信号分析第六章Z变换的基本性质

[( 2) m (k m)]

X
四．时域卷积定理
已知 则 x(k ) X ( z ) h( k ) H ( z )
第
17 页
z z
1 1 2 2
x ( k ) * h( k ) X ( z ) H ( z )
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
1) a k (k 1) 2)a k (k 1)
X
八.时域求和性质
若 则 x(k ) X ( z )
k
第
26 页
z
max( ,1) z
z f (k ) x(i) X ( z) z 1 i
k
说明 : 用卷积和定理可得 z f (k ) x(i) x(k ) (k ) X ( z) z 1 i
例题 : 求以下信号的 变换(用求和性质或卷积和性 z 质） 1) f (k ) 2) f (k ) (1) i
i 0 k
i
X
第
(1)左移位性质
若 x(k ) (k ) X ( z)
则
9 页
z
z
m 1 m k x(k m) (k ) z X ( z ) x(k ) z k 0
其中m为正整数
xk 1 (k ) zX z zx0
xk 2 (k ) z X z z x0 zx1
2 2
X
第
证明左移位性质
根据单边z变换的定义，可得 Z xk m k xk m z k
k 0
10 页
z m xk m z k m
k 0

令n k m z
m
nm
xn z n

m 1 m n n z xn z xn z n 0 n 0 m 1 m n z X z xn z n 0
n m
xn z n

X
第
例题
1.求f (k ) (k 1) (k 1)的单边z变换 z 2. 已知a (k ) za za 分别求a k 1 , a k 1 (k ), a k 1 (k 1)单边z变换
k
14 页
3.a k的双边z变换存在吗？
第
第二节 Z变换的性质
反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系 线性性质 移序性质 序列乘K性质（序列线性加权）
1 页
Z域尺度变换性质（序列指数加权）
时域卷积定理
z域卷积定理（自学）
初值定理
终值定理
以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边.
X
一．线性
若 则
第
(叠加性和齐次性）
2 页
Z x1 (k ) X 1 ( z )
X
第
例题
22 页
1.求以下序列的 变换 z 1) f 1 (k ) (1) k (k 1) (k 1) 2) f 2 (k ) (k 1) (k 1)
2
k (k 1) 3) f 3 (k ) (k ) 2 2. 已知序列f (k )的单边z变换为F ( z ) 求序列y (k )
( z max( R1 , R2 )
注意：如果在相乘过程中有零点与极点相抵消，则 收敛域可能扩大。 在时域中的卷积 在z域中z变换的乘积
X
第
利用卷积定理得出常见序列的z变换
18 页
z 2 1.(k 1) (k ) (k ) (k ) ( ) z 1
z 2 ) 2.a (k 1) (k ) a (k ) a (k ) ( za z 2 z 1 ) z a 3.k (k 1) z ( 2 z 1 ( z 1) z z a 4.k (k ) k (k 1) 2 ( z 1)
k
第
15 页
z a z a
说明:在时域乘指数序列相当于在z域进行尺度变换. 证明： Z a x( k ) a x( k ) z
k k k 0



k
同理
a
k
x(k ) X az

a
z x( k ) a k 0
x(k ) y(k ) a (k ) a (k 1) δk
k k
X (z) Y (z) 1
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
X
二．移序(移位)性质
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
第 6 页
X
1．双边z变换的移序性质
3.求f1 (k ) [( 2) n (k n)] 和
n 0
f 2 (k )
(1) i的z变换
i 0
k 1
X
第
20 页
X
五．乘k定理 （z域微分定理）
若 则 x(k ) X ( z )
第
21 页
z z
m
d X ( z) kx(k ) z dz
Z x 2 (k ) X 2 ( z )
z R z R
x1 x2
Z ax1 (k ) bx 2 (k ) aX 1 ( z ) bX 2 ( z )
a,b为任意常数。 ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即 z max( Rx1 , Rx 2 )
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.

k
z

z X a
1
k
x(k ) X z
a
X
第
例题
求以下信号单边 变换 z 1. f (k ) (0.5) k (k ) 1 k 2. f (k ) ( ) sin k (k ) 2 2 3. f (k ) 2
k m 0
16 页
4.求以下信号单边 变换 z f (k ) 2 k (k 1) k 2,4,6 1 5. 已知F ( z ) 9 求f ( k ) z ( z 1) 0 f (k ) 1 k 1,3,5,
X
三.Z域尺度定理（序列指数加权乘ak）
若 则 x(k ) X ( z ) z a x(k ) X a a为非零常数
推广
d k x( k ) z X ( z ) dz
m
m
d d d d d z d z 表示 z d z z d z z d z z d z X ( z ) 共求导m次 说明:在时域乘k(线性加权),相当于在z域中对z变换求 导再乘-z.
X
第
(2)右移位性质
若 x(k ) (k ) X ( z) z
11 页
1 m k 则 x(k m) (k ) z X ( z ) x(k ) z z k m 其中m为正整数 k 1 (k ) z 1 X z x 1 x
k
k k
z 1
z a
X
第
例题
19 页
1.求(k 1)[ (k ) (k 3)] [ (k ) (k 4)]的z变换 1 k 1 k 1 2.如果f1 (k ) (k ) f 2 (k ) ( ) (k ) ( ) (k 1) 2 2 求f1 (k ) f 2 (k )例题源自X ( )
z

d
z
ak 求序列 (k )的z变换 k 1
X
七.时域反转
若 则 x(k ) X ( z ) x(k ) X ( z )
1
第
25 页
z
1

z
1

说明:信号在时域反转
在z域坐标变换为z-1
其收敛域为倒置(因果变为反因果) z k 例题 已知 : x(k ) a (k ) z a za 求以下信号的 变换 z
k







ROC : z max e

kω0
,e
kω0

X
第
同理
z shω0 sinh( kω0 ) ( k ) 2 z 2 z chω0 1
4 页
ROC : z max eω0 , e ω0


X
例2
第 5 页
注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消， 则收敛域可能扩大。 z k x( k ) a ( k ) X ( z ) z a za y (k ) a k (k 1) a Y (z) z a aa k 1 k 1 za
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x (k ) x ( k 2) x ( k 2)
第 7 页
4
4
4
1O 1 2
k
1O 1 2
k
2 1 O 1
k
若序列xk 的双边z变换 : x(k ) X ( z ) x ( k m) z m X ( z )
z z
X
例1
解： 已知
求 coshk 0 (k )的z变换。
第 3 页
z Z a (k ) za 1 kω0 kω0 并且 coshkω0 e e 2 1 1 kω0 所以 Z coshkω0 ( k ) Z e ( k ) Z e kω0 ( k ) 2 2 1 z 1 z ω0 ω0 2 z e 2 z e z( z coshω0 2 z 2 z coshω0 1 同理
k 0
X
第
证明右移位性质
根据单边z变换的定义，可得 Z xk m k xk m z k
k 0
13 页
z m xk m z k m
k 0

令n k m z
m
1 m n n z xn z xn z n m n 0 1 m n z X z xn z n m
k 2 (k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2 x 注意：对于因果序列k 0时，xk 0，则 k m z m X (z) x
x(k m) (k m) z
m
X ( z)
X
k m z m 说明:移序特性可将差分方程转换为代数方程.
第
m 1

因为
k 0
x( k ) X ( z )
12 页
所以：X ( z )＝ x(k ) z k x0 x1z 1 x2z 2
x(k 1) x(k 1) z k x 1 x0 z 1 x1z 2 x(2) z 3 x(-1) z -1[ x0 x1z 1 x2 z 2 x3z 3 x 1 z 1 X z
if (i)的单边z变换Y ( z )
i 0
k
X
第
23 页
X
六.除k+m定理(z域积分定理)
若 则 x(k ) X ( z )
第
24 页
z z
X ( ) x(k) m z d z m 1 km
m为整数, 且k m 0 x(k) m0 k
X
2．单边z变换的移序性质
若x(k)为双边序列，其单边z变换为 Z x(k ) (k )
x( k ) ( k ) x( k 2) ( k )
x( k 2) ( k )
第 8 页
4
4
4
1O 1
k
1O 1
k
1O 1
k
xk m k , xk m k 较xk k 的长度有所增减。