概率统计2009-2010(2)

EX
n
,
EX
2 n
,
DX
n
；
（2） EYn, DYn ；
（3）证明:
对任给

0
，成立
lim
n→
P{|
Yn
| } = 0 。
A6-6
概率统计 （09J70040）、 概率统计与随机过程 A（09J70050）
考试卷 A A、B 卷答案及评分细则 （2010-01-19）
A 卷 ：一、单项选择题（每小题 3 分，满分 18 分）
t0.95 (15) = 1.753,t0.95(16) = 1.746 。）
A6-3
六、（满分 12 分）
设 X1, X 2 , , X n , X n+1 是来自正态总体 N(, 2 ) 的样本,
X n
=
1 n
n i=1
Xi
,
S
2 n
=
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X n )2
ˆ
=
1 n
n i =1
xi2
；………………………………10 分
参数
的极大似然估计量为ˆ =
1 n
n i =1
X
2 i
。…………………………………12 分
A6-8
五、（满分 8 分）
解 检验假设 H0 : = 20 ,…………………………………………………2 分
检验统计量 T = x − 0 = x − 20 ~ t(15) ,………………4 分
,
d ln L
d
=−n
+1 2
n i =1
xi2 ,………………………………………………………6 分
令 − n + 1
2
n
xi2
i =1
=0,
得解
Байду номын сангаасnˆ
=
n i =1
xi2
,ˆ
=
1 n
n i =1
xi2
，……………………………………………………8 分
所以参数 的极大似然估计值为
四、（满分 12 分）
解 似然函数
n
L =
n i =1
n
f (xi; ) =
i =1
2xi exp{− xi2 }


=
n i =1
1 2xi n
exp{−
xi2 i=1 } ,…………4 分

ln L
= ln
n i =1
2xi
− n ln
−1
n i =1
xi2
A6-5
八、（满分 12 分）（此题学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生作，仅学过 1 至 9 章的学生不做） 四个位置:1,2,3,4 在圆周上逆时针排列.粒子在这四个位置上随机游动.粒子从任何一
个位置,以概率 2 逆时针游动到相邻位置; 以概率 1 顺时针游动到相邻位置;以 X (n) = j 表示
P(Wn )P(Rn+1)
=
( r
w )n +w
r
r +
w
.
3、7 门； 4、 EX = n 1 = n 1 = 1 ;5、 11 ；6、 − 1
i=1 n
n
16
6
B 卷 一、单项选择题（每小题 3 分，满分 18 分）
1、B；2、D；3、A ； 4、C；5、A；6、C。 二、填空题（每小题 3 分，满分 18 分）
试求:（1）X 的概率密度 f (x) ；（2）求 E[Y (t)] ，E[Y (t1) Y (t2)] ，E[(Y (t))2 ] ； （3）问Y (t) 是否为广义平稳过程？
[七]、（满分 8 分）（此题仅学过 1 至 9 章的学生做；学过 1 至 9 章和 11-13 章的学生不做）
设随机变量 X 和Y 相互独立,且都服从标准正态分布, Z = X 2 + Y 2 ， 试求：（1） Z 的分布函数 FZ (z) ；（2） Z 的概率密度 fZ (z) 。
（D）
D( X1
+
X2)
=

2 1
+

2 2
。
5、设随机变量 X 存在数学期望 EX 和方差 DX 0 ,则对任意正数 ,
下列不等式恒成立的是（
）。
（A） P{|
X
−
EX
| }
DX 2
；
（B）
P{|
X
−
EX
|
}1−
DX 2
（C） P{| X |
DX
}
1 2
；
（D） P{|
求参数 的极大似然估计值ˆ 和极大似然估计量。
五、（满分 8 分） 某厂生产了一批内径为 X 的铜管,设铜管内径 X ~ N(, 2 ) 。 现随机抽取 16 根铜管测其内径,测得样本均值 x = 20.46mm ,样本均方差 s = 0.92mm . 问在检验水平 = 0.05下,能否认为该批铜管的 = 20mm ？ （ z0.95 = 1.65, z0.975 = 1.96 ， t0.975 (15) = 2.13,t0.975(16) = 2.12 ，
题号 一 二
三
四
五
六 七[七] 八[八] 总分
分数
阅卷人
校对人
A
2010 年元月 19 日 10：30—12：30
一、单项选择题（每小题 3 分，满分 18 分）
1、从 0 ~ 9 这十个数码中任意取出 4 个排成一串数字码,
则所排成的数字码恰是四位奇数的概率为（
）。
（A） 41 ; （B） 1 ； （C） 4 ； （D） 1
（2）
f
(x)
=
F ( x)
=
1
1 1+ x2
,−

x

+
;…………………………………6
分
(3) P{−1 X 3} = F( 3) − F(−1) = (1 + 1 arctan 3) − (1 + 1 arctan(−1))
2
2
= 1 − 1 (− ) = 7 ;…………………………………………………9 分 3 4 12
,
试求：（1）求
Xn
=
1 n
n i=1
Xi
服从的分布；（2）求 X n+1
−
Xn
服从的分布；
（3）写出 (n −1)Sn2 服从的分布；（4）求统计量Y = X n+1 − X n n 服从的分布.
2
Sn
n +1
A6-4
七、（满分 8 分）（此题学过 1-9 章和 11-13 章的学生做，仅学过 1 至 9 章的学生不做） 设随机过程Y (t) = e−tX ， t (−, +) ，其中 X 是在 (0, 1)上服从均匀分布的随机变量，
;
2、解 设 A = 恰好 n 次取得白球, Wi = 第 i 次取得白球, Ri = 第 i 次取得红球,
P(Wi )
=
r
w +w
,
P(Ri )
=
r
r +
w
，
i = 1,2,
,根据题意知
A = W1W2 Wn Rn+1 , 且
W1,W2 ,
Wn, Rn+1 相互独立,从 P(A)
=
P(W1 )P(W2 )
北京航空航天大学
BEIHANG UNIVERSITY
2009－2010 学年 第一学期期末
考试统一用答题册
考试课程 概率统计 （09J70040） 概率统计与随机过程 A（09J70050）
班 级_____________ 姓 名______________ 考场教室_________
学 号 _____________ 成 绩 _________ 任课教师_________
）.
(A) 3 6 ； (B) 5 6 ； (C) 15 6 ； （D） 48 6 。
4、设随机变量
Xi
~
N
(0,
2 i
)
,
i
= 1,2
,则下列说法中正确的是（
）。
（A） ( X1, X 2) 必服从二维正态分布；
（B） E[( X1 )2 + ( X 2 )2 ] = 2 ；
1
2
（C） X1X2 = 0 ；
， （B） − 1 ， n −1
（ C） − 1 n2
，
（ D ）− 1 (n −1)2
。
A6-1
二、填空题（每小题 3 分，满分 18 分）
1、设每人的生日是一年中的任何一天的可能性相同,则某学院的 400 名学生中至少有一人
的生日是元旦这一天的概率为
。(一年以 365 天计).
2、袋中装有 r 红球, w 个白球,从中作有放回的抽取,每次取一球,直到取得红球为止.
只球装入与球同号码的盒子中,称为一个配对,记 X 为配对的个数,
则 EX =
。
5、某仪器上装有 4 只独立工作的同类元件。已知每只元件的寿命(以小时计)
X ~ N (5000, 2 ),当工作的元件不少于 2 只时,该仪器能正常工作。
则该仪器能正常工作 5000 小时以上的概率为
。
6、设随机变量 X 的概率密度为
4
A6-2
2x
x2
四、（满分
12
分）设总体
X
的概率密度为
f
(x; )
=


exp{− }, x 0

,
0, x 0
( 0) ,
x1, x2 , , xn 为一组样本值( xi 0,i = 1,2, , n ). X1, X2,L , Xn 是来自总体 X 的样本。
2e−2x , x 0 f (x) =
,
则 E(X − e−X ) =
。
0, x 0
三、（满分 12 分）已知随机变量 X 的分布函数为 F (x) = a + b arctan x , − x + ,
（1）确定常数 a, b ;（2）写出 X 的概率密度 f (x) ；(3)求 P{−1 X 3} ; （4）求 c ,使得 P{X c} = 1 .
X
| }
E
|X k
|k
, (k

0) 。
6、设 X1, X2,L , Xn 是来自正态总体 N(, 2 ) 的样本，当 c = （
）时，
ˆ 2
=
X 2 + cQ2 是 2 的无偏估计量，
其中 X
=
1 n
n i=1
Xi
， Q2
=
n
(Xi − X )2
i=1
。
（A） − 1 n(n −1)
(4) 由 P{X c} = 1 − P{X c} = 1 − F (c) = 1 − (1 + 1 arctan c) ,得 2
1 − (1 + 1 arctanc) = 1 ,即 1 arctan c = 1 ,
2
4
4
故 c = 1 .……………………………………………………………12 分
则恰好 n 次取得白球的概率为
。.
3、设某型号的高射炮若干个组成一个防空队,每一门高射炮发射一发炮弹而击中 飞机的概率是 0.5。则至少需要 门高射炮同时向目标射击（每炮只射一发）才能以 99%
的概率击中来犯的一架敌机。（已知 lg5 = 0.69897， lg 2 = 0.30103）。
4、将 n 只球( 1 ~ n 号)随机地放进 n 只盒子( 1 ~ n 号)中去,一只盒子装一只球。若将一
设 X1, X 2,, X n , 是相互独立的随机变量序列,且其分布律为
P{X n = −
n}
=
1 2n+1
,
P{X n
=
n}
=
1 2n+1
,
P{X n
=
0} = 1 −
1 2n
,
(n
=
1,2, )
；
记 Yn
=
1 n
n i=1
Xi
, (n
=
1,2, )
。
试求：（1）
1、C；2、A；3、C； 4、B；5、D；6、A 。
二、填空题（每小题 3 分，满分 18 分）
1、解 设 A = 至少有一人的生日是元旦这一天,则 A = 没有一人的生日是元旦这一天,
P(A) =
364400 365400
,于是 P( A)
= 1− P(A)
=
1
−
364400 365400
= 0.66626
1、 EX = n 1 = n 1 = 1 ;2、 11 ；3、 − 1 ；
i=1 n
n
16
6
4、 P(A)
=1−
P( A)
=1−
364400 365400
=
0.66626
;
5、 P(A)
=
P(W1 )P(W2 )
P(Wn )P(Rn+1)
=
( r
w )n +w
r
r +
w
；
6、7 门。
A6-7
。
90
9
9
10
0, x 1
2、已知离散型随机变量
X
的分布函数为
F
(x)
=
0.1,1 x 3 0.6,3 x 4
,
1, x 4
则 P{X 4 | X 1} = （ ）。
（A） 5 ; （B） 2 ；
（C） 3 ；
1
（D）
。
9
9
9
2
3、设随机变量 X ~ N(, 2 ) ,则 E | X − |6 = （
三、（满分 12 分）
解 (1)由分布函数的性质, 0 = lim F (x) = lim (a + b arctan x) = a + b(− ) ,
x→−
x→−
2
1 = lim F (x) = lim (a + b arctan x) = a + b( ) ,
x→+
x→+
2
于是 a = 1 , b = 1 , ……………………………………………………………3 分 2
3
3
时刻 n 粒子处在位置 j( j = 1,2,3,4) ,
（1）求齐次马尔可夫链{X (n), n = 1,2, }的状态空间；（2）求一步转移概率矩阵;
（3） 求平稳分布 ( p1, p2, p3, p4 ) .
[八]、（满分 12 分）（此题仅学过 1 至 9 章学生做，学过 1-9 章和 11-13 章学生不做）