∴∠D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角
BD1= ，
BG= ，
D1G= ，
在△D1BG中，
cos∠D1BG= =－ ，
故所求的余弦值为
解法三：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的夹角公式计算
例3设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条?
“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角 在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°
点评：①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算” 注意，异面直线所成角的范围是（0， ］
计算方法：①几何法；②向量法
题型讲解
例1A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角
（1）证明：用反证法
假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾 故直线EF与BD是异面直线
3 证明“点共线”的方法，一般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决
4 作几何体的截面图时，常利用平面的性质，设法确定所作截面上的关键点，从而确定截面图形
针对练习：1下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）
A．∵ ，∴ ．B．∵ ，∴ ．
C．∵ ，∴ ．D．∵ ，∴ ．
推理模式： ．如图示：
应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．
公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
解：过点O作a1∥a，b1∥b，则相交直线a1、b1确定一平面α a1与b1夹角为50°或130°，设直线OA与a1、b1均为θ角，作AB⊥面α于点B，BC⊥a1于点C，BD⊥b1于点D，记∠AOB=θ1，∠BOC=θ2（θ2=25°或65°），则有cosθ=cosθ1·cosθ2 因为0°≤θ1≤90°，所以
例2长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：
（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C