第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题6 第3讲 导数的简单应用(小题)

第3讲 导数的简单应用(小题)

热点一 导数的几何意义与定积分 应用导数的几何意义解题时应注意：

(1)f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系，f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，是一个常数； (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上也在切线上.

例1 (1)(2019·湖南省三湘名校联考)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋a

2x 6的展开式中，其常数项是15.如图所示，阴影部分是由曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2＝a 及x 轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形的面积为( )

A.π4＋1

6 B.π4－1

6 C.π4

D.16

x －x 2)d x ＝π

4

－

⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 310＝π4－16. (2)(2019·许昌、洛阳质检)已知a >0，曲线f (x )＝3x 2－4ax 与g (x )＝2a 2ln x －b 有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b 的最小值为( ) A.0 B.－1e 2 C.－2e 2 D.－4e

2

跟踪演练1 (1)(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

－x ＋2，x ≤2，

1－(x －3)2

，2<x ≤4，

则定积分

()4

12

d f x x ⎰的值为( )

A.9＋4π8

B.1＋4π4

C.1＋π2

D.3＋2π4

(2)(2019·丹东质检)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切，则a 等于( ) A.e B.2e C.1 D.2

热点二 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认； (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.

例2 (1)(2019·武邑质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若2f (x )＋f ′(x )>2，f (0)＝5，则不等式f (x )－4e

－2x

>1的解集为( )

A.(1，＋∞)

B.(－∞，0)

C.(－∞，0)∪(1，＋∞)

D.(0，＋∞)

(2)已知f (x )＝()x 2＋2ax ln x －1

2x 2－2ax 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )

A.{1}

B.{－1}

C.(0,1]

D.[－1,0)

跟踪演练2 (1)(2019·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈(0，π)，有f ′(x )sin x >f (x )cos x ，且f (x )＋f (－x )＝0，设a ＝2f ⎝⎛⎭⎫π6，b ＝2f ⎝⎛⎭⎫π4，c ＝－f ⎝⎛⎭⎫－π2，则( ) A.a <b <c B.b <c <a C.a <c <b

D.c <b <a

(2)(2019·临沂质检)函数f (x )＝12ax 2－2ax ＋ln x 在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是

( )

A.a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1

2 B.a ∈⎝⎛⎭⎫－12，1

6 C.a ∈⎝⎛⎭⎫16，12

D.a ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞

热点三 利用导数研究函数的极值、最值 利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题： (1)不能忽略函数f (x )的定义域；

(2)f ′(x 0)＝0是可导函数在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件； (3)函数的极小值不一定比极大值小；

(4)函数在区间(a ，b )上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

例3 (1)(2019·东北三省三校模拟)若函数f (x )＝e x －ax 2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≤e 2 B.a >e C.a ≤e D.a >e

2

(2)已知点M 在圆C ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0上，点N 在曲线y ＝1＋ln x 上，则线段MN 的长度的最小值为________.

跟踪演练3 (1)(2019·天津市和平区质检)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝0，f ′(1)＝0，但x ＝1不是函数的极值点，则abc 的值为________. (2)已知a >0，f (x )＝x e x

e x ＋a ，若

f (x )的最小值为－1，则a 等于( )

A.1e 2

B.1

e

C.e

D.e 2

真题体验

1.(2017·全国Ⅱ，理，11)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1

的极值点，则f (x )的极小值为

( )

A.－1

B.－2e －

3 C.5e －

3 D.1

2.(2019·全国Ⅰ，理，13)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________.

3.(2018·全国Ⅰ，理，16)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________. 押题预测

1.已知⎝⎛⎭⎫a x －x 6展开式的常数项为15，则()

21d a a

x x x -+-⎰等于( )

A.π

B.2＋π

C.π2

D.2＋π2

2.已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，若a ＝f (1)，b ＝1e f ⎝⎛⎭⎫

1e ，c ＝

－e f (－e)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.b <c <a C.a <c <b

D.b <a <c

3.已知函数f (x )＝(x －3)e x ＋a (2ln x －x ＋1)在(1，＋∞)上有两个极值点，且f (x )在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.(e ，＋∞) B.(e,2e 2)

C.(2e 2，＋∞)

D.(e,2e 2)∪(2e 2，＋∞)

A 组 专题通关

1.设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象在点()t ，f (t )处切线的斜率为g (t )，则函数y ＝g (t )的图象一部分可以是( )