量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集
量子力学期末试题及答案（A)
选择题（每题3分共36分）
1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C
A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；
B. 黑体在紫外线部分不辐射能量;
C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;
D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论.
2．关于波函数Ψ的含义,正确的是：B
A。

Ψ代表微观粒子的几率密度;
B. Ψ归一化后，ψ
ψ*
代表微观粒子出现的几率密度；C。

Ψ一定是实数；
D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D
A。

偏振光子的一部分通过偏振片；
B。

偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片;
C。

偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；
D。

每个光子以一定的几率通过偏振片.
4．对于一维的薛定谔方程,如果Ψ是该方程的一个解,则:A
A.
*
ψ
一定也是该方程的一个解；
B.
*
ψ
一定不是该方程的解；
C. Ψ与*
ψ
一定等价；
D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动，正确的是：C A。

粒子在势垒中有确定的轨迹；
B。

粒子在势垒中有负的动能；
C。

粒子以一定的几率穿过势垒;
D粒子不能穿过势垒。

6．如果以∧
l表示角动量算符，则对易运算]
,
[
y
x
l
l
为：B
A. ih
∧z l
B. ih
∧z l
C 。

i ∧
x
l
D.h
∧
x
l
7．如果算符
∧A 、∧B 对易，且∧
A ψ
=A
ψ，则：B
A.
ψ 一定不是∧
B 的本征态； B 。

ψ一定是 ∧
B 的本征态；
C 。

*ψ一定是∧
B 的本征态;
D 。

∣Ψ∣一定是∧
B 的本征态。

8．如果一个力学量
∧
A 与H
∧
对易，则意味着
∧
A ：C
A. 一定处于其本征态; B 。

一定不处于本征态； C 。

一定守恒；
D.其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：B A 。

能量守恒； B 。

动量守恒； C 。

角动量守恒; D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为—3。

4ev ，则 n=5能级能量为：D A 。

-1。

51ev ； B 。

-0。

85ev ； C.-0。

378ev; D. -0.544ev
11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ
，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 （N+23
)h ω下，
简并度为：B
A.
)1(21
+N N ； B 。

)2)(1(21
++N N ；
C.N （N+1);
D.(N+1）(n+2)
12．判断自旋波函数 )]
1()2()2()1([2
1βαβαψ+=
s 是什么性质:C
A 。

自旋单态;
B 。

自旋反对称态； C.自旋三态； D 。

z σ本征值为1。

二 填空题（每题4分共24分）
1．如果已知氢原子的电子能量为
eV n
E n 26
.13-
= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能
量为:———-—-—-———，光的波长为———- ——--————。

2．如果已知初始三维波函数
)0,(r →
ψ ,不考虑波的归一化,则粒子的动量分布函数为 )(p ϕ =————
———-———-——，任意时刻的波函数为),(t r →
ψ—---————————。

3．在一维势阱（或势垒) 中,在
x=x 0
点波函数ψ————————(连续或不连续）,它的导数'
ψ-—
———————--—（连续或不连续）。

4．如果选用的函数空间基矢为n
，则某波函数
ψ
处于
n
态的几率用 Dirac 符号表示为-—--—
—--——，某算符
∧
A 在 ψ
态中的平均值的表示为——————————。

5．在量子力学中，波函数ψ 在算符∧
Ω操作下具有对称性，含义是-———————-——-—————
————-——-—,与
∧Ω对应的守恒量 ∧
F 一定是——---—-—-—算符。

6．金属钠光谱的双线结构是—-————--—-——————————，产生的原因是—
——————--——-—————--—。

三计算题（40分）
1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V （x)=0，当0≤x ≤a ，V(x ）=∞，当x<0或x 〉0, 求粒子的能量和波函数.(10分）
2．设一维粒子的初态为
)
/()0,(0h x ip Exp x =ψ，求
),(t x ψ。

（10分)
3．计算z σ表象变换到x σ表象的变换矩阵。

（10分）
4 。

4个玻色子占据3个单态1ϕ ,2ϕ,3ϕ，把所有满足对称性要求的态写出来。

(10分）
B 卷 一、（共25分）
1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）
2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分)
3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

(4分)
4、在一维情况下，求宇称算符P ˆ
和坐标x 的共同本征函数。

（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系.（5分） 二、（15分）已知厄密算符
B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A ，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求
1、在A 表象中算符
A
ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ˆ
的本征值和本征函数; 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S. 三、（15分)线性谐振子在0=t
时处于状态
)21exp(3231)0,(22x x x ααπαψ-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
，其中
μω
α=
，求
1、在0=t
时体系能量的取值几率和平均值.2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值
四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛++λλλλλλ23303220
21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项.
五、（10分)一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用。

玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个？ 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号,若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称.
3、全同玻色子的波函数是对称波函数。

两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=
4、宇称算符P ˆ和坐标x 的对易关系是：P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不准关系知,只有当0ˆ=P x 时
的状态才可能使P ˆ
和x 同时具有确定值,由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求,所以)
(x δ是算符P ˆ
和x 的共同本征函数。

5、设F ˆ
和G ˆ的对易关系k
ˆi F
ˆG ˆG ˆ
F ˆ=-,k 是一个算符或普通的数。

以F 、
G 和k 依次表示F ˆ
、
G ˆ和k 在态ψ
中的平均值，令
F F ˆF ˆ-=∆，
G G ˆG ˆ-=∆，
则有
42
22
k )G ˆ()F
ˆ(≥⋅∆∆,这个关系式称为测不准关系。

时间t 和能量E 之间的测不准关系为：2
≥
∆⋅∆E t
二、1、由于
1ˆ2=A
，所以算符A ˆ的本征值是1±,因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵,所以，在A 表象中算符A ˆ的矩阵是：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在
A 表象中算符
B ˆ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得:02211==b b ；由
于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ,
21121
b b =∴；由于B ˆ
是厄密
算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01012
12b b ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=010*
12
*12b b *
12121
b b =∴
令δ
i e b =12，（δ为任意实常数）得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e A B
2、在A 表象中算符B ˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-βαλβαδδ00i i e e 即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数
行列式为零，即
=---λλδ
δ
i i e e ⇒ 012=-λ 1±=∴λ
对1=λ有:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+121δϕi B
e ，对1-=λ有:
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
121δϕi B e 所以，在A 表象中算符B ˆ
的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-121δi e
3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符
B
ˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵,即
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
-11
21δδ
i i e e S
三、解：1、0=t
的情况：已知线谐振子的能量本征解为：
ω )21(+=n E n )2,1,0( =n ， )()exp(!2)(22x H x n x n n
n ααπαϕ-=
当1,0=n
时有：
)exp()(220x x απαϕ-=
,)exp()(2)(221x x x ααπα
ϕ-=
于是0=t 时的波函数可写成：
)(32
)(31)0,(10x x x ϕϕψ-=
，容易验证它是归一化的波函数，
于是0=t
时的能量取值几率为：
31)0,21(0==ω E W ,32
)0,23(1=
=ω E W ，能量取其他值的几率皆为零.
能量的平均值为:
ω 67
323110=+=
E E E
2、
0>t 时体系波函数
)23exp()(32)2exp()(31),(10t i
x t i x t x ωϕωϕψ---=
显然,哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0>t 时体系能量的取值几率和平均
值与0=t
的结果完全相同.
四、解：将矩阵改写成：
='+=H H H ˆˆˆ0⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ
λλ
λ
λ
23032020300020001
能量的零级近似为：1)0(1=E ，2)
0(2=E ，3)0(3=E 能量的一级修正为：0)1(1=E ，λ=)
1(2E ，
λ2)1(3=E 能量的二级修正为:
2
)0(3
)0(1
213)0(2
)
0(1
212)2(14λ-=-'+
-'=
E
E
H E
E
H E ，
2
22)0(3
)0(2
223)0(1
)0(2
221)
2(2594λλλ-=-=-'+
-'=
E
E
H E
E
H E ，
2
)0(2
)0(3
232)0(1
)
0(3
231)2(39λ=-'+
-'=
E
E
H E
E
H E
所以体系近似到二级的能量为：2141λ-≈E ，2
252λλ-+≈E ，23923λλ++≈E
先求出
0ˆH 属于本征值1、2和3的本征函数分别为:
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001)
0(1ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010)0(2ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=100)0(3ϕ，
利用波函数的一级修正公式
)0()
0()0()1(i
i k ik k
i k E E H ϕϕ-'=∑
≠，可求出波函数的一级修正
为:
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0102)
1(1λϕ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=302)1(2λϕ，⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=0103)
1(3λϕ
近似到一级的波函数为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈0211λϕ,⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-≈λλϕ3122，
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛≈1303λϕ 五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。

以i q 表示第i )3,2,1(=i 个粒
子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：
（1))()()(312111)1(q q q s
φφφϕ=;（2）)()()(322212)
2(q q q s φφφϕ= （3）
[)()()()()()()()()(311221312211322111)3(q q q q q q q q q C s φφφφφφφφφϕ++=； （4）
=)4(s ϕ])()()()()()()()()([113222322112312212q q q q q q q q q C φφφφφφφφφ++
一、（20分)已知氢原子在0=t 时处于状态
21310112(,,0)()()()01033x x x x ψϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
其中，)(x n ϕ为该氢原子的第n 个能量本征态.求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0>t
时
的波函数.
解 已知氢原子的本征值为
42
2
1
2
n e E n
μ=-
，
,3,2,1=n （1)
将0=t
时的波函数写成矩阵形式
()()()231133(,0)23x x x x ϕψϕ⎛⎫+
⎪ ⎪= ⎪
- ⎪⎝⎭
（2） 利用归一化条件
()(
)()()()()232
**
*
2
311
22
11233d 332312479999x x c
x x x x x c c
ϕϕϕϕ∞
-∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭- ⎪⎝⎭
⎛⎫=++= ⎪⎝⎭
⎰ （3）
于是,归一化后的波函数为
(
)()(
)(
)()()23231113(,0)23x x x x
x x x ϕψϕ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪=
=
⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
（4） 能量的可能取值为123,,E E E ,相应的取值几率为
()()()123412
,0;,0;,0777
W E W E W E === （5）
能量平均值为
()12344224120777
4111211612717479504E E E E e e μμ=
++=⎡⎤-⨯+⨯+⨯=-⎢⎥⎣⎦ (6）
自旋z 分量的可能取值为
,22
-，相应的取值几率为
1234
,0;,0277727z z W s W s ⎛⎫⎛⎫==+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ (7）
自旋z 分量的平均值为
()340727214
z s ⎛⎫
=⨯
+⨯-=- ⎪⎝⎭
（8）
0>t 时的波函数
()()()223311i 2i exp exp 7(,)i exp x E t x E t x t x E t ϕψ⎫
⎡⎤⎡⎤-+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪
= ⎪⎡⎤ ⎪- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
（9） 二。

（20分) 质量为m 的粒子在如下一维势阱中运动
()00>V
()⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0
.0
若已知该粒子在此势阱中有一个能量2
V E
-
=的状态,试确定此势阱的宽度a 。

解 对于00
<<-E V 的情况，三个区域中的波函数分别为
()()()()()⎪⎩⎪
⎨⎧-=+==x B x kx A x x αψδψψexp sin 03
21 （1） 其中，
E m V E m k 2 ;)
(20=
+=
α (2）
利用波函数再0=x 处的连接条件知，πδn =， ,2,1,0=n 。

在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
()()()()
a a a a '3
'2
32ψψψψ== （3）
得到
()()()()
a B n ka Ak a B n ka A ααπαπ--=+-=+ex p cos ex p sin （4)
于是有
()α
k
ka -
=tan （5）
此即能量满足的超越方程.
当
01
2
E V =-
时，由于
（6）
故
4
0π
π-
=n a mV
() ,3,2,1=n （7）
最后得到势阱的宽度
0 41mV n a π⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-= （8）
三、（20分） 证明如下关系式 （1）任意角动量算符ˆj 满足 ˆˆˆi j j j ⨯=。

证明 对x 分量有
()ˆˆˆˆˆˆˆ=i y z
z y
x
x
j j
j j j j j
⨯=-
同理可知，对
y 与z 分量亦有相应的结果,故欲证之式成立。

投影算符
ˆn p
n n =是一个厄米算符，其中,
{n 是任意正交归一的完备本征函数系。

证明
在任意的两个状态ψ
与
ϕ
之下，投影算符
ˆn p
的矩阵元为 ˆn p
n n ψϕψϕ=
而投影算符
ˆn p 的共軛算符ˆn p +
的矩阵元为
{}
*
***
*
ˆˆˆn n n p p p n n n n n n ψϕψϕϕψϕ
ψ
ϕψψϕ
+⎡⎤===
⎣⎦=⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦
显然，两者的矩阵元是相同的，由ψ
与
ϕ
的任意性可知投影算符
ˆn p
是厄米算符。

利用
()()()*
'
'
k
k
k
x x x x ψψδ=-∑证明()()ˆˆx mk x mn
kn k
xp
x p
=∑，其中，(){}k x ψ为任意正交归一完备本征函数系。

证明
()()()()()()()()()()()()()()()()()()'
'
'
*
*
''*
'''*
'
*'
'
*'
*'
'
ˆˆd ˆd d ˆd d ˆd d ˆd d ˆx m x n mn m
x n m
n x m
k
k
n
x k
m
k
k
n
x
k
mk
x
kn
k
xp x x xp
x x x x x x x p
x x x x x x x p
x x x x x x x p
x x x x x x x p
x x p
ψψψδψψ
δψψψψψψψψψ∞
-∞
∞
∞
-∞-∞∞
∞
-∞
-∞∞
∞
-∞
-∞
∞
∞
-∞
-∞
==-=-===⎰⎰⎰⎰
⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑
四、（20分） 在2
L 与z L 表象中，在轨道角动量量子数1l
=的子空间中，分别计算算符ˆx
L 、ˆy L 与ˆz
L 的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。

解 在2
L 与z L 表象下，当轨道角动量量子数1l =时，1,0,1m =-，显然，算符ˆx L 、ˆy L 与ˆz
L 皆为三维矩阵。

由于在自身表象中，故ˆz
L 是对角矩阵,且其对角元为相应的本征值,于是有
100ˆ000001z L ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪-⎝⎭
（1） 相应的本征解为
1011; 0000; 100; 01z z z L L L ψψψ-⎛⎫ ⎪
== ⎪
⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪
=-= ⎪
⎪⎝⎭
（2）
对于算符ˆx
L 、ˆy L 而言，需要用到升降算符，即
()(
)
1ˆˆˆ21ˆˆˆ2i
x y L L L L L L +-
+-
=+=- （3）
而
()ˆ1,1
L lm l l m ±
=+-± （4）
当1,1,0,1l
m ==-时，显然,算符ˆx
L 、ˆy L 的对角元皆为零，并且，
ˆˆ1,11,11,11,10ˆˆ1,11,11,11,10x y x y
L L L L -=-=-=-= （5）
只有当量子数m 相差1±时矩阵元才不为零，即
ˆˆˆˆ1,11,01,01,11,01,11,11,02
i ˆˆ1,01,11,11,02
i ˆˆ1,11,01,01,12
x x x x
y y y y
L L L L L L L L -=-===-==-== （6）
于是得到算符ˆx
L 、ˆy L 的矩阵形式如下
0100i 0ˆˆ101; i 0i 220100i 0x y L L -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪⎪⎭⎭
（7)
y
L ˆ满足的本征方程为
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321321 0i
i 0i 0i 0
2c c c c c c λ (8)
相应的久期方程为
02
i 0
2
i 2i 02
i =--
---λ
λ
λ
（9）
将其化为
023=-λλ （10）
得到三个本征值分别为
-===321 ;0 ;λλλ （11）
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i 2i 21 ;10121 ;i 2i 213
21ψψψ （12） ˆx
L 满足的本征方程为 112233010101 20
1
0c c c c c c λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭
（13）
相应的久期方程为
20
222
λ
λ
-=- (14)
将其化为
023=-λλ （15）
得到三个本征值分别为
-===321 ;0 ;λλλ (16）
将它们分别代回本征方程,得到相应的本征矢为
12311111; 0; 22111ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪=== ⎪⎪ -⎭⎝⎭⎝⎭
（17） 五、（20分) 由两个质量皆为
μ、角频率皆为ω
的线谐振子构成的体系,加上微扰项
2
1 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为两个线谐振子的坐标）后,用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。

提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=
+-1,1,21
21n m n m n n n x m δδα
式中，
μω
α=。

解 体系的哈密顿算符为
W H H ˆˆˆ0
+= （1） 其中
()()
2
122
21222210 ˆ21ˆˆ21ˆx x W
x x p p H λμωμ-=+++= （2)
已知0
ˆH 的解为
()()()()
21210
2
1
,1x x x x n E n n n n ϕϕψω
α=+= (3）
其中
n
f n n n ,,3,2,1,2,1,0,,21
==α （4）
将前三个能量与波函数具体写出来
()()
()()()()()()
()()()()
00001020111011212110202
212102220122231112; 2, 3, E x x E x x x x E x x x x x x ωψϕϕωψϕϕψϕϕωψϕϕψϕϕψϕϕ========= (5）
对于基态而言，021
===n n n ，10=f ，体系无简并。

利用公式
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=
+-1,1,21
21n m n m n m n n x δδαϕϕ （6）
可知
()0ˆ0
010==ψψW E ()
∑∑
≠=-=01
00
020ˆˆn f n
n n n
E
E W W E αααψψψψ （7）
显然,求和号中不为零的矩阵元只有
2
232302ˆˆαλ
ψψψψ-==W W （8)
于是得到基态能量的二级修正为
()
3
224
2020020
841ω
μλαλ -=-=E E E （9)
第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为
()
()
()
012
3332312312222113
121211=---E W W W W E W W W W E W （10）
其中
1122331221133123320
W W W W W W W W W ========= （11）
将上式代入（10）式得到
()(
)
12
12
00E E --= （12）
整理之，()
12E 满足
()
()
()
23
112
240E E λα
-+= (13） 于是得到第二激发态能量的一级修正为
()()()
2
1231222121 ;0 ;αλαλ==-
=E E E （14）
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系,其表达式为： E=h ν，
p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2
),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符
x p 的对易关系为：[],x p i
= 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x ）所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数
值,必定是算符F
ˆ的 本征值 . 7．定态波函数的形式为： t E i
n n e
x t x
-
=)(),(ϕψ。

8．一个力学量
A 为守恒量的条件是：A 不显含时间,且与哈密顿算符对易 。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________，玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2
± 。

1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明:
2、（10分）由Schr ödinger 方程
证明几率守恒：
其中几率密度 几率流密度
证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式:
2|
),(|),(),(),(t r t r t r t r ψ=ψψ=*ω2
2(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂z
y x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =0=•∇+∂∂
J t
ω]
[2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μ
i J ]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z y
x p x p z p z p y L L --=]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z p
y ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p
y +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z p
y +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p
y ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z p
y ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p
yz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x p
i y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y p
x i -= z
L i ˆ =2
2[](1)
i V ∂ψ=-∇+ψ
在空间闭区域τ中将上式积分，则有:
1、（10分）设氢原子处于状态 ),()(2
3
),()(21)
,,(11211021ϕθϕθϕθψ--=
Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值
2
2
2
2
2
282
s s e n
e E μμ-
=-
=
)2(=n ，几率为1
角动量平方有确定值为
2222)1( =+=L )1(= ，几率为1
角动量Z 分量的可能值为
01=Z L -=2Z L
其相应的几率分别为
4
1，
4
3
(1)(2)*ψ⨯-ψ⨯将式得：]
[2222
****
ψ∇ψ-ψ∇ψ-=ψ∂∂ψ+ψ∂∂ψμ
t i t i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ∂∂***
μ
）（t i τ
μ
ττ
τd d dt d i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ***
⎰⎰ ）（τ
μ
τττd i d dt d ][2ψ∇ψ-ψ
∇ψ•∇-=ψψ**
*⎰⎰ ）（τ
τωττ
d J d t r dt d
•∇-=⎰⎰),(0=•∇+∂∂
J t
ω
2、（10分）求角动量z 分量 的本征值和本征函数。

解：
波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：
求归一化系数
最后，得 L z 的本征函数 3、（20分）某量子体系Hamilton 量的矩阵形式为：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=20
00301
c c
c H ˆz
d
L i d φ
=-π
πφ
φψππ
21
1
2||220
2220
=
→===⎰
⎰
c c
d c d
,2,1,021
)(±±=⎪⎩
⎪⎨
⎧==m e m l im m z φπ
φψ归一化系数。

是积分常数，亦可看成其中解得：c ce l d d i L z
i
l z
z φ
φψφψφψφφψ ==-=)()()()(ˆ)
2()(πφψφψ+=)
2(πφφ+=→z
i z
i l l ce
ce
1
2=π
z
i l e
,2,1,022±±==m m l z
ππ于是
,2,1,0±±==→
m m l z
设c << 1,应用微扰论求H 本征值到二级近似.
解:c << 1,可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：
H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式。

所以能量的 0 级近似为:
E 1（0） = 1 E 2（0) = 3 E 3(0) = —2
由非简并微扰公式
得能量一级修正：
能量二级修正为：
二级近似下能量本征值为：
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛='⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=c c c H H 0000002000300010⎪⎩
⎪
⎨⎧-'='=∑≠)
0()0(2)2()
1(||k n kn
n k n nn n E E H E H E ⎪⎩⎪⎨⎧='=='=='=c H E H E H E 33
)
1(322
)
1(211)
1(1002
21)
0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)
2(1
||||||c E E H E E H E E H E
k k n
k -=-'+-'=-'=∑
≠2
21)
0(3
)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)
2(2
||||||c E E H E E H E E H E
k k n
k =-'+-'=-'=∑
≠0||||||)
0(2
)0(3223
)0(1)0(3213)0()0(323)2(3
=-'+-'=-'=∑
≠E E H E E H E E H E
k k n
k ⎪⎩
⎪⎨⎧+-=+=-=c
E c E c
E 2313221
22
21
1
量子力学期末试题及答案(B)
一、填空题：
1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。

2、｜Ψ(r，t)|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。

3、一个量的本征值对应多个本征态,这样的态称为简并。

4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。

二、简答题：
1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。

答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符;量子力学中还必须满足态叠加原理,而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。

综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。

2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？
答：不确切。

针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值,只有两个算符彼此对易,它们才有共同的本征态.
3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？
答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。

谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度;谱线强度取决于始末态的能量差.
三、证明题.
2、证明概率流密度J不显含时间。

四、计算题。

1、第二题：如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，
计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响,对0r r ≥的区域无影响。

据题意知
)()(ˆ0
r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r
πε=-（）
)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r
Ze r U 02
4)(πε-=
在0r r <区域，)(r U 可由下式得出, ⎰∞
-=r Edr e r U )(
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303
420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε
⎰⎰∞
--=0
)(r r r
Edr e Edr e r U
⎰⎰
∞
-
-
=00
20
2
3
002
144r r r
dr r Ze rdr r Ze πεπε
)3(84)(82203
020022
203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2ˆˆ02
2)
0(r U H H
+∇-=<<'μ
，可视为一种微扰，由它引起
一级修正为（基态03(0)1/2100
30
()Z
r
a Z e
a ψ
π-=） ⎰∞
'=τψψd H E )0(1
*
)0(1)1(1ˆ ⎰
-+--=0
00
22022
203
023
3
4]4)3(8[r r a Z
dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故10
2≈-
r a Z e 。

∴ ⎰
⎰
+--=0
3
02
40
4
2
20
3
3002
4)
1(1
)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E
πεπε
20
30024505
030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2
3002410r a e Z πε= 2
03
2452r a e Z s = 第三题
其相应的久期方程：
即：
6.2 求自旋角动量在任意方向n )cos ,cos ,(cos γβα的投影 ˆn
S 的本征值和本征函数。

解：在z S ˆ 表象，n S ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= i i S n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n 0cos 2
)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγ i i 0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγλ 0422=- λ
由归一化条件得：
量子力学期末试题及答案（C)
一、填空题
1、黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。

2 ±
=λ所以n
S ˆ的本征值为2 ±。

设对应于2
=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2 γβαβαγb i a -+⇒βαc )cos (cos γ
β
αcos 1cos cos ++=i b 22**),(12
121b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχ1cos 1cos cos 22
2
=+++a i a γβα1
cos 122
=+a γ取 2cos 1γ+=a ，得 )
cos 1(2cos cos γβ
α++=i b
12
()n S χ⎛⎫ ⎪ ⎪=21
10)(21-=⎪⎪⎭
⎫
=χS n 同理可求得 对应于2 -=n S 的本征函数为
⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n
2、索末非提出的广义量子化条件是
pdq n =⎰
3、一粒子有波函数由
()(),,i px
x t c p t e
dp
ψπ
∞-∞
=
⎰
描写，则
()
,c p t =
(,i px
x t dx
ψπ
--∞
⎰
4、粒子在势场U(r ）中运动,(2
22U m
∇+5、量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为表象.
6、氢原子的一级斯塔克效应中，对于n=2的能级由原来的一个能级分裂为３个子能级。

7、1925年,乌论贝克（Uhlenbeck ）和歌德斯密脱（Goudsmit)提出每个电子具有自旋角动
量S,2±
8、Pauli 算符y z σσ的反对易关系式是0y z z y σσσσ+=
9、如果全同粒子体系的波函数是反对称的,则组成该体系的全同粒子一定是费米子
10、在两个电子的对称自旋态()1S χ中，2
S 的本征值是22
二、选择题
6、么正矩阵S 的定义是为（Ａ）
A S S +-
= B S S +*
=
C
S S -= D S S *-= 7、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即
()0H t H H =+，
，其中0H 和H ，
应满足的条件是（ Ｂ ）
A 0H 与时间无关,H ，
与时间无关 B 0H 与时间无关,H ，
与时间有关C 0H 与时间有关，H ，与时间有关 D 0H 与时间有关，H ，
与时间无关
8、自旋量子数S 的值为（ ）
A 1/4
B 3/4
C /2
D 1/2 9、Pauli 算符的x 分量的平方2
σ的本征值为( Ｂ )
A 0
B 1
C i
D 2i 10、电子自旋角动量的幺分量，算符
S 幺表象中的矩阵表示为（ Ｃ ）
A
10012S ⎛⎫= ⎪⎝⎭幺 B 01102S ⎛⎫= ⎪-⎝⎭幺
10012⎛⎫= ⎪-⎝⎭ D
10012i S ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭幺 三、证明题
１、若体系的归一化波函数形式为：
()()()()
1212,exp exp i i x t x E t x E t E E ψϕ⎛⎫⎛⎫
ψ=-+-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
求系统的几率分布，并证明它并不处于定态。

证明：
２、证明厄米算符的本征值为实数.
３、定义
()
1
2x y
i σσσ±=
±,证明,σσσ+-⎡⎤=⎣⎦幺
四、计算题
1、求在一维势场
(){
,0,x a x a
U x ∞≥=
中运动的粒子的能级。

解：对于宽度为２ａ的对称一维无限深方势肼
(){
,0,x a x a
U x ∞≥=
在阱内体系满足的定态薛定谔方程是2
22
2d E m dx ψψ-=x a <为方便起见,
引入符号
1
2
22mE α⎛⎫
= ⎪
⎝⎭()*则上式可简写为22
2
0,d x a dx ψαψ+=<
它的解是：sin cos A x B x ψαα=+，x a <将()0
a ψ±=
代入上式有:,1,2,3....2n a n πα==同时综合()*式得222
2,8n n E n ma π==正整数
2、设一体系未微扰作用时只有两个能级
0102E E 及，其中0102E E ≠，现在受到微扰H ，的
作用,微扰矩阵为
,
b a H a b ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭,且ａ，ｂ都是实数。

用微扰公式求能量至二级修正值。

解:将,b a H a b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭代入能量修正公式，得到一级修正
()()11,,
111222,E H b E E b ==== 和二级修正
()
()
2
2
,
,
2
22112221
20000010202011221,H H a a E E E E E E E E E E =
===----
因此能量的二级修正值为
22
10120201020201,a a E E b E E b E E E E =++=++
--
3、设
处
于
无
限
深
的
势
肼
中
的
粒
子
的
态
为
()()
42,0cos sin 0
x x x t x a a a ππ⎛⎫⎛⎫
ψ==≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
试求：（１）测量粒子的能量的可能值和
相应的几率;
（２)能量的平均值。