高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算第2课时基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案新人教A版选

3.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标：
1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;
2.掌握导数的四则运算法则;
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点：
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点：
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一、创设情景 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x
=、y x =的导数公式及应用
二、新课讲授
(一)基本初等函数的导数公式表
(二)导数的运算法则
推论: []'
'()()cf x cf x = (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
(三)运算法则的证明 ).()()]()(['''x v x u x v x u ±=±
证明:令()()().y f x u x v x ==±
v
u x v x x v x u x x u x v x u x x v x x u y ∆±∆=-∆+±-∆+=±-∆+±∆+=∆ )]()([)]()([ )]
()([)]()([
即).(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:('.')'v u v u ±=±
范例: (1)求x x y sin 3+=的导数.(2)求32
4+--=x x x y 的导数.
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以
第二个函数的导数,即:.)('''uv v u uv +=
指导学生尝试法则2的证明: 令).()()(x v x u x f y ⋅== ()()()()y u x x v x x u x v x ∆=+∆+∆-
).()(()()()()()(x v x u x x v x u x x v x u x x v x x u -∆+⋅+∆+⋅-∆+⋅∆+=
因为)(x v 在点x 处可导,所以它在点x 处连续,
于是当0→∆x 时,→∆+)(x x v )(x v .
).(')()()('x v x u x v x u +=
即'')'('uv v u uv y +==
说明: 1.'')'(v u uv ≠.
2.若C 为常数,则''0'')'(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数. ')'(Cu Cu =.
法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再
除以分母的平方：
因为)(x v 在点x 处可导,所以)(x v 在点x 处连续.
于是当0→∆x 时,)()(x
v x x v →∆+
说明: 若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为0)必可导.
若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如: 则)()(x g x f 、在0=x 处均不可导,但它们的和x x x g x f cos sin )()(+=+在0=x 处可导.
三、典例分析
例1 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p (单位:元)与时间t (单位:年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+,其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到01.0)? 解: 根据基本初等函数导数公式表,有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈(元/年)
因此,在第10个年头,这种商品的价格约为08.0元/年的速度上涨.
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1)323y x x =-+
(3)sin ln y x x x =⋅⋅
(6)2(251)x y x x e =-+⋅
解: (1)'3'3'''2(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-
'232y x =-。

(3)'''(sin ln )[(ln )sin ]y x
x x x x x =⋅⋅=⋅⋅''(ln )sin (ln )(sin )x x x x x x =⋅⋅+⋅⋅
sin ln sin ln cos x x
x x x x =+⋅+⋅⋅
'sin ln sin ln cos y x x x x x x =+⋅+⋅⋅
(6)'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+⋅+-+⋅
22(45)(251)(24)x x x x e
x x e x x e =-⋅+-+⋅=--⋅，
'
2(24)x y x x e =--⋅。

点评: ①求导数是在定义域内实行的;
②求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.
例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.
已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用(单位:元)为
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90% (2)98%
解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
(1)所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是84.52元/吨
(2)所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨
注: 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可
知,''(98)25(90)c c =.它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.
例4 求曲线x y sin =在点.
分析: 先要求出函数x y sin =的导函数,斜率,最后应用点斜式求出切线的方程.
解: x y sin =Θ x x y cos )(sin ''==∴
∴切线方程为
故曲线x y sin =在点
类型题: . 解: 略
例5 试用求导的方法求和)1(32112≠++++-x nx
x x n Λ.
解: 略
补充例题
例1 判断下列求导是否正确,加以改正.
解: 略
例2 求下列函数的导数;(2)x e y x sin =. 解: 略
例3 在点3=x 处的导数. 解: 略
例4 求下列函数的导数(1)x y tan =;(2)x y cot =;(3)x y 2sin =.
解: 略
例5 .
解:
.
例6 .
解: 略
注: 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数
先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.
例7 在点)1,1(处的切线方程. 回顾导数的几何意义: 函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率. 解: 略
例8 求3=t 时的速度. 回顾导数的物理意义: 瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数:)(')(t s t v =.
解: 略
例9 已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(,且在点)1,2(-处与直线3-=x y 相切,求c b a ,,的值.
四、课堂练习
1.课本P 92练习
2.已知曲线4923:234+--=x x x y C ,求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程. 答案:812+-=x y
五、回顾总结
1.基本初等函数的导数公式表;
2.导数的运算法则.
六、布置作业。