2020-2021学年人教A版数学必修2习题：周练卷5

周练卷(5)
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是(A)
A．平行B．异面
C．相交D．垂直
解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.
2．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(C)
A．a⊥b，且a与b相交
B．a⊥b，且a与b不相交
C．a⊥b
D．a与b不一定垂直
解析：过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直，故选C.
3．若两个平面互相垂直，第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么(C)
A．直线a垂直于第二个平面
B．直线b垂直于第一个平面
C．直线a不一定垂直于第二个平面
D．a必定垂直于过b的平面
解析：若b为两个平面的交线，则直线a垂直于第二个平面；若b不是两个平面的交线，则直线a不一定垂直于第二个平面．
4．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(C) A．60°B．120°
C．60°或120°D．不确定
解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面
角外，则二面角的平面角为60°.
5．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB.若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为( C ) A .63
B.22 C .33 D.13
解析：取DD 1的中点G ，连接EG 、FG 、EC 1，易知∠FEG 为直线EF 与平面ADD 1A 1所成的角，设AB ＝a ，则AA 1＝AD ＝2a ，在△ED 1C 1中可求出EC 1＝2a ，在△EFC 1中可求出EF ＝3a ，所以在△EFG 中，sin ∠FEG ＝FG EF ＝33，故选C .
6．如图所示，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′-BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( B )
A ．A ′C ⊥BD
B ．∠BA ′
C ＝90°
C ．CA ′与平面A ′B
D 所成的角为30°
D ．四面体A ′-BCD 的体积为13
解析：因为平面A ′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面A ′BD ，所以CD ⊥BA ′.由勾股定理，得A ′D ⊥BA ′.又因为CD ∩A ′D ＝D ，所以BA ′⊥平面A ′CD ，所以∠BA ′C ＝90°.
7.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BB 1，A 1B 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP ⊥BN 的点P 所形成图形的周长是( D )
A．4 B．2＋ 2
C．3＋ 5 D．2＋ 5
解析：如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，
则MG∥BC.设BN交AM于点E.
∵BC⊥平面ABB1A1，NB⊂平面ABB1A1，
∴NB⊥MG.∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，∴在△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°，∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，∴矩形ADGM 的周长等于2＋ 5.故选D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线PA⊥l，则AP与平面α的位置关系是AP⊂α.
解析：
设AP与l确定的平面为β.假设AP⊄α，不妨设α∩β＝AM，AP与AM 不重合，如图所示．因为l⊥α，AM⊂α，所以l⊥AM.又AP⊥l，所以在平
面β内，过点A有两条直线垂直于l，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以假设不成立．所以AP⊂α.
9.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD 把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B-AD-C′为60°，则折叠后二面角A-BC′-D的正切值为2.
解析：易知∠BDC′即二面角B-AD-C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，则易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A-BC′-D的平面角即∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝23，在等边三角形BDC′中，易知DM＝
3，所以tan∠AMD＝AD
DM＝2.
10．下列四个命题中，真命题的个数为1.
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③若点M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
解析：只有③正确．
11.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析：连接AC，因为四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD 为菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC，所以BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
三、解答题(共45分)
12.(本小题15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME.
∵E，M，N分别是CD，AB，PC的中点，
∴NE∥PD，EM∥DA，
∴平面NEM∥平面PDA，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴CD ⊥PA.
∵底面ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，
又PA ∩AD ＝A ，
∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD.
∵EN ∥PD ，
∴EN ⊥CD ，
又∵CD ⊥EM ，EM ∩EN ＝E ，
∴CD ⊥平面ENM ，∴MN ⊥CD.
∵PM ＝PA 2＋AM 2＝
a 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝BC 2＋MB 2＝MC ，N 是PC 的中点，
∴MN ⊥PC.又CD ∩PC ＝C ，
∴MN ⊥平面PCD.
13．(本小题15分)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，
将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A-BCF ，其中BC ＝22.
(1)证明：DE ∥平面BCF ；
(2)证明：CF ⊥平面ABF.
证明：(1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC ，
在折叠后的三棱锥A-BCF 中也成立，∴DE ∥BC.
∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF.
(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，
∴AF ⊥BC ，折叠后，AF ⊥CF.
∵在△BFC中，BC＝
2
2，BF＝CF＝
1
2，
∴BC2＝BF2＋CF2，因此CF⊥BF.
又AF，BF相交于点F，∴CF⊥平面ABF.
14.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB ＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．
解：(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE.
由题意得A1E⊥平面ABC，
所以A1E⊥AE.
因为AB＝AC，所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，
从而DE∥A1A且DE＝A1A，
所以AA1DE为平行四边形．
于是A1D∥AE.
因为AE⊥平面A1BC，
所以A1D⊥平面A1BC.
(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.
因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.
因为BC⊥AE，
所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，
所以A1F⊥平面BB1C1C.
所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.
由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.
由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，
得A1F＝
7
2.所以sin∠A1BF＝
7
8.。