2010高考名校精粹重组试卷(1)(数学)

2010年名校精粹重组（1）
数 学 试 卷
一、选择题
1．集合}2{},,,{},2,3{=⋂==N M b a N M a
若，则M ∪N= （ ）
A ．{0,1,2}
B ．{0,1,3}
C ．{0,2,3}
D ．{1,2,3} 2．函数()ln y x x =-与ln y x x =的图象关于
（ ） A ．直线y x =对称 B ．x 轴对称
C ．y 轴对称
D ．原点对称
3．设复数z 满足z
i
21+=i ，则 z = （ ） A ．-2+i B ． -2-i C ． 2+i D ． 2-i
4．数列1111
424816
，8，16，32，，的前n 项和为
（ ）
A ． 1
221n n +--- B ． 2223n n +---
C ． 1
2
21n n +-+-
D ． 1
12
21n n +----
5．设
3
.02
131)21(,3log ,2log ===c b a ，则 （ ）
A ．a<b<c
B ．a<c<b
C ．b<c<a
D ． b<a<c
6．已知集合A={x| －2≤x ≤7 }, B={x|m+1＜x ＜2m －1＝，若A ∪B=A ，则函数m 的取值范围是（ ） A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4 D ． m ≤4 7．将函数21x
y =+的图象按向量a 平移得到函数1
2x y +=的图象，则 （ ）
A ．(11)=--，a
B ．(11)=-，a
C ．(11)=，a
D ．(11)=-，a
8．设双曲线22221x y a b
-=的一条渐近线与抛物线2
1y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心
率为（ ）
A ．5
4
B ．5
C D
9．如图所示，单位圆中AB 的长为x ，()f x 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓
形面积的2倍， 则函数()y f x =的图像是
（ ）
10．
10
)31(x
x -
的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 （ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
11．设奇函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，且0)1(=f ，则不等式0)]()([<--x f x f x 的解集为 （ ） A ．}1,01|{><<-x x x 或 B ．}10,1|{<<-<x x x 或
C ．}1,1|{>-<x x x 或
D ．}10,01|{<<<<-x x x 或
12．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ,
设两条直线l 1：ax ＋b y ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，试问点（P 1，P 2）与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是 （ ） A ．P 在直线l 2的右下方 B ．P 在l 2直线的左下方 C ．P 在直线l 2的右上方 D ．P 在直线l 2上
二、填空题
13、按如图所示的程序框图运算，若输出2k =，则输入x 的取值范围是______
14．设0＜θ＜π
2，已知a1＝2cosθ，an ＋1＝2＋an(n ∈N ＋)，猜想an ＝________． 15．如图，是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为a 2的等腰三角形俯视图是半径为a 的
半圆，则该几何体的表面积是 ．
16．具有性质1f x ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
＝()f x -的函数，我们称其为满足“倒负”变换的函数，下列函数： （1）y ＝x －1x ；（2）y ＝x ＋1
x ；（3）y ＝0101)
1
1x x x x x
⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩（＜＜）（＝－（＞），其中不满足“倒负”变换的函数是 ． 三、解答题
17．在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边)cos ,(cos ),,2(C B n b c a m =+=，且
.0=⋅n m
（1）求角B 的大小；
（2）设函数x C A x x x f 2cos 2
3
)cos(cos sin 2)(-
+=，求函数)(x f 的最小正周期，最大值及当)(x f 取得最大值时x 的值。

18．四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，BC=2CD=2，又PA=PD ，
,90︒=∠APD E 、G 分别是BC 、PE 的中点。

（1）求证：AD ⊥PE ；
（2）求二面角E —AD —G 的大小。

19．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响． 已知某学生只选修
甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（1）记“函数
ξ+=2
)(x x f 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （2）求的分布列和数学期望．
20．已知各项均为正数的数列{}n a 满足12
212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a a a ,其中
*∈N n ．
（I ）求数列{}n a 的通项公式;
（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2
n n
a b =,其中*∈N n ,试比较n
n T T 412
1++与
1log 22
log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明．
21．已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两
点，设1DA l =，2DB l =，求
12
21
l l l l +的最大值．
22．已知函数.1ln )(),()(-=∈=x x g R a ax x f （1）若函数x x f x
x g x h 2)(2
1)()(--
+=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．
参考答案
一、选择题
1．D 解析：因为M ∩N=｛2｝,所以2∈M,即2a
=2，a=1，而2∈N ，即b=2。

所以M ∪N={1,2,3}
选D
2．D 解析:把(),x y --代入函数()ln y x x =-中,得ln y x x =,故选D ． 3． C 解析：设复数z=a bi +, (a ，b ∈R)满足
z i
21+=i ，∴ 12i ai b +=-，21
a b =⎧⎨=-⎩，∴ z =2i -，2z i =+选C ．
4．B 解析：其前n 项和为1
111481632
2
24
2
n n +++++++++=
12(12)
12n +-+- 11
(1)22112
n ⨯--=2223n n +---故选择B ．
5． B 解析：由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<<c a ，而13l o
g 2
>=b ，
因此选B 。

6． D ．解析：A ∪B=A 则B A ⊆．若B=φ，则m+1≥2m-1，m ≤2；若B φ≠则
211
21
24217m m m m m ->+⎧⎪
-≤+⇒<≤⎨⎪-≤⎩
，取并，得m ≤4，选D ． 7．A 解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。

依题由函数21x
y =+的图象
得到函数1
2
x y +=的图象，需将函数21x
y =+的图象向左平移1个单位，向下平移1个
单位；故(11).=--，
a 选A 8．D 解析：双曲线12222=-
b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21
b y x
a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得
210b x x a -
+=有唯一解,所以△=2()40b
a
-=, 所以2b a =
,2c e a a ====故选D ． w ．w ．
9．D 解析：如图所示，单位圆中AB 的长为x ，()f x 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积
的2倍，当AB 的长小于半圆时，函数()y f x =的值增加的越来越快，当AB 的长大于半圆时，函数()y f x =的值增加的越来越慢，所以函数()y f x =的图像是D ．
10．B 解析：本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识． 10
31⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 的展开式通项
为31010102
12
1011()()33
r
r
r
r r r C C x x ---=，因此含x 的正整数次幂的项共有2项．选B
11．D 解析：∵函数)(x f 是奇函数，函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，∴它在)0,(-∞上也是
增函数． ∵)()(x f x f -=-，∴0)1()1(==-f f ．不等式0)]()([<--x f x f x 可化为
0)(2<x xf ，
即0)(<x xf ，∴当0<x 时，可得)1(0)(-=>f x f ，∴1->x ，∴01<<-x ；当0>x 时，可得)1(0)(f x f =<，∴1<x ，∴10<<x ．综上，不等式0
)]()([<--x f x f x 的解集为}10,01|{<<<<-x x x 或．选D 项．
12．B 解析：易知当且仅当12
a
b
≠时两条直线只有一个交点，而满足12
a b
＝的情况有三种：1a =，
2b =（此时两直线重合）
，2a =，4b =（此时两直线平行），3a =，6b =（此时两直线平行），而投掷两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率P 2＝1－
3113612＝；两条直线平行的概率为P 1＝213618＝，所求点P 是（118，1112），易判断P （118，1112
）在直线2l 的左下方． 二、填空题 13、19≤x<200
14、2cos θ2n －1
解析：因为0＜θ＜π2，所以a2＝2＋2cosθ＝2cos θ
2，a3＝
2＋2cos θ2＝2cos θ
4，
a4＝
2＋2cos θ4＝2cos θ8，于是猜想an ＝2cos θ
2n －1
(n ∈N ＋)．
15．由三视图，可知此几何体为半个圆锥，其底面积为
2
2
a π，侧面积为
2223221
)2(43a a a a a ππ+=⨯+⨯，∴该几何体的表面积为2)32
3(
a +π． 16．（1）（3）．解析：对于（1）1f x ⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝1x -＋x ≠()f x -＝－x ＋1x ；（3）当01x <<时，1
x
-＜1-，而函数在(),1-∞-上没有定义，不满足“倒负”变换．
三、解答题
17、解：（1）由0=⋅n m ，得0cos cos )2(=++C b B c a 0cos cos cos 2=++∴C b B c B a 由正弦定理，得 0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A
即0)sin(cos sin 2=++B C B A ，
0)1cos 2(sin =+∴B A ，
在ABC ∆中，0sin ≠A 01cos 2=+∴B
π3
2
=∴B 6分
（2）π3
2
=B ，
3
π
=
+∴C A
)3
2sin(2cos 232sin 21)(π-=-=
∴x x x x f 所以)(x f 的最小正周期为π 令Z k k x ∈+
=-
,2
23
2π
ππ
得)(125
Z k k x ∈+
=ππ
即当)(12
5
Z k k x ∈+=ππ时)(x f 取最大值1 18、解：解法一：
（1）如图，取AD 的中点O ，连结OP ，OE
AD OP PD PA ⊥∴=,
又E 是BC 的中点，
.,//AD OE AB OE ⊥∴∴
又OP ∩OE=0，
⊥∴AD 平面OPE 。

而⊂PE 平面OPE ，
PE AD ⊥∴
（2）取OE 的中点F ，连结FG ，OG ， 则由（1）易知AD ⊥OG ，又OE ⊥AD ， GOE ∠∴就是二面角E —AD —G 的平面角 ,21
21==
OP FG ︒=∠∴==45,2
1
21GOE CD OF
即二面角E —AD —G 的大小为45°。

解法二：
（1）同解法一。

（2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A （1，0，0），D （-1，0，0），P （0，0，1），E （0，1，0） ).2
1
,21,1(),0,0,2(),21,21,0(==∴G 8分
设平面ADG 的法向量为),,(z y x n =
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DA n ，
得⎪⎩
⎪⎨⎧=++=021
2102z y x x )1,1,0(-=∴n 10分
又平面EAD 的一个法向量为)1,0,0(=OP
又因为|
|||,cos OP n n ⋅>=
< 2
2
2
11=
⋅=
∴二面角E —AD —G 的大小为45°。

19． 解：（1）设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为、y 、
依题意得⎪⎩⎪
⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,
12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得
若函数
x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则=0
当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．
)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ 24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0=---+⨯⨯=
∴事件A 的概率为24.0
（2）依题意知20，
=ξ
∴的数学期望为52.176.0224.00=⨯+⨯=ξE
20．解:(Ⅰ)因为12
212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a
又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列
由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a 故数列{}n a 的通项公式为n n
a 2=)N (*∈n
（II ）因n
n n n a b 4222
===，所以
4,
41
1==+n
n b b b
即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列
所以
)14(34-=
n
n T
则
1431)14(48441211-+=-+=+++n
n n n n T T
又147
114641
log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n )14)(14()
4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T n n n n n n n
猜想：134
71
+>⋅-n n
①当1=n 时，41137470
=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立；
②假设当k n =时，不等式13471
+>⋅-k k 成立
当1+=k n 时，
1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k
综上①②对任意的*∈N n 均有13471
+>⋅-n n
又410,410n
n ->->
01log 22
log 24122121<-+-+∴
++n n n n b b T T
所以对任意的*∈N n 均有
1log 22
log 24122121-+<
+++n n n n b b T T 21、解：（1）解：设(),P x y ，则(),1Q x -，
∵QP QF FP FQ =，
∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--．
即()()2
2121y x y +=--，即24x y =，
所以动点P 的轨迹C 的方程2
4x y =．
（2）解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，则2
4a b =． ①
圆M 的半径为MD =
圆M 的方程为()()()2
2
2
2
2x a y b a b -+-=+-． 令0y =，则()()2
2
2
2
2x a b a b -+=+-，
整理得，2
2440x ax b -+-=． ② 由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +， ∴
1l =
2l =
．
∴22212122112l l l l l l l l ++==
== ③
当0a ≠
时，由③得，
1221l l l l +==
当且仅当a =±时，等号成立． 当0a =时，由③得，
12
21
2l l l l +=
． 故当a =±时，
12
21
l l l
l +的最大值为 22．解：（1）.21
)('),0(22ln )(2--=>--
=ax x
x h x x x a x x h 若使)(x h 存在单调递减区间，则),0(021
)('+∞<--=在ax x
x h 上有解．
而当x x
a x ax ax x x 2
121021,02->⇔->⇔<-->时问题转化为
),0(212+∞->在x x a 上有解，故a 大于函数),0(2
12+∞-在x x
上的最小值．
又
),0(21,1)11(21222+∞---=-在x
x x x x 上的最小值为-1，所以a>1．
（2）令).0(1ln )()()(>+-=-=a x ax x g x f x F
函数1ln )()(-==x x g ax x f 与的交点个数即为函数)(x F 的零点的个数．
).0(1
)('>-=x x a x F
令,01)('=-=x a x F 解得.1
a
x =
随着x 的变化，)(),('x F x F 的变化情况如下表：
…………7分
①当)(,,0ln 2)1(2x F e a a a F 时即->>+=恒大于0，函数)(x F 无零点．……8分
②当,,0ln 2)1(2
时即-==+=e a a a
F 由上表，函数)(x F 有且仅有一个零点．
③,0,0ln 2)1(2
时即-<<<+=e a a a F 显然a
11<
)1
,0()(.0)1()1(,01)1(a
x F a F F a F 在又所以<⋅>+=内单调递减，
所以)1
,0()(a x F 在内有且仅有一个零点
当.1)(ln
)(,1+=>x
e x F a x x
a 时 由指数函数)1()(>=a
x
a
e e y 与幂函数x y =增长速度的快慢，知存在,1
0a
x >
使得.1)(0
>x e x a
从而.0111ln 1)(ln )(0
00
>=+>+=x e x F x a
因而.0)()1(0<⋅x F a
F
又),1()(+∞a
x F 在内单调递增，⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,1)(a x F 在上的图象是连续不断的曲线， 所以),1()(+∞a
x F 在内有且仅有一个零点． 因此，)(,02
x F e a 时-<<有且仅有两个零点．
综上，)()(,2
x g x f e a 与时->的图象无交点；当)()(,2
x g x f e a 与时-=的图象有且仅有一个交点；)()(,02
x g x f e a 与时-<<的图像有且仅有两个交点．。