固体物理第三章总结

2.声子与声子相互作用：
q1 1q22 q3
3
K
h

K h 0 正常过程 K h 0 反常过程
eu kBT d
3.晶体的热膨胀现象： 4.晶体的热传导现象：

e d u kBT


3 4
g c2
kBT

O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn。
2D T 0
x3e x e x 1 2 dx

9
NkB

T
D

3

D
0
T
x4e x e x 1 2 dx
高温时
NkB
2NkB
3NkB
低温时
T
T2 T3
3.10
设晶格中每个振子的零点振动能为
1 hν 2
，试用德拜模型
求晶体的零点振动能。
3
v
D
D

D
kB
（4）零点能
0
1
2

d
（5）平均晶格能
E

D
0

e
1
kBT
1

1 2



d
（6）晶体比热
E CV T
CV


T
NkB D

4
NkB

T
D
D T x2e x 0 e x 1 2 dx
q3
i
q3 q3 K h q3 b1
2.221010 i 0.921010 j 3.141010 i m1
0.921010 i 0.921010 j m1
合成后的第三个声子的波矢方向处在［1,1，0］，其大小与第 一，二个声子波矢大小相等。
i
i

e kBT 1
3N i 1
1 2

i
i
CV

E
3N
T kB i1

e
i
e
kBT
k BT
1
2


i
2
kBT


CV
m
0
kB
e e
kBT

kBT

1

2

k
BT

2

(
)d
)d
2.应用德拜模型计算一维、二维和三维情况下晶格振 动的模式密度、德拜频率、德拜温度、零点能、平均
晶格能、晶格比热及其高低温极限。
解：（1）模式密度：
波矢空间波矢密度：
L ,
L 2 ,
L 3
2 2 2
中q 的~ q波矢d q数目：L dq, L 2 2qdq, L 3 4q2dq
S
TO 0,
3.极化声子和电磁声子
0
因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观
的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。 长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学
横波声子为电磁声子。
1.已知模式密度 ( ) 求:
(1)~+d间隔内的振动模式数;
(2) ~+d间隔内的声子数及晶体中总的声子数;
解： 由
ρν dν

9N
ν
3 D
ν 2dν
所以
E0
ν0 1 hν ρνdν
02

9Nh 2νD3
ν0 ν 3dν
0
9Nh
ν
4 D
2ν
3 D
4

9 8
NhνD

9 8
NkBθD
θD

ωD kB

hνD kB

4.具有简单立方结构的晶体，原子间距为2
0
A
，由于晶体中非简
德拜模型
CV

3
Nk
BfE

E
T

f

E
T



E
T
2

E
eT
E
e T
2
1


高温时与实验相吻合，低温
CV

3 NkB
f

D
T

f

D
T


3
T
D

3
D T
0
e
ex x
1
2
x
4dx
高低温时均与实验相吻合，且
N是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，m是维数。
声子：晶格振动的能量量子。能量为 , 准动量为 q 。
3nN个振动模式 3nN种声子 3N种声学声子， (3n-3)N种光学声子。
确定晶格振动谱的实验方法
1.方法： 中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。
2.原理(中子的非弹性散射) 由能量守恒和准动量守恒得：
第三章 晶格振动 一维晶格振动
格波、光学支格波、声学支格波、简谐近似、 色散关系（晶格振动谱）、B－K边界条件 方程、试探解、求色散关系及画曲线、波矢取值及范围
三维晶格振动
声子、格波支数、振动模式数、频率数、波矢数、声子种数
确定晶格振动谱的实验方法 能量守恒和准动量守恒
晶体比热
模式密度（频率分布函数）、爱因斯坦模型、德拜模型
(3) ~+d间隔内的谐振子的能量及晶体的能量;
解:(1) ( )d
(2)
1

( )d
e 1 kBT
d 0
1

e kBT
( )d
1
(3)
1

e kBT
1

1 2

(
)d
D
1
e 0
kBT
1

1 2
(
q2 1.31010
1 2
i j
m 1
0.921010 i j
m 1
q3 q1 q2 2.221010 i 0.921010 j m1


a
1
a2

2 1010 2 1010
谐项作用的存在，一个沿［100］方向传播的波矢为q100 1.31010m1
的声子同另一个波矢大小相等、但沿［110］方向传播的声子相
互作用，合并成第三个声子。试求新形成的第三个声子的波矢。
解：
q1 1q22q3
3
K
h
q1 1.31010 i m1
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n n+1 n+2
mm
a
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aeitnaq
2 sin aq
m
2

2
m
πq π
a
a
xn xnN
振动很微弱时，势能展式中只保留到2项,3次方
以上的高次项均忽略掉的近似为简谐近似(忽略掉作
用力中非线性项的近似)。
f nk


d2u dr 2

r0
xnk

nk xnk
nk


d2u dr 2

r0
在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的
线性叠加。
模型 运动方程
3.60 1013 rad s
A max


2
M
1
2


21.5 1028 35.5 1.66


2.频率分布函数
定义：
(
)

lim
0
n

计算：



3n
1
Vc
2π3
ds
s q q
3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型
德拜模型
(1)晶体中原子的振动相互独立；(1)晶体视为连续介质,格波视
为弹性波（ vq ）；
(2)所有原子具有同一频率； (2)有一支纵波两支横波；

1 3
CV
v
高温时: 1 低温时: T 3
T
长波近似
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W

b11W


b12
E
P b21W b22E
(1)
---黄昆方程
( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
d
Lc 1 ,
v
Sc


v2
,
3Vc 2 2 2 v 3
（2）德拜频率
D Lc 1 d N ,
v
0
D
0
Sc


v2
d

2N ,
D
0
3Vc
2 2
2
v3
d

3N
D :
Nv
, Lc
（3）德拜温度

4N
SC
1
2
v
,

6 2N
VC
1
P' 2 P 2 ( q )
2Mn 2Mn
P'

P

q

K h
“+”表示吸收一个声子 “-”表示发射一个声子
3.仪器： 三轴中子谱仪。
晶体比热
1.固体比热的实验规律
Cv

3NTkB3
高温 0 低温
E
3N
Ei
i 1
3N i 1
im jm

b1
b2
1010 i 1010 j
m 1 m 1
3.14 1010 i m 1 3.14 1010 j m1
a3 21010 km b3 1010 k m1 3.141010 k m1
， m 23.0 1.66 1024 g M 35.5 1.66 1024 g
O max

2


1 m

1 M
1
2

2
1.5
104
1 23.0 1.66

1 35.5 1.66


1024
1
2
为准弹性恢复力，
第二项表示电场 E 附加了恢复力。
(2)式代表极化方程，b21W 表示离子位移引起的极化，第
二项表示电场 E 附加了极化。
2.LST关系ຫໍສະໝຸດ 2 T0


2 L0
s
(1) s , Lo To
光频介电常量
---著名的LST关系
静电介电常量
(2)铁电软模(光学软模) 1/ 2
π a
o
πa
晶格振动波矢的数
目=晶体的原胞数
一维双原子链振动
2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2
M
m
a

..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t2n1aq
3.17 对于NaCl晶体，恢复力常数 1.5 104 dyn cm ，试以一
维双原子链模型分别求出NaCl晶体中光学支格波和声学支格波
的最高频率和最低频率已知Cl和Na的原子量分别为35.5和
2解3：.0因）为。一维双原子晶体的色散关系为
2 M m M 2 m2 2Mm cos 2aq 1 2 Mm


b1
b2
1010 i 1010 j
m 1 m 1
3.14 1010 i m 1 3.14 1010 j m1
j
b1
q3
b3 1010 k m1 3.141010 k m1
时以比T3更快的速度趋于零。 温度越低，与实验吻合的越好。
kBE
局限性
E


kB
D

D
kB
晶体的非简谐效应
1.非简谐效应：
U(
R0

)

U(
R0
)
1 2!

2U R2
R0

2

1 3!

3U R3
R0
3
c 2 g 3
2
2
2
中的 振~ 动模d式数目：2Lc
2 d ,
v
Sc
2

v2
d ,
Vc
2 2
2
v3
d
一维有一支纵波，二维有一支纵波一支横波，三维有
一支纵波两支横波，纵波与横波速度相等
:
Lc 2 d , 2 v
Sc
2

v2
d ,
Vc
2 2
2
v3
晶体的非简谐效应 非简谐近似、正常过程、反常过程、 长波近似
黄昆方程、铁电软模（光学软模）、极化声子、电磁声子
一维晶格振动 格波：晶体中的原子在其平衡位置附近作微振动， 由于原子间的相互作用，原子振动在晶体中传播，形 成波。由于晶体中原子排列的周期性，相邻原子间存 在着固定的位相关系，这种波称为格波。
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E

3N



e kBT
1

1 2


(3)晶格振动频率在 0 ~ D 之间 (D为德拜频率)。
E
D 0



e kBT

1

1 2


(

)d


9N

3 D

2
爱因斯坦模型