广东省广州市番禺区高二数学上学期期末考试试题 理-人教版高二全册数学试题

B 1
A 1
C
B
A C 1
D
F 广东省广州市番禺区2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 理
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的． 1.集合{}{}R x y y B R x x y y A x
∈==∈+==
,2,,1,则A B ⋂等于( )
A. ()+∞,0
B. {}1,0
C. {}1,2
D.
{})2,1(),1,0(
2．已知复数z 的共轭复数为z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）
A.()3
f x x = B.()12
f x x = C ．()3x
f x = D.()12x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
4．以下四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②对于命题p: R x ∈∃,使得012
<++x x .则:p x R ⌝∀∈,均匀012
≥++x x
③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；④命题p ：“x＞3”是“x＞5”的充分不必要条件．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．若直线:1l y kx =+被圆C ：2
2
230x y x +--=截得的弦最短，则直线l 的方程是（ ） A ．1y = B ．10x y -+= C ．10x y +-= D ．0x = 6.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,
,22a a a 成等差数列，则91078
a a
a a
+=+（ ） A
．3- C
．3+7．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的
中点，且AC AB DF βα+=，则( ) A ．1,21=-
=βα B ．1,21-==βα C ．21,1-==βα D ．2
1
,1=-=βα 8．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为( )
（第8题图）
正视图
侧视图
俯视图
2
2
2
1
A ．23
cm B ．43
cm C ．63
cm D ．83
cm
9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
e =，右焦点为F （c, 0），
方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1, x 2）（ ） A ．必在圆222x y +=外 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=内 D ．以上三种情形都有可能
11．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则
某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ） A ．1﹣
B ．1﹣
C ．1﹣
D ．1﹣
12．若偶函数()f x 的图像关于1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数()y f x =的图象与函数lg y x =的图象的交点个数为（ ）
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡相应位置上 13.已知向量,a b 的夹角为45，且||1a =，|2|10a b -=，则||b = .
14.记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域为D ，若直线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取
值范围是 .
第9题
S=0 , n=1
15．球O 内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O 的体积是
16、设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2
a x c
=交该
双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本题满分10分） 己知函数)2
0,0)(cos(2)(π
ϕωϕω<<>+=x x f 的最小正周期为π，直
线24
π
-
=x 为它的图象的一条对称轴．
(1)当]24
5,245[π
π-
∈x 时，求函数)(x f 的值域； (2)在c b a ABC ,,中∆分别为角C B A ,,的对应边，若3,2)2
(==-a A
f ，求c b +的最大值．
18．（本题满分12分）为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”
活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90 ,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90 ,100]的数据）．
（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中
国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．
19．（本题满分12分）已知递增的等差数列{}n a 中，2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数
列{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b S 2
1
1-=（*∈N n ）
． ⑴求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
⑵记n n n b a c ⋅=，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：n T 2<
20. （本小题满分12分） 如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中AD AB 2=,2=AD ,E 为DC 的中点，将它沿AE 折成直二面角B AE D --. (1)求证：⊥AD 平面BDE ； (2)求二面角E AD B --的余弦值.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率2
e =，且其中一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点1
(,0)3
S -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（本题满分12分）设a 为实数,记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为)(a g .
(1)设x x t -++=11，求t 的取值范围,并把)(x f 表示为t 的函数()m t ; (2)求)(a g ;
(3)试求满足)1
()(a g a g =的所有实数a .
2016学年第一学期期末考试高二年级数学（理科）参考答案
一、选择题：ADCAB CBAAC CD
11解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4， 则三角形ABC 的面积S=×6×4=12，
则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，
对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个
整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S 1=12﹣×π×22=12﹣2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为=1﹣
，故选：C ．
二、填空题：
13. 32 14. ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，4 15．π34 ．16. 2
三、解答题
17.解：（Ⅰ）函数)(x f 的最小正周期为π2,2=∴=
ωω
π
, ……1分
24
π
-
=x 为)(x f 的图象的一条对称轴,∴12
)2
0()24
(2π
ϕπ
ϕπϕπ
=
∴<
<=+-
⨯k ……2分
)12
2cos(2)(π
+=x x f ……3分,
]245,245[ππ-
∈x ，]2
,3[122π
ππ-∈+∴x ， ∴]1,0[)12
2cos(∈+
π
x ,∴)(x f 的值域为]2,0[ ……5分
（Ⅱ）2)12cos(2)2(=-=-
π
A A f ，22)12cos(=
-∴πA 12111212ππ
π
<
-
<-
A ，412ππ=-
∴A ，3
π
=∴A …………7分 bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+= ，2
2)2(3939)(c b bc c b ++≤+=+∴ ……9分 6≤+∴c b .当且仅当3==c b 时取等号.故c b +的最大值为6 ……10分 18．解：（1）由题意可知，样本容量n=
=25，y=
=0.008，
x=0.100﹣0.008﹣0.012﹣0.016﹣0.040=0.024．…（4分）
(2)由题意可知,分数在[80，90）内的学生有3人,分数在[90 ,100]内的学生有2人,抽取的2名学生的所有情况有10种, 其中2名同学的分数至少有一名得分在[90 ,100]内的情况有7种,
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率为
．…（12分）
19.⑴解027122=+-x x 得31=x ， 92=x ，因为{}n a 是递增，所以32=a ，95=a ……1分
解⎩⎨
⎧=+==+=3
941215d a a d a a 得⎩⎨⎧==21
1d a ，所以12-=n a n ……2分
在n n b 211s -
=中，令1=n 得11211b b -=，3
2
1=b ……3分， 当2≥n 时，n n b S 211-
=，1n 1n b 211s ---=，两式相减得n n n b b b 2
1
211-=- ……4分
311=-n n b b ，{}n b 是等比数列 ……5分，所以n n n b b 3
2
)31(11=⨯=- …………6分 ⑵ n
n n n n b a c 32
4-=
⋅=…………………………7分 n
n n n n T 32
432)1(43234322432141321-+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=- ……8分 12
2103
2432)1(43234322432143---+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=n n n n n T ……9分 两式相减得：n n n n T 32434343422121--++++=- n
n 34
44+-
=， ……10分 所以n
n n T 32
22+-=2<……12分
20.方法一(1)证明：由题设可知 DE AD ⊥，取AE 的中点O ，连结BE OD ,.
2==DE AD AE OD ⊥∴. ————1 分
又 二面角B AE D --为直二面角. ⊥∴OD 平面ABCE BE OD ⊥∴ ——————3分
又2==BE AE 22=AB 2
22BE AE AB +=∴ BE AE ⊥∴
又O AE OD = ⊥∴BE 平面ADE AD BE ⊥∴ ——————5分 又E DE BE = ⊥∴AD 平面BDE ——————6分 (2)由(1)知⊥AD 平面BDE DB AD ⊥∴ DE AD ⊥
BDE ∠∴就是二面角E AD B --的平面角 ——————8分
又⊥BE 平面ADE DE BE ⊥∴
在BDE Rt ∆中，622=+=DE BE BD ——————10分
33cos =
=
∠∴BD DE BDE ∴二面角E AD B --的余弦值为3
3
——————12分 方法二(1)证明：由题设可知 DE AD ⊥，取AE 的中点O ，连结BE OD ,.
2==DE AD AE OD ⊥∴. ————1分 又 二面角B AE D --为直二面角, ⊥∴OD 平面ABCE —————3分
又2==BE AE 22=AB 2
22BE AE AB +=∴ BE AE ⊥∴
取AB 的中点为F ，连结OF ，则EB OF // AE OF ⊥∴ ——————4分 以O 为原点，OD OF OA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图） 则)0,0,1(A ,)1,0,0(D ,)0,2,1(-B ,)0,0,1(-E ,
于是)1,0,1(-=AD ，)1,2,1(-=BD ，)0,2,0(=EB ——————6分 设).,(z y x n =是平面BDE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BD n EB n 即⎩⎨⎧=+-=,
02,
02z y x y
令1=x ，则1-=z ，于是)1.0,1(-=n
AD n -=∴ AD n //∴ ⊥∴AD 平面BDE . ——————8分
(2) 设).,(z y x m =是平面ABD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅,0,0AD m BD m 即⎩⎨⎧=+-=+-,
0,
02z x z y x
令1=x ，则1,1==z y ，于是)1.1,1(=m 又平面ADE 的法向量)0,1,0(=OF —————10分
33
3
1|
|||==
=
∴OF m OF m ——————12分 21.解：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>
，离心率c e a ==
1分 又抛物线2
14
y x =
的焦点为()0,1
，所以1,1c a b ===， ——2分 ∴椭圆C 的方程是2
2
12
y x +=. ——3分 （2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是2
2
1x y +=，若直线l 垂直于x 轴，
则以AB 为直径的圆是2
211639x y ⎛
⎫++= ⎪⎝⎭
. ——4分
由222
2
1,
116,
39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝
⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0. ——5分 因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0. ——6分 当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
. ——7分
由221,31,2
y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=. ——8分 设()()1122,,,A x y B x y ，则21222
12223,2
129.2k x x k k x x k ⎧
-⎪
+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩
——9分
又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+ ——10分
()()22212121111139k x x k x x k ⎛⎫
=++-+++ ⎪⎝⎭
()22
2222212
211931112329k k k k k k k --⎛⎫
=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭=0 --——11分
TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .
故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. ——12分
22.解:(1)∵x x t -++=11,∴要使t 有意义,必须01≥+x 且01≥-x ,即11≤≤-x .
∵]4,2[12222∈-+=x t ,且0≥t ① ∴t 的取值范围是]2,2[, 由①得:12
112
2
-=
-t x ,
∴t t a t m +-=)12
1()(2
a t at -+=
2
2
1,]2,2[∈t ----------4分 (2)由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=2
2
1,]2,2[∈t 的最大值,
∵直线a t 1-=是抛物线)(t m a t at -+=2
2
1的对称轴,
∴可分以下几种情况进行讨论:
①当0>a 时,函数)(t m y =,]2,2[∈t 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由01
<-
=a
t 知)(t m 在]2,2[∈t 上单调递增,故)(a g )2(m =2+=a ; ②当0=a 时,t t m =)(,]2,2[∈t ,有)(a g =2;
③当0<a 时,,函数)(t m y =,]2,2[∈t 的图象是开口向下的抛物线的一段,
若a t 1-
=]2,0(∈即2
2
-
≤a 时,)(a g 2)2(==m , 若a t 1-=]2,2(∈即]2
1
,22(--
∈a 时,)(a g a a a m 21)1(--=-=, 若a t 1-
=),2(+∞∈即)0,2
1
(-∈a 时,)(a g )2(m =2+=a . 综上所述,有)(a g
=12,,
2
11
,,222a a a a a a ⎧
+>-⎪⎪
⎪
---
<≤-⎨⎪⎪
≤⎪⎩ ----------8分 (3)当2
1
->a 时,)(a g 2+=a 22
3
>>
; 当2122-≤<-
a 时,)22,21[∈-a ,]1,2
2
(21∈-a ,∴a a 21-≠-, )(a g 2)21()(221=-⋅->-
-=a
a a a ,故当22
->a 时,)(a g 2>; 当0>a 时,
01>a ,由)(a g )1(a g =知:2+a 21
+=a ,故1=a ; 当0<a 时,11=⋅a a ,故1-≤a 或11-≤a
,从而有2)(=a g 或2)1
(=a g ,
..
DOC 版. 要使)(a g )1(a g =,必须有22-≤a ,221-≤a ,即222-≤≤-a , 此时,2)(=
a g )1(a
g =. --------12分。