陕西省西安2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

西安2023—2024学年度第一学期期中考试
高一数学试题（答案在最后）
（时间：120分钟
满分：100分）
一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.集合{}
N|13M x x =∈-≤<的真子集的个数是（
）
A.3
B.6
C.7
D.8
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，求得{}01
2M =,,，结合真子集的个数的计算方法，即可求解.【详解】由集合{}{}N|130,1,2M x x =∈-≤<=，所以集合M 的真子集的个数为3217-=.故选：C.
2.设,a b ∈R ，则“lg lg 0a b +=”是“1ab =”的（）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由lg lg 0a b +=lg 01ab ab ⇒=⇒=且0a >且0b >，故选：A ．
3.已知集合{}2A x x =>，{}
2B x x m =<，且R B A ⊆ð，则实数m 的取值范围是（）
A.()1,+∞
B.[
)1,+∞C.
()
,1-∞ D.
(]
,1-∞【答案】A 【解析】
【分析】先求出{}R |2B x x m =≥ð，再根据条件R B A ⊆ð，即可求出结果.【详解】因为{}
2B x x m =<，所以{}R |2B x x m =≥ð，
又{}
2A x x =>，R B A ⊆ð，所以22m >，得到1m >，故选：A.
4.已知8215,log 3a
b ==，则32a b -=（）
A.25
B.5
C.
259
D.
53
【答案】B 【解析】
【分析】先由对数公式把,a b 化简，然后代入32a b -即可求解.
【详解】由题意可得2215log 15a
a =⇒=，38221log 3log 3log 33
b ===，
所以2222221153log 153log 3log 15log 3log log 533a b ⎛⎫
-=-⨯=-== ⎪⎝⎭
，
所以2log 53225a b -==.故选：B.
5.三个数0.35a =，50.3b =，5
15c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
大小的顺序是（
）
A.a b c >>
B.a c b
>> C.b a c
>> D.c a b
>>【答案】A 【解析】【分析】
利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.
【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，
由5y x =为增函数，5
55110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭
，所以a b c >>.故选：A
6.已知0.150log 2,log 2a b ==，则21a b
+=（）A.-2 B.-1
C.1
D.2
【答案】B 【解析】
【分析】先取倒数，再应用对数运算律计算即可.
【详解】因为0.150log 2,log 2a b ==,所以
2211
log 0.1,log 50a b
==，2222211
log 0.01log 50log 0.5log 12
a b +=+===-.故选:B.
7.已知:p 存在2,10x R mx ∈+≤；:q 对任意2,10x R x mx ∈++>，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为（）
A.2m ≤-
B.2
m ≥ C.2m ≥或2
m ≤- D.22
m -≤≤【答案】B 【解析】【分析】
先求出p ，q 是真命题的x 的范围，由于p 或q 为假命题，得到p ，q 应该全假，即p ，q 的否定为真，列出方程组，求出m 的范围．【详解】解：若p 真则0m <；若q 真，即210x mx ++>恒成立，所以△240m =-<，解得22m -<<．
因为p 或q 为假命题，所以p ，q 全假．所以有0
22m m m ⎧⎨
-⎩
或 ，
所以2m ．故选：B ．
【点睛】复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系是解决复合命题真假的依据：p 且q 的真假，当p ，
q 全真则真，有假则假；p 或q 的真假，p ，q 中有真则真，全假则假；非p 的真假与p 的真假相反．
8.一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则不等式20cx bx a ++<的解集为（）
A .11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.1123,⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭C.
()
3,2-- D.113,,2⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪
⎪⎝
⎭
⎝⎭
【答案】D 【解析】
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b 、c 与a 的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，∴a<0，且2，3是方程20ax bx c ++=的两个实数根，
∴2323b a c a ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⨯=
⎪⎩
，解得5,6b a c a =-=，其中a<0；
∴不等式20cx bx a ++<化为2650ax ax a -+<，即26510x x -+>，解得13x <
或1
2x >，因此所求不等式的解集为11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
故选：D ．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.）
9.若函数()23
13x ax f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图像经过点()31，，则（
）
A.2
a =- B.()f x 在()1∞-，
上单调递减C.()f x 的最大值为81 D.()f x 的最小值为
1
81
【答案】AC 【解析】
【分析】利用函数经过点()31，,可求出a ,再应用函数性质每个选项分别判断即可.
【详解】对于A :由题意得
()36
1313a f +⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，得2a =-,故A 正确;
对于B :令函数223u x x =--，则该函数在(),1-∞上单调递减，在[
)1,∞+上单调递增．
因为13u
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
是减函数，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减，故B 错误;对于C D :因为()f x 在(),1-∞上单调递增，在[
)1,∞+上单调递减,
所以()()max 181f x f ==,()f x 无最小值．故C 正确,D 错误;故选:AC .
10.若0a b <<，那么下列不等式一定成立的是（）
A.
11b b
a a
+>+ B.11
a b a b -
<-C.22ac bc < D.
11a b
>【答案】BD 【解析】
【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.【详解】对于A,若 1.5,0.5a b =-=-，则10.51
110.53
b b a a +==-<=+-,故A 不一定成立;对于B,因为0a b <<,所以11
a b
>,所以11a b -<-,
所以11
a b a b
-
<-,所以B 一定成立;对于C,当0,c =22ac bc =,所以C 不一定成立;对于D,因为0a b <<,所以11
a b
>,所以D 一定成立.故选:BD.
11.下面关于函数23
()2
x f x x -=
-的性质，说法正确的是（）
A.()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞
B.()f x 的值域为R
C.()f x 在定义域上单调递减
D.点(2,2)是()f x 图象的对称中心
【答案】AD 【解析】
【分析】由1()22
f x x =+
-，可知由1y x =向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到()f x ，根据1
y x =
的性质得到()f x 的性质，即可判断；【详解】解：()221231
()2222
x x f x x x x -+-===+---由1
y x =
向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到1()22f x x =+-，因为1
y x
=关于()0,0对称，所以()f x 关于()2,2对称，故D 正确；
函数()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，故A 正确，B 错误；函数()f x 在(,2)-∞和(2,)+∞上单调递减，故C 错误；故选：AD
12.已知正数,a b 满足421a b +=，则（）
A.1
44a a +的最小值为 2 B.ab 的最大值为
132
C.
11
2a b
+的最小值为8 D.22164a b +的最小值为
12
【答案】BCD 【解析】
【分析】利用基本不等式的性质，逐个选项进行判断即可，注意等号成立的条件.【详解】对于A ，0a >，所以，1424a a +≥，当且仅当1
=4
a 时等号成立，但此时，=0
b ，与题意不符，故A 错误；
对于B
，421a b +=≥解得132ab ≥，当且仅当4=24+2=1a b a b ⎧⎨⎩，即1
=4
1=8b a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时，等号成立，故B 正确；
对于C ，11114()(42)4822b a
a b a b a b a b +=++=++≥，当且仅当2
2
=44+2=1b a a b ⎧⎨⎩，即1
=41=
8
b a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时，等号成立，故C 正确；
对于D ，由421a b +=，可得2241168b a a =+-，所以，2223281164a a a b +=-+，当18
a =
时，此时，1
4b =，所以，22164a b +的最小值为12，故D 正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上的相应位置.）
13.
若33m m --=99m m -+的值为__________.【答案】14【解析】
【分析】33m m --=.
【详解】33m m --=()
2
3312m m --=，
即99212m m -+-=，解得9914m m -+=.故答案为：14
14.某城市出粗车按如下方法收费：起步价6元，可行3km （含3km ）
，3km 后到10km （含10km ）每多走1km （不足1km 按1km 计）加价0.5元，10km 后每多走1km 加价0.8元，某人坐出租车走了13km ，他应交费____________元．【答案】11.9【解析】
【分析】结合已知条件，利用分段函数的概念直接计算即可.
【详解】结合已知条件可知，某人坐出租车走了13km 所交费为6(103)0.5(1310)0.811.9y =+-⨯+-⨯=（元）.故答案为：11.9.
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]
x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为______.
【答案】[0,1)【解析】
【分析】根据高斯函数的定义，可得函数()[]f x x x =-的图象，即可的解.【详解】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
由图象知()f x 的值域为[0,1).故答案为：[0,1)
16.已知关于x 的不等式2(1)320k x x -+-<有且仅有两个不同的整数解，则实数k 的取值范围为__________.（结果用区间表示）【答案】[)3,6【解析】
【分析】根据题意，分10k -=，10k -<以及10k ->讨论，结合条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】当10k -=时，即1k =，此时不等式为320x -<，解得2
3
x <，则不等式有无数个整数解，不符合题意；
当10k -<时，即1k <，则函数()2
(1)32f k x x x -=+-的开口向下，则不等式的整数解有无数个，不符
合题意；
当10k ->时，即1k >，使得不等式2(1)320k x x -+-<有且仅有两个不同的整数解，则
()981810k k ∆=+-=+>，且函数()2(1)32f k x x x -=+-，()020f =-<，所以0是其中的一个整
数解，则另一个整数解为1或1-，而()11320f k k =-+-=>，所以1不是另一个整数解，所以另一个整
数解是1-，则()()10
20f f ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩
，解得36k ≤<；
综上所述，实数k 的取值范围为[)3,6.故答案为：[)
3,6四、解答题（本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（1）计算：1
22
3
02132(9.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
（2）已知lg 2a =，lg 3b =，用a ，b 表示36log 5【答案】（1）52
-；（2）122a
a b -+.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法和换底公式，准确运算，即可求解.【详解】解：（1）由指数幂的运算性质，可得：原式1
22
3
2927344531()41299822-
-⎛⎫⎛⎫
---+ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝==---=-⎭
+（2）由对数的运算性质，可得：36lg 5lg10lg 21lg 21log 5lg 36lg 4lg 92lg 22lg 322a
a b
---=
===+++.18.已知集合302x A x
x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
，{}
22210B x x mx m =-+-<，{}2C x x m =-<.
（1）若m 使幂函数(
)
2
34
()33m f x m m x
-=-+在(0,)+∞上为减函数，求集合R A B ⋂ð；
（2）已知x A ∈是x C ∈的必要不充分条件，求m 的取值范围.【答案】（1）2{|0x x -<≤或23}x ≤<（2）[]0,1【解析】
【分析】（1）根据幂函数的性质，求得1m =，再由不等式的解法，求得集合,,A B C ，结合集合的运算法则，即可求解；
（2）根据题意，求得集合,A C ，结合题意，转化为C 是A 的真子集，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】
解：由幂函数(
)
2
34
()33m f x m m x
-=-+，可得2331m m -+=，
即2320m m -+=，解得1m =或2m =，
当1m =时，可得1()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，符合题意；当2m =时，可得2()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意，所以1m =，
可得集合{
}
{}2
20|02B x x x x x =-<=<<，{}
{}
12|13C x x x x =-<=-<<则R {0B x =≤ð或2}x ≥，
又因为{}30|232x A x
x x x -⎧⎫
=<=-<<⎨⎬+⎩⎭
，所以R {|20A x x B =-<≤ ð或23}x ≤<.【小问2详解】
解：由集合{}|23A x x =-<<，{}
{}2|22C x x m x m x m =-<=-<<+，因为x A ∈是x C ∈的必要不充分条件，可得集合C 是A 的真子集，则满足22
23m m -≥-⎧⎨
+≤⎩
且等号不能同时成立，解得01m ≤≤，
即实数m 的取值范围为[]0,1.
19.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()12x f x =+（1）求函数()f x 的解析式.
（2）画出函数()y f x =的图象，并写出函数()y f x =单调区间及值域.
【答案】（1）
()12,0
{0,01
1,02x x
x f x x x +<==--
>（2）单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）；值域为{y|1<y<2或－2<y<
－1或y ＝0}【解析】
【分析】试题分析：（1）由函数为奇函数可得()00=f ，将0x >转化为0x -<，代入函数式，结合奇偶性可求得函数解析式；（2）利用函数图像可得到单调区间及值域
试题解析：（1）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （－0）＝－f （0），所以f （0）＝0，因为x<0时，f （x ）＝1＋2x ，所以x>0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（1＋2－
x ）＝－1－
1
2x
，所以f （x ）＝
12,0
{0,01
1,02
x x x x x +<=--
>（2）函数f （x
）的图象为
根据f （x ）的图象知：
f （x ）的单调增区间为（－∞，0）
，（0，＋∞）；值域为{y|1<y<2或－2<y<－1或y ＝0}.
考点：函数求解析式及函数单调性最值
【详解】
20.已知()f x 是二次函数，且满足()02f =，()()224f x f x x +-=+，
（1）求()f x 的解析式
（2）当[],1x m m ∈+，其中m R ∈，求()f x 的最小值.
【答案】（1）()2122
f x x x =++（2）()2min 2
72,2223,212
2,12m m m f x m m m m ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩
【解析】
【分析】（1）设()2
f x ax bx c =++，利用待定系数法可求函数的解析式；（2）分类讨论二次函数的对称轴在区间的左侧，中间，右侧，结合二次函数的的性质求解函数的最值即可．
【小问1详解】
设()2
f x ax bx c =++，因为()02f =，所以2c =又()()224f x f x x +-=+，
∴22(2)(2)()24a x b x c ax bx c x ++++-++=+，即44224ax a b x ++=+，∴42424
a a
b =⎧⎨+=⎩，解得1,12a b ==，∴()2122
f x x x =++.【小问2详解】∵()2122f x x x =
++，对称轴=1x -，开口向上，故函数在区间(],1-∞-单调递减，在区间[)1,-+∞单调递增，故()()min 312f x f =-=当2m ≤-时，即11m +≤-，此时函数在区间[],1m m +上单调递减，()()2min 171222
f x f m m m =+=++；
当21m -<≤-时，此时函数在区间[],1m -上单调递减，在区间(]1,1m -+上单调递增，()()min 312
f x f =-=；当1m >-时，此时函数在区间[],1m m +上单调递增，()()2min 22
m f x f m m ==++；所以()f x 的最小值为()2min 2
72,2223,212
2,12m m m f x m m m m ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩
21.已知函数()21x b f x ax +=+是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()112
f -=-.（1）求函数()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，并用函数单调性的定义证明.
（3）求满足不等式()()
2110f t f t -+-<的实数t 的取值范围.【答案】（1）()21
x f x x =+；（2）单调递增，证明见解析；
（3）[)0,1.
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质及()112
f -=-求得参数即可；（2）设1211x x -£<£，结合因式分解证()()120f x f x -<；
（3）由[][]
211,111,1t t ⎧-∈-⎪⎨-∈-⎪⎩求得定义域，由奇函数及增函数性质可得211t t -<-，求解即可【小问1详解】
由奇函数性质得，()()()222200111
x b x b b f x f x b ax ax a x +-+=--⇒=-⇒=⇒=++-+，又()()21112111
f a a -==-⇒=--+，∴()21x f x x =+；【小问2详解】
函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增.证明如下：设1211x x -£<£，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，由121210,0x x x x ->-<得()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<，故函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增；
【小问3详解】
由[][
]211,111,1t t t ⎧-∈-⎪⎡⇒∈⎨⎣-∈-⎪⎩
，由奇函数性质得()()()()()222110111f t f t f t f t f t -+-<⇔-<--=-，由增函数性质得21121t t t -<-⇒-<<.综上，实数t 的取值范围为[)0,1。