2018大二轮高考总复习文数文档：解答题4 立体几何

第一单元　高考中档大题突破

解答题04:

立体几何

年

份卷

别具体考查内容及命题位置

命题分析Ⅰ卷

线面平行的判定、几何体的体积·T 18

Ⅱ卷面面垂直的判定、空间几何体的体积与侧面积·T 18

2017

Ⅲ卷线线垂直的判定、空间几何体的体积·T 19甲卷

线线垂直、几何体的体积·T 19

乙卷线线垂直、线面垂直的判定与性质，几何体的体积·T 18

2016

丙卷

线面平行、几何体的体积·T 19

Ⅰ卷面面垂直的判定、三棱锥的体积与侧面积·T 182015

Ⅱ卷空间线面位置关系、空间几何体的体积·T 19Ⅰ卷空间中的垂直关系、点到面的距离·T 192014

Ⅱ卷空间中的平行关系、点到面的距离·T 18Ⅰ卷空间中的垂直关系、棱柱的体积·T 19

2013

Ⅱ卷

空间中的平行关系、空间几何体的体积·T 18

1.高考对此部分以解答题的形式考查年年都有．2．解答题的第(1)问考查空间平行关系和垂直关系的证明，而第(2)问多考查面积、体积的计算，难度中等偏上．解答题的基本模式是“一证明二计算”.

基本考点——空间平行、垂直关系及体积、表面积的计算

1．直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α.(2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .

(3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .2．直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b .(3)面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.

1.(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为，求该四棱锥8

3的侧面积．

(1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .

由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .

(2)解：如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .

由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，可得PE ⊥平面ABCD .

设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝x ，PE ＝x .22

2故四棱锥P －ABCD 的体积

V P －ABCD ＝AB ·AD ·PE ＝x 3.

1

31

3

由题设得x 3＝，故x ＝2.

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3从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝2，PB ＝PC ＝2.22可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为PA ·PD ＋PA ·AB ＋PD ·DC ＋BC 2sin 60°＝6＋2.

1

21

21

21

232.(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面

ABCD ，AB ＝BC ＝AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.

1

2

(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；

(2)若△PCD 的面积为2，求四棱锥P －ABCD 的体积．

7(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD .

(2)解：如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝AD 及1

2BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .

因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .

因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .

设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝x ，PM ＝x ，PC ＝PD ＝2x .23如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，

所以PN ＝x .

14

2因为△PCD 的面积为2，所以×x ×x ＝2，71

2214

27解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.

于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2.

3

所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝×

×2＝4.

132(2＋4)2

33常考热点——立体几何中的折叠问题、探索性问题

考向01：折叠问题

折叠问题是高考常考题型，一般来说，折叠问题常从以下两个角度考查：一是将平面图形折叠成空间几何体，进而论证位置关系和求空间几何体体积；二是将空间图形拆分并铺成平面图形来计算一些数量关系．

　(2017·西安一模)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，

AB ＝BC ＝2，AD ＝6，CE ⊥AD 于E 点，把△DEC 沿CE 折到D ′EC 的位置，使D ′A ＝2，如图(2)，若G ，H 分别为D ′B ，D ′E 的中点．

3

(1)求证：GH ⊥D ′A ；

(2)求三棱锥C －D ′BE 的体积．

[思路点拨]　(1)通过证明：AD ′⊥AE ，AD ′⊥AC ，推出AD ′⊥平面ABCD ，推出AD ′⊥BE ，通过证明GH ∥BE ，推出GH ⊥D ′A ；

(2)三棱锥C －D ′BE 的体积．直接利用棱锥的体积公式求解即可．(1)【证明】　在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，

AB ＝BC ＝2，AD ＝6，CE ⊥AD 于E 点，把△DEC 沿CE 折到D ′EC 的位置，使D ′A ＝2，ED ＝4，连接BE ，GH ，在三角形AED ′中，可得ED ′2＝AE 2＋AD ′2，可得3AD ′⊥AE ，DC ＝＝2，

ED 2＋AB 25

AC ＝2，可得AC 2＋AD ′2＝CD ′2，可得AD ′⊥AC ，

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