4.5相似三角形判定定理证明
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4.5相似三角形定理证明
（AA)判定定理：两角分别相等的两三角形 相似 已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A，B B，C C，
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取 AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ A' DE ABC ∴ ABC∽ A' B'C'
如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似,
并说明理由.
D
A
C
E
B
F
热身练习：判断图中的各对三角形是否相似。
A
B
5
6
图
O
一 24
20
D
C
E 30 D
C
36
图
48 72
三F
54
A 45 B
图 二
A 12
B 8D
14
21
P
图 四
A
B 4 D 18
ABC ∽ A' B'C'
已知：在ABC和A' B'C'中，AB AC ,A A'
求证: △ ABC∽△ A' B'C' A' BA' A'C' A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
∽ A' B'C'
∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
3.找出图中所有的相似三角形
C
A
DB
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC 你能写出对应边的比例式吗?
A
2 1
A
C
O
B
C
A
C
D
O
D
E
B D
A D
E
B
CA
BB
C
已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，
求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
11 C 12 P
（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 △ADE∽△AFG∽△ABC。
（2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。
答：相似三角形有 △AOB∽△FOE∽△DOC。AABD
E
O
F
G
E
F
找一找
B
CC
D
图1
图2
（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝ 40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，
∴ ∠ADE=∠B/，
又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。
A A/
D
E
B
C B/ C/
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
(SAS)判定定理：两边成比例且夹角相等
的两个三角形相似。
A
A'
B'
C'
B
C
A' B' A'C' , A A' AB AC
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB A
∴ AB2 = AD · AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4
B
D C
谦虚是不可缺少的品德。
DE B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽ A' B'C'
∴ A' D DE A' E A' B' B'C' A'C'
B'
C'
又 AB BC AC , A' D AB ∴ A' E AC
A' B' B'C' A'C'
A'C' A'C'
∴ A' E AC 同理 DE BC
A
A'
B
C
A' B' B' C' A' C' k AB BC AC
B'
C'
ABC ∽ A' B'C'
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC ,
求证: △ ABC∽△ A' B'C'
A' AB'
B'C'
A'C'
A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
上）截取A' D AB，过点D再做
A' DE
∴ A' D A' E A' B' A'C'
B'
C'
又 AB AC , A' D AB ∴ A' E AC
A' B' A'C'
A'C' A'C'
∴ A' E AC 又A A'.
∴ A' DE ABC ∴ ABC ∽A' B'C'
（SSS)定理：三边成比例的两个三角形相似
（AA)判定定理：两角分别相等的两三角形 相似 已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A，B B，C C，
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取 AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/
∴ A' DE ABC ∴ ABC∽ A' B'C'
如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似,
并说明理由.
D
A
C
E
B
F
热身练习：判断图中的各对三角形是否相似。
A
B
5
6
图
O
一 24
20
D
C
E 30 D
C
36
图
48 72
三F
54
A 45 B
图 二
A 12
B 8D
14
21
P
图 四
A
B 4 D 18
ABC ∽ A' B'C'
已知：在ABC和A' B'C'中，AB AC ,A A'
求证: △ ABC∽△ A' B'C' A' BA' A'C' A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
∽ A' B'C'
∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
3.找出图中所有的相似三角形
C
A
DB
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC 你能写出对应边的比例式吗?
A
2 1
A
C
O
B
C
A
C
D
O
D
E
B D
A D
E
B
CA
BB
C
已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，
求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
11 C 12 P
（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 △ADE∽△AFG∽△ABC。
（2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。
答：相似三角形有 △AOB∽△FOE∽△DOC。AABD
E
O
F
G
E
F
找一找
B
CC
D
图1
图2
（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝ 40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，
∴ ∠ADE=∠B/，
又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。
A A/
D
E
B
C B/ C/
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
(SAS)判定定理：两边成比例且夹角相等
的两个三角形相似。
A
A'
B'
C'
B
C
A' B' A'C' , A A' AB AC
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB A
∴ AB2 = AD · AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4
B
D C
谦虚是不可缺少的品德。
DE B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽ A' B'C'
∴ A' D DE A' E A' B' B'C' A'C'
B'
C'
又 AB BC AC , A' D AB ∴ A' E AC
A' B' B'C' A'C'
A'C' A'C'
∴ A' E AC 同理 DE BC
A
A'
B
C
A' B' B' C' A' C' k AB BC AC
B'
C'
ABC ∽ A' B'C'
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC ,
求证: △ ABC∽△ A' B'C'
A' AB'
B'C'
A'C'
A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
上）截取A' D AB，过点D再做
A' DE
∴ A' D A' E A' B' A'C'
B'
C'
又 AB AC , A' D AB ∴ A' E AC
A' B' A'C'
A'C' A'C'
∴ A' E AC 又A A'.
∴ A' DE ABC ∴ ABC ∽A' B'C'
（SSS)定理：三边成比例的两个三角形相似