(衡水万卷)高考数学(理)二轮周测卷(3)三视图、空间几何体(含答案)

衡水万卷周测（三）理科数学
三视图、空间几何体
考试时间：120分钟
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求
的） 1.（2015新课标1高考真题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正
视图和俯视图如图所示。

若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=
（A ）1（B ）2（C ）4（D ）8
2.如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.无两边相等的三角形
3.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的
表面积为
A ．
532323++ππ＋1 B ．52332
3
++ππ＋1 C
．532
3
3++ππ D
．5
2333++ππ
4.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分
别是（0,0,2），
（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A. ①和②
B.③和①
C. ④和③
D.④和②
5.一块石材表示的几何体的三视图如下图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6.如图，边长为2的正方形ABCD 中，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，将AED ∆,EBF ∆,FCD ∆分别沿
,,DE EF FD 折起，使,,A B C 三点重合于点A ',若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为
A
B
C
D
E
F
E
F
D
A
A.2
B.
62 C.112 D.52
7.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径
为 A ．
3172 B ．210 C ．13
2
D ．310 8.三棱锥P —ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ＝6，则该球的体积为( )
A ．163π
B ．323π
C ．48π
D ．643π
9.在四棱锥V-ABCD 中，1,B 1D 分别为侧棱VB,VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥 V-ABCD 的体积比为（ ）
A.1：6
B.1：5
C.1：4
D.1：3
10.正四棱锥S-ABCD 中，侧棱与底面所成角为a ，侧面与底面所成二面角为b ，侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线
AC 所成角为g ，相邻两侧面所成二面角为q ， 则a bgq 之间的大小关系是（ ）
(A) a b q g <<< (B) a b g q <<< (C) a g b q <<< (D) b a g q <<<
11.已知空间不共面的四点A,B,C,D ，则到这四点距离相等的平面有（ ）个
A ．4
B ．6
C ．7
D ．5
12.如图，设AB ⊥平面α，CD ⊥平面α，垂足分别为B 、D ,且AB CD ≠.EF 是平面α与平面β的交线，如果增加一个
条件就能推出BD EF ⊥,给出四个条件不可能是⊥①AC 平面β；AC EF ⊥②;AC ③与BD 在平面β内的射影在同一条直线上;AC ④与BD 在平面β内的射影所在的直线交于一点.那么这个条件不可能是( )
A.①②
B.②③
C.③
D.④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
15
2
正视图
侧视图
俯视图
13.四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如下图所示, 根据图中的信息，在四棱锥
P ABCD -的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为 .
14.已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积
是 . 15.设12,,
,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小，则称点P
为12,,
,n P P P 点的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.则有下列命题：
①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是____________.（写出所有真命题的序号数学社区）
16.如图,过四面体V-ABC 的底面上任意一点O,分别作OA 1∥VA,OB 1∥VB,OC 1∥VC,A 1,B 1,C 1分别是
作直线现侧面的交点,
则1OA VA +1OB VB +1OC VC
= . 三、解答题（本大题共5小题，每题14分，共70分）
17.已知正四棱锥ABCD P -底面正方形的边长为4cm ，高PO 与斜高PE 的夹角为0
30，如图，求正四棱锥的表面积与体积
18.如（图24—3）所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,2AP AB BP BC ===,E .F
分别是PB .PC 的中点. (1)证明：EF ∥平面PAD ; (2)求三棱锥E ABC -的体积V
19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,60ABD ∠=︒，
45BDC ∠=︒,ADP BAD ∆∆∽
.
(1)求线段PD 的长；
(2)若11R PC =，求三棱锥P ABC -的体积.
20.（Ⅰ）正四棱锥的体积2
3
V =
，求正四棱锥的表面积的最小值； （Ⅱ）一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值.
21.四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分
别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，
.
２
２
１
俯视图
左视图
　主视图A
B
C
D
E
F
G
H
（1）证明：四边形EFGH 是矩形；
（2）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.
a
a 主
视 图 B C D A 俯 视 图
左 视 图
a
a a
E
o
A
D
B
C
p
0.衡水万卷周测（三）答案解析
一、选择题 1.【答案】B
解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，
其表面积为
221
42222
r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故答案选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式
2.【答案】A 解析：∵六条棱长都相等的三棱锥，它的侧视图是如图所示的等腰三角形，故选A 。

【思路点拨】根据三视图的定义做出判断即可。

3.A 4.D 5.B 6.B 7.C 8.B
9.C 10.B 11.C
12.D 【解析】本题考查直线与直线垂直的判定.直线与平面垂直的判定.AC ⊥平面β时AC EF ⊥，又AB ⊥平面α，所
以AB EF ⊥,故EF ⊥平面ABCD ，从而EF BD ⊥，故条件①
可以；AC EF ⊥时，同①易知EF ⊥平面ABCD ，从而 EF BD ⊥，故条件②可以；AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上时，即A.B.D.C 四点在平面β内的射影在同一条直
线上。

此时EF 垂直于BD 在β内的射影，即EF BD ⊥，条件③也可以；AC 与BD 在平面β内的射影所在的直线交于一点时，EF 与平面ABCD 不垂直，不能推出BD EF ⊥,故条件④ 不可以.
二、填空题 13.6 14.16π 15.①④
16.1 解析:将四面体看作正四面体,取O 为底面△ABC
的中心,则
1OA VA +1OB VB +1OC VC =13+13+1
3
=1
三、解答题
17.解：由AB=4cm, 所以OE=2cm
又因为0
30=∠OPE 所以cm PO 32=
cm PE 4=
所以底侧表面积＝S S S +24442
1
4+⨯⨯⨯
＝248cm ＝ h S V 底四棱锥＝3
1
3243
1
2⨯⨯=33332cm = 18.解：（1）在PBC ∆中，,E F 分别是,PB PC 的中点，EF ∴∥BC 又BC ∥AD ，EF ∴∥AD 又∵AD ⊂平面,PAD EF ⊂平
面PAD ,EF ∴∥平面PAD
（2）连结,,AE AC EC 过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ,
则EG ⊥平面ABCD ，且1
2
E G P A =
在PAB ∆中，,90,2︒=∠==AP AB BPA BP ，
22,2
AP AB EG ∴===
11
22222
ABC S AB BC ∆∴=
⋅=⨯⨯= 1121
23323
E ABC ABC V S EG -∆∴=⋅=⨯⨯=
19.解:（1）BD ∵是圆的直径，90,BAD ∠=︒又ADP BAD ∆∆∽
22
2
3
4(sin 60)4,31sin 3022
R AD DP AD BD DP R BA AD BA BD R ⨯
︒====
=︒⨯∴ （2）在Rt BCD ∆中，cos 452CD BD R ==.
222222
9211PD CD R R R PC +=+==∵, PD CD ⊥∴又ADP BAD ∆∆∽，
且90,BAD ∠=90PDA ∠=∴,
PD AD ⊥∴又,AD CD D PD =⊥∴底面ABCD
)1
sin(60452
ABC
AB BC S ∆⋅==
+∵ 2()13212312222224
R R R ⨯⨯=+⋅+， ∵三棱锥P —ABC 的体积为
23p ABC 11313133344
ABC V S PD R R R −∆⋅=⋅⋅=++=.
20.解：
H
G
F
E
D
C
B A
z y
x
（Ⅰ）设正四棱锥的底面正方形的边长为2a ，高为h .则正四棱锥的体积
242.33
V a h =
= 正四棱锥的表面积2224().S a a a h =++ 从而3
3
2
29S
S V =
2
23
8()(11()).a h h
a
=++
令2(),h t a =设3
1()(11),0f t t t t
=++>
则2
2
(11)'()(221).21t f t t t t t
++=--++ 令'()0,f t =解得8.t =
当08t <<时，'()0,f t <当8t >时，'()0.f t >
()f t 当8t =时取得最小值(8)8f =
正四棱锥的表面积的最小值为4.
（Ⅱ）一般地，设正n 棱锥的底面正n 边形的中心到各边的距离为a ，高为h ，则n 正边形的体积 正棱锥的表面积
由（Ⅰ）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。

由于正棱锥的表面积与底面积之比为 可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是底面积的4倍。

21.解：（1）由该四面体的三视图可知：
,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===
由题设，BC ∥面EFGH 面EFGH 面BDC FG = 面EFGH
面ABC EH =
BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .
同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .
∴四边形EFGH 是平行四边形
又
,,BD AD AD DC BD DC D ⊥⊥=
∴AD ⊥平面BDC
AD BC ∴⊥
BC ∥FG ,EF ∥AD
EF FG ∴⊥
∴四边形EFGH 是矩形
（2）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C
(0,0,1)DA =，(2,2,0)BC =-，(2,2,0)BC =-
设平面EFGH 的一个法向量(,,)n x y z =
BC ∥FG ,EF ∥AD
0,0n DA n BC ∴⋅=⋅= 即得z =0
-2x+2y =0⎧⎨⎩，取(1,1,0)n =
210
sin |cos ,||5||||52
BA n BA n BA n θ⋅∴=<>=
==⋅⨯。