第二章+二次函数++二次函数的最值问题+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级下册

∴


(− ，
)，




在直线 上存在一点 (− ，
) ，使 △


的周长最小．
2.[2023东营中考]如图，抛物线过点 O 0,0 ， E 10,0 ，
矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 B 在点 A 的左
侧），点 C ， D 在抛物线上．设 B t, 0 ，当 t = 2 时，
AB = 10 − 2t ，再由 x = t 时 BC =
1 2
t
4
−
5
t ，结合矩形的周长公式列出
2
函数表达式，配方成顶点式即可；（3）连接 AC ， BD 相交于点 P ，连接
OC ，取 OC 的中点 Q ，连接 PQ ，根据直线 GH 平分矩形 ABCD 的面积，
得到直线 GH 过
则 = .
∵ 四边形 是矩形， ∴ 点 是 的中点，
∴ =

.

∵ = ， ∴ = =



= ，
∴ 抛物线向右平移的距离是4个单位长度.
解题思路：（1）由点 E 的坐标设抛物线的交点式，再把点 C 的坐标
2, −4 代入计算即可；（2）由抛物线的对称性得 AE = OB = t ，进而得
求点 P 的坐标.
解：如图，连接 ， ，
令 = ,则 − + + = ,解得 = − , = ，
∴ −, , , .
由抛物线的对称性知， = ，
则 − = − ，
当 ， ， 三点共线时， − 最小，即
− 最小，
设直线 的表达式为 = + ，
将点 的坐标代入上式，解得 = ，
即直线 的表达式为 = + ，
当 = 时， = ， ∴ 点 , ，
由点 ， 的坐标得，直线 的表达式为 = − + ，
=

−

∵

−

+ + =

−

−

+

(−


，

< ，
∴ 当 =

时，矩形 的周长有最大值，最大值为 .


+ )]

（3）保持 t = 2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物
线与矩形的边有两个交点 G ， H ，且直线 GH 平分矩形 ABCD 的面积时，
的中点，连接 AD ，以 AE 和 AD 为一组邻边作 ▱ADGE ．
（1）求抛物线的表达式；
解： ∵ 抛物线 =
∴

−

− + + = ,

−

− + = ,
+ + 与 轴交于 , ， −, 两点，

,

=
解得
= ,
∴ 抛物线的表达式为 =
= ,
∴ =
+ = , =
+ = , = ,
∴ + = , ∴ ⊥ .
延长 至点 ′ ，使 ′ = ，连接 ′ ，交直线 于点 ，连接
, ，
第二章 二次函数
专项1 二次函数的最值问题
过专项 阶段强化专项训练
类型1 线段的最值问题
1.如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c a ≠ 0 过点
M −2, 3 ，顶点 N 的坐标为 −1,
交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C .
4
3
3
，且与 x 轴
（1）求该抛物线的表达式.
解： ∵ 抛物线的顶点 的坐标为 −,
∴ 可设其表达式为 = +

+
将 −, 的坐标代入，得 +
故抛物线的表达式为 = −


+








，
，

= ,解得 = − ，






+
=− −




+ .
（2）在直线 AC 上是否存在一点 Q ，使 △ QBM 的周长最小？若存在，求
求抛物线平移的距离．
解：如图，连接 ， 相交于点 ，连接 ，
取 的中点 ，连接 ，
∵ = ， ∴ , ， ∴ , ，
∵ 直线 平分矩形 的面积，
∴ 直线 过点 .
由平移的性质可知，四边形 是平行四边形，
∵ , ， , ，
+ ，

− ,

+ = ,
=
∴
解得
= ,
= ,
∴ 直线 的表达式为 =

−

+ ．
如图，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，交 于点 ，
设

, −

+



+ ，则点

−

+



+ ．
（2）当点 D 在直线 AC 上方的抛物线上时，求 ▱ADGE 面积的最大值及此
时点 D 的坐标.
∵ 抛物线的表达式为 =

−

+



∴ , .
∵ 为线段 的中点， ∴ , ，
设直线 的表达式为 = + ，
BC = 4 ．
（1）求抛物线的函数表达式.
解：设抛物线的表达式为 = − ，
∵ 当 = 时， = ， ∴ 点 的坐标为 , − ，
∴ 将点 的坐标代入 = − ，
得 − = − ，解得 =
∴ 抛物线的函数表达式为 =
在 x 轴的上方．
（1）求此抛物线的表达式.
解：设抛物线的表达式为 = −
则 = −


+ ，
+ ，
将点 的坐标代入上式，解得 = − ，
故抛物线的表达式为 = − −

+ = − + + .
（2）若直线 BP 与抛物线对称轴交于点 D ，当 BD − CD 取得最大值时，
∴ 当 = 时， ▱ 有最大值，为4，此时 , ．
4.[2023泉州期末]如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
顶点为 E 1,4 的抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴从
左到右依次交于 A ， B 两点，与 y 轴的交点为
C 0,3 ， P 是抛物线对称轴右侧部分上的一点，且
得
∴
的坐标分别代入，

= ,
− + = ,

解得

+ = ,
=
,



直线 ′ 的表达式为 = +
．


同理可求得直线 的表达式为 = − + ．
由
∴
=



+



,
= − + ,
得
=
=

− ,


,
令 − + + = − + ，
解得 = 或3（舍去），
∴ 点 , .
（3）若直线 BC 与抛物线对称轴交于点 F ，连接 PC ， PE ， PF ，记
△ PCF ， △ PEF 的面积分别为 S1 ， S2 ，判断 2S1 + S2 是否存在最大
值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
AD = BD ，则 BD − CD = AD − CD ，当 A ， C ， D 共线时，
AD − CD 最小，即 BD − CD 最小，进而求解；（3）由
2S1 + S2 = FH ⋅ xP − xC +
1
EF
2
⋅ xP − xE ，即可求解．
则点 ， ′ 关于直线 对称， ∴ = ′ ，
∴ + = ′ + = ′ ，
∴ 此时 △ 的周长最小.
由 −, ， , ，易得 ′ , ．
设直线 ′ 的表达式为 = + ，
将 −, ， ′ ,
根据平行四边形的性质得到 PQ = CH ，根据矩形的性质得到点 P 是 AC 的
中点，求得 PQ =
1
OA ，即可得到结论．
2
类型2 面积的最值问题
3.[2023辽阳三模]如图，抛物线 y =
1 2
− x
2
+ bx + c 与 x 轴交于 A 4,0 ，
B −1,0 两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线上一动点，点 E 是线段 AC
= − − = − ，
则 + = ⋅ − +
= ( − )

+




⋅ −
×× − =− −
故 + 存在最大值，为3．

+ ≤ ，
解题思路：（1）用待定系数法即可求解；（2）由抛物线的对称性知，
解：存在.理由如下：
由点 ， 的坐标得，直线 的表达式为 = − + ，则点 , ，
设直线 交对称轴于点 ，
设点 , − + + ，
由点 ， 的坐标得，直线 的表达式为 = − + + ，
当 = 时， = − + + = − ，则

，




−

.

（2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？
解：由抛物线的对称性得 = �� = ，
∴ = − ，
当 =

时，点 的纵坐标为

−

，

∴ 矩形 的周长为 + = [ − +
出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在.如图，连接 ,
由（1）知 = −



−



+ ，
令 = ，得 = ， ∴ , ．
令 = ，得 = 或 = − ，
∴ , ， −, ， ∴ = , = ,

, −

+ ，
∴ =
=

−


−

= ×
+−

−

+
+ ，
∴ △ =


+







−

⋅ −
+ × =

−

+ ，
∴ ▱ = △ = − + =
− −

+ < < ，∵ − < ，