中考数学试题汇编专题15应用题含解析

专题15 应用题
一、选择题
1．（2020四川省达州市）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1
3．小丽家去年
12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5cm 3
．
求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/cm 3
，根据题意列方程，正确的是（ ） A ．
30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．30155113x x -=⎛⎫
- ⎪⎝⎭ C ． 30155113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．3015
5113x x
-=⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】A ． 【解析】
试题分析：设去年居民用水价格为x 元/cm 3
，根据题意列方程： 3015
5113x x -=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
=5，故选A ． 考点：由实际问题抽象出分式方程．
2．（2020广西四市）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km 所用时间相等．设江水的流速为vkm/h ，则可列方程为（ ） A ．
359035120-=+v v B ．v v +=-359035120 C ． 359035120+=-v v D ．v
v -=+3590
35120
【答案】D ．
考点：由实际问题抽象出分式方程． 二、填空题
3．（2020山东省济宁市）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的
2
3
，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，可列方程组是 ．
【答案】1
482
2483
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．
【解析】
试题分析：由题意可得：
1
48
2
2
48
3
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，故答案为：
1
48
2
2
48
3
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
三、解答题
4．（2020四川省广安市）某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．
（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．
（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．
【答案】（1）W=8t+900；（2）有三种购买方案．为了使拍照的资金更充足，应选择方案：购买30件文化衫、15本相册．
【解析】
试题分析：（1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据总价=单价×数量，即可得出W关于t的函数关系式；
试题解析：（1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：
89001700560
89001700544
t
t
+≥-
⎧
⎨
+≤-
⎩
，解得：30≤t≤32，∴有三种购买方案：
方案一：购买30件文化衫、15本相册；
方案二：购买31件文化衫、14本相册；
方案三：购买32件文化衫、13本相册．
∵W=8t+900中W随x的增大而增大，∴当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，∴为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．
考点：1．一次函数的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．最值问题；4．方案型．
5．（2020四川省绵阳市）江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
【答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．
【解析】
试题分析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
试题解析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据
题意得：
3 1.4
25 2.5
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
0.5
0.3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．
（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．
∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∴
20.520.3(10)8 20040005400
m m
m
⨯+⨯-≥
⎧
⎨
+≤
⎩
，解得：
5≤m≤7，∴有三种不同方案．
∵w=200m+4000中，200＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．
答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．
考点：1．一元一次不等式组的应用；2．二元一次方程组的应用；3．方案型；4．最值问题．6．（2020山东省枣庄市）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有人，在扇形统计图中，m的值是；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【答案】（1）50，30%；（2）作图见解析；（3）3
5
．
【解析】
试题分析：（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．
试题解析：（1）20÷40%=50（人），15÷50=30%；
故答案为：50；30%；
（2）50×20%=10（人），50×10%=5（人），如图所示：
（3）∵5﹣2=3（名），∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男1男2男3女1女2男1﹣﹣﹣男2男1男3男1女1男1女2男1
男2（男1男2）﹣﹣﹣男3男2女1男2女2男2
男3（男1男3）男2男3﹣﹣﹣女1男3女2男3
女1（男1，女1）男2女1男3女1﹣﹣﹣女2女1
女2（男1女2）男2女2男3女2女1女2﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，则P（一
男一女）=12
20
=
3
5
．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图；4．应用题；5．数据的收集与整理．7．（2020浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．
（1）求∠BCD的度数．
（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
【答案】（1）38°；（2）20.4m．
【解析】
试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；
（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．
试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．
考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）
A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵
【答案】D
【解析】试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．
故选D．
考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．
2．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）
A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）
【答案】A
【解析】试题分析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
解：ax2﹣4ax﹣12a
=a（x2﹣4x﹣12）
=a（x﹣6）（x+2）．
故答案为a（x﹣6）（x+2）．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图
象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．
【详解】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；
B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，-
2
2k
-
=
1
k
>0，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在
x轴的正半轴，故B选项不合题意；
C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-
2
2k
-
=
1
k
<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在
x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；
D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-
2
2k
-
=
1
k
<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在
x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等．
4．一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：
①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；
②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；
③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．
下列选项中，描述准确的是（）
A．①②正确，③错误B．①③正确，②错误
C．②③正确，①错误D．①②③都正确
【答案】D
【解析】画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．
【详解】解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，
N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点，
易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1），
直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确；
当G1与G2没有公共点时，分三种情况：
一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；
二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；
三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；
当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x轴，可知，tan∠PNM ＝2，
∴PM＝2PN，
由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2
∴（2PN）2+（PN）2＝9，
∴PN＝，
∴PM＝.
故③正确．
综上，故选：D．
【点睛】
本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，
5．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ） A ．
110100
2x x
=+ B ．
110100
2
x x =+ C ．
110100
2x x
=- D ．
110100
2
x x =- 【答案】A
【解析】设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可． 解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：
1102x +=100
x
， 故选A ．
6．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1
B ．图像的对称轴在y 轴的右侧
C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．y 的最小值为-3 【答案】D
【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 详解：∵y=2x 2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误， 当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误， 当x=-1时，y 取得最小值，此时y=-3，故选项D 正确， 故选D ．
点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 （ ）
A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差 【答案】D
【解析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.
【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．
【点睛】
本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
8．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）
A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC
【答案】C
【解析】根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°, ∠E＝∠C,
则△ABD为等边三角形，即AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.
9．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD=60°，PD交AC于点D，已知AB=a，设CD=y，BP=x，则y与x函数关系的大致图象是（）
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD，进而即
可证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y=- 1
a
x2+x，对照四个选项即可得出．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．
∵∠APD=60°，∠B=60°，
∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，
∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD，
∴CD PC
BP AB
=,即
y a x
x a
-
=，
∴y=- 1
a
x2+x.
故选C. 【点睛】
考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-1
a
x2+x是解题的
关键．
10．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位
【答案】D
【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；
B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；
C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；
D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；
故选D.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝_____．
【答案】55°
【解析】由翻折性质得，∠BOG＝∠B′OG，根据邻补角定义可得.
【详解】解：由翻折性质得，∠BOG＝∠B′OG，
∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG＝180°，
∴∠B′OG＝1
2
（180°﹣∠AOB′）＝
1
2
（180°﹣70°）＝55°．
故答案为55°．
【点睛】
考核知识点：补角，折叠.
12．如图，点P （3a ，a ）是反比例函k y x =（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的表达式为______．
【答案】y=12x
【解析】设圆的半径是r ，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
14
πr 2=10π 解得：r=210.
∵点P(3a ，a)是反比例函y=
k x
(k>0)与O 的一个交点， ∴3a 2=k. 22(3)a a r +=
∴a 2=21(210)10
⨯=4. ∴k=3×4=12， 则反比例函数的解析式是：y=
12x . 故答案是：y=12x
. 点睛：本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键. 13．已知16x x +
=，则221x x
+=______ 【答案】34 【解析】∵16x x +=，∴221x x +=2
2126236234x x ⎛⎫+-=-=-= ⎪⎝⎭
， 故答案为34.
14．如图，正方形ABCD 中，
M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E. 若AB=12，BM=5，则DE 的长为_________.
【答案】109 5
【解析】由勾股定理可先求得AM，利用条件可证得△ABM∽△EMA，则可求得AE的长，进一步可求得DE．
【详解】详解：∵正方形ABCD，
∴∠B=90°．
∵AB=12，BM=5，
∴AM=1．
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°=∠B．
∵∠BAE=90°，
∴∠BAM+∠MAE=∠MAE+∠E，
∴∠BAM=∠E，
∴△ABM∽△EMA，
∴BM
AM
=
AM
AE
，即
5
13
=
13
AE
，
∴AE=169
5
，
∴DE=AE﹣AD=169
5
﹣12=
109
5
．
故答案为109
5
．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件证得△ABM∽△EMA是解题的关键．15．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为________．
【答案】a≤5
4
且a≠1．
【解析】根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．【详解】由题意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0，
解得a≤5
4
，
又a-1≠0，
∴a≤5
4
且a≠1.
故答案为a≤5
4
且a≠1.
点睛：本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于a的不等式组是解答此题的关键．
16．函数y＝2x
-
中，自变量x的取值范围是_________．
【答案】x≤1且x≠﹣1
【解析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得结论．
【详解】根据题意，得：
20
20
x
x
-≥
⎧
⎨
+≠
⎩
，解得：x≤1且x≠﹣1．
故答案为x≤1且x≠﹣1．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（1）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
17．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD 的长为_____
2
【解析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=22Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.
【详解】解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，2222
2222
OA OC
+=+=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=
1
222
2
=，
2
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
18．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于_____．
【答案】210°
【解析】根据三角形内角和定理得到∠B＝45°，∠E＝60°，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：如图：
∵∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，
∴∠B＝45°，∠E＝60°，
∴∠2+∠3＝120°，
∴∠α+∠β＝∠A+∠1+∠4+∠B＝∠A+∠B+∠2+∠3＝90°+120°＝210°，
故答案为：210°．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．
求抛物线的解析式；如图1，抛物线顶点为E，
EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）
5
5
4
m
-<；（3）当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，
﹣2）
【解析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线表达式求得b，c，即可得出抛物线的解析式；（2）作CH⊥EF于H，设N的坐标为（1，n），证明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因为﹣4≤n≤0，即可得出m的取值范围；
（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点H（﹣x1，y1），设直线HQ表达式为y＝ax+t，用待定系数法和韦达定理可求得a＝x2﹣x1，t＝﹣2，即可得出直线QH过定点（0，﹣2）．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，
把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：
01
3
b c
c
=-+
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得
2
3 b
c
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，作CH⊥EF于H，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0
∵∠MNC＝90°，
∴∠CNH+∠MNF＝90°，
又∵∠CNH+∠NCH＝90°，
∴∠NCH＝∠MNF，
又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，
∴Rt△NCH∽△MNF，
∴CH HN
NF FM
=，即
13
1
n
n m
+
=
--
解得：m＝n2+3n+1＝
2
35
24
n
⎛⎫
+-
⎪
⎝⎭
，
∴当
3
2
n=-时，m最小值为
5
4
-；
当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝1．
∴m的取值范围是
5
5
4
m
-<．
（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H，
∴H（﹣x1，y1），
∵y＝kx+2，y＝x2，
消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，
x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，
设直线HQ表达式为y＝ax+t，
将点Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得22
11
y ax t
y ax t
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
，
∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka，
∴a＝x2﹣x1，
∵2
2
x＝（x2﹣x1）x2+t，
∴t＝﹣2，
∴直线HQ表达式为y＝（x2﹣x1）x﹣2，
∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、（2）问通过相似三角形建立m 与n 的函数关系式是解题的关键．
20．京沈高速铁路赤峰至喀左段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的13，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
【答案】（1）乙队单独施工需要1天完成;（2）乙队至少施工l8天才能完成该项工程．
【解析】（1）先求得甲队单独施工完成该项工程所需时间，设乙队单独施工需要x 天完成该项工程，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”列方程解方程即可求解；
（2）设乙队施工y 天完成该项工程，根据题意列不等式解不等式即可.
【详解】（1）由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为1÷13
=90（天）．
设乙队单独施工需要x 天完成该项工程，则 301515190x
++=， 去分母，得x+1=2x ．
解得x=1．
经检验x=1是原方程的解．
答：乙队单独施工需要1天完成．
（2）设乙队施工y 天完成该项工程，则
1-363090
y ≤ 解得y≥2．
答：乙队至少施工l8天才能完成该项工程．
21．如图，△ABC 中，D 是BC 上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC 的面积．
【答案】3
【解析】试题分析：根据AB=30，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD 是直角三角形，再利用勾股定理求出CD 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
试题解析：∵BD 3+AD 3=63+83=303=AB 3，
∴△ABD 是直角三角形，
∴AD ⊥BC ，
在Rt △ACD 中，CD=222217815AC AD -=-=， ∴S △ABC =12BC•AD=12(BD+CD)•AD=12
×33×8=3， 因此△ABC 的面积为3．
答：△ABC 的面积是3．
考点：3．勾股定理的逆定理；3．勾股定理．
22．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．
【答案】10
【解析】试题分析：根据相似的性质可得：1:1.2=x ：9.6，则x=8，则旗杆的高度为8+2=10米. 考点：相似的应用
23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,求证：
AC•CD=CP•BP ；若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）253
. 【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C ，从而可证到△ABP ∽△PCD ，即可得到
BP AB CD CP
=，即AB•CD=CP•BP ，由AB=AC 即可得到AC•CD=CP•BP ； （2）由PD ∥AB 可得∠APD=∠BAP ，即可得到∠BAP=∠C ，从而可证到△BAP ∽△BCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．
解：（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．
∵∠APD=∠B ，∴∠APD=∠B=∠C ．
∵∠APC=∠BAP+∠B ，∠APC=∠APD+∠DPC ，
∴∠BAP=∠DPC ，
∴△ABP ∽△PCD ， ∴BP AB CD CP =， ∴AB•CD=CP•BP ．
∵AB=AC ，
∴AC•CD=CP•BP ；
（2）∵PD ∥AB ，∴∠APD=∠BAP ．
∵∠APD=∠C ，∴∠BAP=∠C ．
∵∠B=∠B ，
∴△BAP ∽△BCA ， ∴BA BP BC BA
=． ∵AB=10，BC=12，
∴
101210
BP =， ∴BP=253． “点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．
24．如图，在Rt ⊿ABC 中，90ACB ∠=,CD AB ⊥于D ,,AC 20BC 15== .
⑴.求AB 的长；
⑵.求CD 的长.
【答案】（1）25（2）12
【解析】整体分析：
（1）用勾股定理求斜边AB 的长；（2）用三角形的面积等于底乘以高的一半求解.
解：(1).∵在Rt ⊿ABC 中，90ACB ∠=，20,15AC BC ==.
∴2222201525AB AC BC ++=，
(2).∵S ⊿11
22
ABC AC BC AB CD =
⋅=⋅， ∴AC BC AB CD ⋅=⋅即201525CD ⨯=， ∴20×15＝25CD. ∴12CD =.
25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，求证：
DE=DF ．
【答案】答案见解析
【解析】由于AB=AC ，那么∠B=∠C ，而DE ⊥AC ，DF ⊥AB 可知∠BFD=∠CED=90°，又D 是BC 中点，可知BD=CD ，利用AAS 可证△BFD ≌△CED ，从而有DE=DF ．
26．某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？ 【答案】1人
【解析】解：设九年级学生有x 人，根据题意，列方程得：
19361936?
0.8x x 88
⋅=+，整理得0.8（x+88）=x ，解之得x=1． 经检验x=1是原方程的解． 答：这个学校九年级学生有1人．
设九年级学生有x 人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个
文具包的花费是：
1936
x 元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936?x 88+，根据题意可得方程19361936?
0.8x x 88
⋅=+，解方程即可．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝
5
，那么点C 的位置可以在（ ）
A ．点C 1处
B ．点
C 2处 C ．点C 3处
D ．点C 4处
【答案】D 【解析】如图：
∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin A =
54DC AC AC ==
,∴5∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C 228445+故答案为D. 232的值应该在（ ） A ．﹣1﹣0之间 B ．0﹣1之间
C ．1﹣2之间
D ．2﹣3之间
【答案】A
3 【详解】解：∵132， ∴1-232＜2-2， ∴-132＜0 3在-1和0之间． 故选A ． 【点睛】
3
3．已知
=2
{
=1
x
y
是二元一次方程组
+=8
{
=1
mx ny
nx my
-
的解，则2m n
-的算术平方根为（）
A．±2 B．C．2 D．4
【答案】C
【解析】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．
【分析】∵
=2
{
=1
x
y
是二元一次方程组
+=8
{
=1
mx ny
nx my
-
的解，∴
2+=8
{
2=1
m n
n m
-
，解得
=3
{
=2
m
n
．
∴2=232=4=2
m n
-⨯-．即2m n
-的算术平方根为1．故选C．
4．抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
【答案】A
【解析】7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少，
故选A．
【点睛】
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键.
5．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
【答案】C
【解析】∵DG是AB边的垂直平分线，
∴GA=GB，
△AGC的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm，又AB=20cm，
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=51cm，。