一次函数与几何图形综合专题

一次函数与几何图形综合专题
一、知识规律小结 ：
（1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；
当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即-k
b
＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-
k
b
=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-k
b
﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．
③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．
（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)
当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交； ②⎩⎨
⎧=≠2
12
1b b k k ⇔y 1
与y 2
相交于y 轴上同一点（0，b 1
）或（0，b 2
）
； ③⎩⎨
⎧≠=2
121,
b b k k ⇔y 1
与y 2
平行；
④⎩⎨
⎧==2
121,
b b k k ⇔y 1
与y 2
重合.
二、思想方法小结 ： （1）函数方法．
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．
（2）数形结合法．
数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
例题精讲：
1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1)求AC 的解析式；
(2)在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论.
(3)在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

2．如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.
(1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；
(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。

(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。

问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

x
y
o B
A C
P
Q
第2题图①
第2题图②
x
y
o B
A C
P
Q
M
考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定． 专题：代数几何综合题．
分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；
（2）由OA=OB 得到启发，证明∴△AMO ≌△ONB ，用对应线段相等求长度； （3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB 的长．
解答：解：（1）∵直线L ：y=mx+5m ，∴A （-5，0），B （0，5m ），由OA=OB 得5m=5，m=1，
∴直线解析式为：y=x+5．
（2）在△AMO 和△OBN 中OA=OB ，∠OAM=∠BON ，∠AMO=∠BNO ， ∴△AMO ≌△ONB ．∴AM=ON=4，∴BN=OM=3．
（3）如图，作EK ⊥y 轴于K 点．先证△ABO ≌△BEK ，∴OA=BK ，EK=OB ．再证△PBF ≌△PKE ， ∴PK=PB ．∴PB=
2
1BK=21OA=2
5． 点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次
函数图象的实际应用问题．
3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（3分）
第2题图③
（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF
（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。

在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。

考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）根据题意先求直线l 1与x 轴、y 轴的交点A 、B 的坐标，再根据轴对称的性质求直线l 2的上点C
的坐标，用待定系数法求直线l 2的解析式；
（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA ≌△AFC ，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF ；
（3）首先过Q 点作QH ⊥y 轴于H ，证明△QCH ≌△PBO ，然后根据全等三角形的性质和△QHM ≌△POM ，从而得HM=OM ，根据线段的和差进行计算OM 的值．
解答：解：（1）∵直线l 1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，
∴A （-3，0），B （0，3）， ∵直线l 2与直线l 1关于x 轴对称， ∴C （0，-3）
∴直线l 2的解析式为：y=-x-3； （2）如图1． 答：BE+CF=EF ．
∵直线l 2与直线l 1关于x 轴对称， ∴AB=BC ，∠EBA=∠FAC ， ∵BE ⊥l 3，CF ⊥l 3 ∴∠BEA=∠AFC=90°
∴△BEA ≌△AFC ∴BE=AF ，EA=FC ， ∴BE+CF=AF+EA=EF ； （3）①对，OM=3
过Q 点作QH ⊥y 轴于H ，直线l 2与直线l 1关于x 轴对称 ∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ ， 又
AB=AC ，
∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ ， 则△QCH ≌△PBO （AAS ）， ∴QH=PO=OB=CH ∴△QHM ≌△POM ∴HM=OM
∴OM=BC-（OB+CM ）=BC-（CH+CM ）=BC-OM ∴OM=
2
1
BC=3． 点评：轴对称的性质：对应点的
连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对
应的角、线段都相等．
4.如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，
B (0，b )，且a 、b 满足.
(1)求直线AB 的解析式；
(2)若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值；
(3)过A 点的直线交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直线交
AP 于点M ，试证明的值为定值．
考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数
解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题：计算题．
分析：（1）求出a 、b 的值得到A 、B 的坐标，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，代入得到方程组，求出即可；
（2）当BM ⊥BA ，且BM=BA 时，过M 作MN ⊥Y 轴于N ，证△BMN ≌△ABO （AAS ），求出M 的坐标即可；②当AM ⊥BA ，且AM=BA 时，过M 作MN ⊥X 轴于N ，同法求出M 的坐标；③当AM ⊥BM ，且AM=BM 时，过M 作MN ⊥X 轴于N ，MH ⊥Y 轴于H ，证△BHM ≌△AMN ，求出M 的坐标即可．
（3）设NM 与x 轴的交点为H ，分别过M 、H 作x 轴的垂线垂足为G ，HD 交MP 于D 点，求出H 、G 的坐标，证△AMG ≌△ADH ，△AMG ≌△ADH ≌△DPC ≌△NPC ，推出PN=PD=AD=AM 代入即可求出答案．
解答：解：（1）要使b=
有意义，必须（a-2）2=0，
4-b =0，
∴a=2，b=4，∴A （2，0），B （0，4），
设直线AB 的解析式是y=kx+b ，代入得：0=2k+b ，4=b ，解得：k=-2，b=4， ∴函数解析式为：y=-2x+4，答：直线AB 的解析式是y=-2x+4． （2）如图2，分三种情况：
①如图（1）当BM ⊥BA ，且BM=BA 时，过M 作MN ⊥Y 轴于N ， △BMN ≌△ABO （AAS ）， MN=OB=4，BN=OA=2， ∴ON=2+4=6，
∴M 的坐标为（4，6 ）， 代入y=mx 得：m=
2
3
， ②如图（2）当AM ⊥BA ，且AM=BA 时，过M 作MN ⊥X 轴于N ，△BOA ≌△ANM （AAS ），同理求出M 的坐标为（6，2），m=
3
1， ③当AM ⊥BM ，且AM=BM 时，过M 作MN ⊥X 轴于N ，MH ⊥Y 轴于H ，则△BHM ≌△AMN ， ∴MN=MH ，
设M （x ，x ）代入y=mx 得：x=mx ，（2） ∴m=1， 答：m 的值是
23或3
1
或1． （3）解：如图3，结论2是正确的且定值为2，
设NM 与x 轴的交点为H ，分别过M 、H 作x 轴的垂线垂足为G ，HD 交MP 于D 点，
由y=
2k x-2
k
与x 轴交于H 点， ∴H （1，0）， 由y=
2k x-2
k
与y=kx-2k 交于M 点， ∴M （3，K ）， 而A （2，0）， ∴A 为HG 的中点，
∴△AMG ≌△ADH （ASA ）， 又因为N 点的横坐标为-1，且在y=
2k x-2
k 上， ∴可得N 的纵坐标为-K ，同理P 的纵坐标为-2K ， ∴ND 平行于x 轴且N 、D 的横坐标分别为-1、1 ∴N 与D 关于y 轴对称，
∵△AMG ≌△ADH ≌△DPC ≌△NPC ， ∴PN=PD=AD=AM ， ∴
AM
PN -PM =2．
点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的
解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
5.如图，直线AB ：y =-x -b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且OB ：OC=3：1。

（1）求直线BC 的解析式：
（2）直线EF ：y =kx-k （k ≠0）交AB 于E ，交BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S
△EBD
=S △FBD ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由？
（3）如图，P 为A 点右侧x 轴上的一动点，以P 为直角顶点，BP 为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ ，
连接QA 并延长交ｙ轴于点K ，当P 点运动时，K 点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。

考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式． 专题：计算题．
分析：代入点的坐标求出解析式y=3x+6，利用坐标相等求出k 的值，
用三角形全等的相等关系求出点的坐标．
解答：解：（1）由已知：0=-6-b ，
∴b=-6， ∴AB ：y=-x+6．
∴B （0，6） ∴OB=6
∵OB ：OC=3：1， OC=
3
OB
=2， ∴C （-2，0）
设BC 的解析式是Y=ax+c ，代入得；6=0•a+c , 0=-2a+c ，解得：a=3, c=6，∴BC ：y=3x+6． 直线BC 的解析式是：y=3x+6；
（2）过E 、F 分别作EM ⊥x 轴，FN ⊥x 轴，则∠EMD=∠FND=90°．
∵S △EBD =S △FBD ，∴DE=DF ．又∵∠NDF=∠EDM ，∴△NFD ≌△EDM ，∴FN=ME ． 联立y=kx-k, y=-x+6
得y E =
1k 5k
+，联立y=kx-k ，y=3x+6 得y F =3
-k 9k ．
∵FN=-y F ，ME=y E ， ∴
1k 5k +=3
-k 9k
-． ∵k≠0，
∴5（k-3）=-9（k+1）， ∴k=
7
3； （3）不变化K （0，-6）．过Q 作QH ⊥x 轴于H ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ ，∵∠BOA=∠QHA=90°，∴∠BPO=∠PQH ，∴△BOP ≌△HPQ ， ∴PH=BO ，OP=QH ，∴PH+PO=BO+QH ，即OA+AH=BO+QH ，又OA=OB ， ∴AH=QH ，∴△AHQ 是等腰直角三角形，∴∠QAH=45°，∴∠OAK=45°， ∴△AOK 为等腰直角三角形，∴OK=OA=6，∴K （0，-6）．
点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解．
6. 如图，直线AB 交X 轴负半轴于B （m ，0），交Y 轴负半轴于A （0，m ），OC ⊥AB 于C （-2，-2）。

（1）求m 的值；
-4
m 2CG OG GB ,,45OA
OB G OB G =∴===∴∆∆∆∴︒
=∠∴∆∴=都是等腰直角三角形为等腰直角三角形的垂线，垂足为作过OCB CGO CGB CBO AOB
（2）直线AD 交OC 于D ，交X 轴于E ，过B 作BF ⊥AD 于F,若OD=OE ，求AE
BF 的值；
2
1
BF 2BF BH BF AE BF 2BH BF BH AE BH ASA AOE BOH 90AOE BOH AO BO EAO HBO AOE BOH )(BF ASA AFH AFB )(AF AF 90AFH AFB AFH AFB FEB ADC )(OED FEB ODE
OED OD
OE FAH HBO ===∴
=+==∴∆≅∆∴⎪⎩
⎪
⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠∆∆=∴∆≅∆∴⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠∆∆∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∴=∠=∠BF HF FAH BAF FAH CAD CAD HBO ODE ADC 等）（全等三角形对应边相）
（（已知）（已证）中，和在全等三角形对应边相等）
（已证（公共边）中和在对顶角相等，（同角的余角相等）
（3）如图，P 为x 轴上B 点左侧任一点，以AP 为边作等腰直角△APM ，其中PA=PM ，直线MB 交y 轴于Q ，当P 在x 轴上运动时，线段OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。

7.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b 的图像过点B （－1，），与x 轴交于点A （4,0），与y 轴交于
点C ，与直线y=kx 交于点P ，且PO=PA
（1）求a+b 的值；
（2）求k 的值；
（3）D 为PC 上一点，DF ⊥x 轴于点F ，交OP 于点E ，若DE=2EF ，求D 点坐标.
考点：一次函数与二元一次方程（组）． 专题：计算题；数形结合；待定系数法．
分析：（1）根据题意知，一次函数y=ax+b 的图象过点B （-1，
2
5
）和点A （4，0），把A 、B 代入求值即可；
（2）设P （x ，y ），根据PO=PA ，列出方程，并与y=kx 组成方程组，解方程组； （3）设点D （x ，-
21x+2），因为点E 在直线y= 21x 上，所以E （x ，2
1x ），F （x ，0），再根据等量关系DE=2EF 列方程求解．
解答：解：（1）根据题意得：
25=-a+b0=4a+b 解方程组得：a=21， b=2 ∴a+b=-21+2=23，即a+b=2
3； （2）设P （x ，y ），则点P 即在一次函数y=ax+b 上，又在直线y=kx 上，由（1）得：一次函数y=ax+b 的解析式是y=-
21x+2，又∵PO=PA ， ∴x 2+y 2=(4-x)2+y 2
y=kx y=2
1 x+2， 解方程组得：x=2，y=1，k=
21， ∴k 的值是2
1； （3）设点D （x ，-
21x+2），则E （x ，2
1x ），F （x ，0）， ∵DE=2EF ，∴-21x+2-21x=2×2
1x ，解得：x=1， 则-21x+2=-21×1+2=23，∴D （1，23）． 点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．
8. 在直角坐标系中，B 、A 分别在x ，y 轴上，B 的坐标为（3，0），∠ABO=30°，AC 平分∠OAB 交x 轴于C ；
（1）求C 的坐标；
解：∵∠AOB=90° ∠ABO=30°
∴∠OAB=30°
又 ∵ AC 是∠OAB 的角平分线
∴∠OAC=∠CAB=30°
∵OB=3
∴OA=3 OC=1
即 C(1，0)
（2）若D 为AB 中点，∠EDF=60°，证明：CE+CF=OC
证明：取CB 中点H ，连CD,DH ∵ AO=
3 CO=1 ∴AC=2 又∵D,H 分别是AB,CD 中点 ∴DH=
AC 21 AB=23 ∵ DB=2
1AB=3 BC=2 ∠ABC=30° ∴ BC=2 CD=2 ∠CDB=60° CD=1=DH
∵ ∠EOF=∠EDC+∠CDF=60 ° ∠CDB=∠CDF+∠FDH=60°
∴∠EDC=∠FDH ∵AC=BC=2 ∴CD ⊥AB ADC=90° ∵∠CBA=30°∴∠ECD=60°
∵HD=HB=1∴∠DHF=60°在△DCE 和 △DHF 中∠EDC=∠FDH ∠DCE=∠DHFDC=DH
∴△DCE ≌ △DHF(AAS)∴CE=HF ∴CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1∴CH=OC ∴OC=CE+CF
（3）若D 为AB 上一点，以D 作△DEC ，使DC=DE ，∠EDC=120°，连BE ，试问∠EBC 的度数是否发生变化；若不变，请求值。

解：不变 ∠EBC=60° 设DB 与CE 交与点G DC=DE ∠EDC=120°
∴∠DEC=∠DCE=30° 在△DGC 和△ DCB 中
∠CDG=∠BDC
∠DCG=∠DBC=30∴△DGC
∽ △DCB ∴DG DC =DC
DB DC=DE ∴DG DE =DE DB 在EDG 和BDE 中
DG DE =DE DB ∠EDG=∠BDE ∴△EDG ∽ △BDE ∴∠DEG=∠DBE=30°∴∠EBD=∠DBE+∠DBC=60°
9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足
4 a + |4
－b |=0
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；
（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点Q ，
当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围. 考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数
的性质：算术平方根． 专题：证明题；探究型．
分析：①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a 、b 的方程，
解方程组即可求出a ，b 的值，也就能写出A ，B 的坐标；
②作出∠AOB 的平分线，通过证△BOG ≌△OAE 得到其对应角相
A B O D E
F
y
x
A B O M
P Q x
y
等解决问题；
③过M 作x 轴的垂线，通过证明△PBO ≌△MPN 得出MN=AN ，转化到等腰直角三角形中去就很好解决了． 解答：解：①∵4 a +|4-b|=0
∴a=4，b=4， ∴A （4，0），B （0，4）；
（2）作∠AOB 的角平分线，交BD 于G ，
∴∠BOG=∠OAE=45°，OB=OA ，
∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF ，
∴△BOG ≌△OAE ，
∴OG=AE ．
∵∠GOD=∠A=45°，OD=AD ，
∴△GOD ≌△EDA ．
∴∠GDO=∠ADE ．
（3）过M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ．
∵∠BPM=90°，
∴∠BPO+∠MPN=90°．
∵∠AOB=∠MNP=90°，
∴∠BPO=∠PMN ，∠PBO=∠MPN ．
∵BP=MP ，
∴△PBO ≌△MPN ，
MN=OP ，PN=AO=BO ，
OP=OA+AP=PN+AP=AN ，
∴MN=AN ，∠MAN=45°．
∵∠BAO=45°，
∴∠BAO+∠OAQ=90°∴△BAQ 是等腰直角三角形．∴OB=OQ=4．∴无论P 点怎么动OQ 的长不变． 点评：（1）考查的是根式和绝对值的性质．
（2）考查的是全等三角形的判定和性质．
（3）本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质．
10、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 、y 轴上，点B 的坐标为(0，1)，
∠BAO =30°．（1）求AB 的长度；
（2）以AB 为一边作等边△ABE ，作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D ．求证：BD =OE ．
D E N M B O x y A
D E
B O x
y F A
（3）在（2）的条件下，连结DE 交AB 于F ．求证：F 为DE 的中点． 考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 专题：计算题；证明题．
分析：（1）直接运用直角三角形30°角的性质即可．
（2）连接OD ，易证△ADO 为等边三角形，再证△ABD ≌△AEO 即可．
（3）作EH ⊥AB 于H ，先证△ABO ≌△AEH ，得AO=EH ，再证△AFD ≌△
EFH 即可．
解答：（1）解：∵在Rt △ABO 中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2；
（2）证明：连接OD ，
∵△ABE 为等边三角形，
∴AB=AE ，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D ，
∴∠DAO=60°．
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA ，
∴△ADO 为等边三角形．
∴DA=AO ．
在△ABD 与△AEO 中，
∵AB=AE ，∠EAO=∠NAB ，DA=AO
∴△ABD ≌△AEO ．
∴BD=OE ．
（3）证明：作EH ⊥AB 于H ．
∵AE=BE ，∴AH=
21AB ， ∵BO=2
1AB ，∴AH=BO ， 在Rt △AEH 与Rt △BAO 中，
AH=BO ，AE=AB
∴Rt △AEH ≌Rt △BAO ，∴EH=AO=AD ．又∵∠EHF=∠DAF=90°，在△HFE 与△AFD 中，
∠EHF=∠DAF ，∠EFH=∠DFA ，EH=AD ∴△HFE ≌△AFD ，∴EF=DF ．∴F 为DE 的中点．
点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等．
11.如图，直线y=3
1x+1分别与坐标轴交于A 、B 两点，在y 轴的负半轴上截取OC=OB. （1）求直线AC 的解析式；
解：∵ 直线y=
31x+1分别与坐标轴交于A 、B 两点 ∴ 可得点A 坐标为（-3，0），点B 坐标为（0，1）
∵ OC=OB
∴ 可得点C 坐标为（0，-1）
设直线AC 的解析式为y=kx+b
将A （-3，0），C （0，-1）代入解析式
-3k+b=0且b=-1可得k=-
3
1，b=-1 ∴ 直线AC 的解析式为y=31x-1 （2）在x 轴上取一点D （-1，0），过点D 做AB 的垂线，垂足为
E ，交AC 于点
F ，交y 轴于点
G ，求F 点的坐标；
解：∵ GE ⊥AB
∴ k k 1EG AB ⋅=-
∴ 131k ==3GE -
-
设直线GE 的解析式为'y=-3x+b
将点D 坐标（-1，0）代入，得
'y=-3b 0⨯(-1)+= ∴ 'b 3=-
∴ 直线GE 的解析式为y=-3x-3 联立y=
31x-1与y=-3x-3，可求出3
4x =-， 将其代入方程可得y=34-，
∴ F 点的坐标为（
3
4-，34-） （3）过点B 作AC 的平行线BM ，过点O 作直线y=kx （k ＞0），分别交直线AC 、BM 于点H 、I ，试求
AB
BI AH +的值。

解：过点O 作AC 的平行线ON 交AB 于点N
∵BM//AC
∴OI OB OH OC =∵OB=OC ∴OI=OH ∴O 为IH 的中点 ∵BM//AC
∴=NB OI NA OH ∵ OI=OH ∴ NB=NA ∴ N 为AB 中点∴ ON 是四边形ABIH 的中位线
∴ AH+BI=2ON ∵ N 是AB 的中点，∆AOB 是直角三角形
∴ AB=2ON （直接三角形斜边的中线等于斜边的一半） ∴ AH+BI=AB
∴AB
BI AH +=1 12.如图，直线AB ：y=-x-b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且OB ：OC=3：1.
（1）求直线BC 的解析式；
解：（1）因为直线AB ：y=-x －b 过点A （6，0）.
带入解析式 就可以得到 b=-6
即直线AB ：y=-x+6
∵B 为直线AB 与y 轴的交点
∴点 B （0，6）
∵OB ：OC=3：1
∴OC=2 点 C （-2，0）
已知直线上的两点 B 、C 。

设直线的解析式为y=kx+m
带入B 、C 的坐标。

可以算出k=3 ,m=6
所以BC 的解析式为：y=3x+6
（2）直线EF ：y=kx-k （k ≠0）交AB 于E ，交BC 于点F ，交x 轴于
D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若存在，求出k 的
值；若不存在，说明理由？
(2) 假设 存在满足题中条件的k 值
因为直线EF: y=kx-k （k ≠0）交x 轴于点D 。

所以D 点坐标为（1,0）
在图中标出点D,且过点D 做一直线，相交与直线AB,BC 分别与点E,F 然后观察△EBD 和△FBD
则 S △EBD= 21DE ×h S △FBD=2
1DF ×h 两个三角形的高其实是一样的
要使这两个三角形面积相等，只要满足DE=DF 就可以了
∵点E 在直线AB 上，∴设点E 的坐标为（p ，-p+6）
∵点F 在直线BC 上，∴设点F 的坐标为（q ，3q+6）
而上面我们已经得到点D 的坐标为（1,0）
点E 、F 又关于点D 对称，所以我们就可以得到两个等式，即：
（p+q)/2=1
(-p+6+3q+6)/2=0
这样就可以求得：p=
29，q=-2
5 点E 的坐标即为（29，23），点F 的坐标即为（-25，-23）
把点E 代入直线EF 的解析式，得到k=
73 所以存在k ，且k=7
3 （3）如图，P 为A 点右侧x 轴上的一动点，以P 为直角顶点，BP 为腰在第一象
限内作等腰直角△BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K ，当P 点运动时，K
点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。

(3) K 点的位置不发生变化
理由：首先假设直线QA 的解析式为y=ax+b ，点P 的坐标为（p ，0）过点Q
作直线QH 垂直于x 轴，交点为H
这样图中就可以形成两个三角形，分别是△BOP 和△PHQ ，且两个三角形都
是直角三角形。

∵△BPQ 为等腰直角三角形，直角顶点为P
∴BP=PQ ，∠BPO+∠QPH=180º—90º=90º
又∵在直角三角形中，∴∠QPH+∠PQH=90º
∴根据上面两个等式，我们可以得到∠BPO=∠PQH
且PB=QP
所以在△BOP 和△PHQ 中
∴△BOP ≌△PHQ （AAS ）
∴OP=HQ=p OB=HP=6 （全等三角形的对应边相等）
∴点Q 的坐标为（p+6，p ）
然后将点A 和点Q 的坐标代入直线QA 的解析式：y=ax+b 中，得到：
a=1，b=-6
也就是说a,b 为固定值，并不随点P （p ，0）的改变而改变
这样直线QA ：y=x-6的延长线交于Y 轴的K 点也不会随点P 的变化而变化了。

求得点K 的坐标为（0，-6）
实战练习：
1.已知，如图，直线AB ：y=-x+8与x 轴、y 轴分别相交于点B 、A ，过点B 作直线AB 的垂线交y 轴于点D.
（1）求直线BD 的解析式；
（2）若点C 是x 轴负半轴上的任意一点，过点C 作
AC 的垂线与BD 相交于点E ，请你判断：线段AC 与CE 的大小关
系？并证明你
的判断；
∠BOP=∠PHQ ∠BPO=∠PQH PB=QP
（3）若点G为第二象限内任一点，连结EG，过点A作AF⊥FG于F，连结CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，∠CFE的度数是否发生变化？若不变，请求出∠CFE的度数；若变化，请求出其变化范围.
2.直线y=x+2与x、y轴交于A、B两点，C为AB的中点.
（1）求C的坐标；
（2）如图，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+OM=MN，求∠NCM的度数；
（3）P为过B点的直线上一点，PD⊥x轴于D，PD=PB，E为直线BP上一点，F为y轴负半轴上一点，且DE=DF，试探究BF－BE的值的情况.
3.如图，一次函数y=ax-b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于B（0，-4）且OA=AB，△OAB的面积为6.
（1）求两函数的解析式；
（2）若M（2，0），直线BM与AO交于P，求P点的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E，使S△ABE=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由。

一次函数与实际运用综合专题
1、某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：台）102030
y（单位：万元∕台）605550
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价﹣成本）
【分析】（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出其关系式，由该机器生产数量至少为10台，但不超过70台就可以确定自变量的取值范围；
（2）根据每台的成本乘以生产数量等于总成本建立方程求出其解即可；
（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，运用待定系数法求出其解析式，再将z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润．
【解答】解：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴y=﹣x+65．
∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，
∴10≤x≤70；
（2）由题意，得
xy=2000，
﹣x2+65x=2000，
﹣x2+130x﹣4000=0，
解得：x1=50，x2=80＞70（舍去）．
答：该机器的生产数量为50台；
（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，由函数图象，得
，
解得：，
∴z=﹣a+90．
当z=25时，a=65，
成本y=﹣x+65=﹣×50+65=40（万元）；
总利润为：25（65﹣40）=625（万元）．
答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元二次方程的运用，销售问题利润=售价﹣进价的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．2、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示：
（1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数图象关系式；
（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．
【分析】（1）直接运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数图关系式；
（2）分别根据当0≤x＜时，当≤x＜6时，当6≤x≤10时，求出即可；
（3）分A加油站在甲地与B加油站之间，B加油站在甲地与A加油站之间两种情况列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设y1=k1x，由图可知，函数图象经过点（10，600），
∴10k1=600，
解得：k1=60，
∴y1=60x（0≤x≤10），
设y2=k2x+b，由图可知，函数图象经过点（0，600），（6，0），则
，
解得：
∴y2=﹣100x+600（0≤x≤6）；
（2）由题意，得
60x=﹣100x+600
x=，
当0≤x＜时，S=y2﹣y1=﹣160x+600；
当≤x＜6时，S=y1﹣y2=160x﹣600；
当6≤x≤10时，S=60x；
即S=；
（3）由题意，得
①当A加油站在甲地与B加油站之间时，（﹣100x+600）﹣60x=200，
解得x=，
此时，A加油站距离甲地：60×=150km，
②当B加油站在甲地与A加油站之间时，60x﹣（﹣100x+600）=200，
解得x=5，此时，A加油站距离甲地：60×5=300km，
综上所述，A加油站到甲地距离为150km或300km．
【点评】本题考查了分段函数，函数自变量的取值范围，用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式等知识点的运用，综合运用性质进行计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，注意：分段求函数关系式，题目较好，但是有一定的难度．
3、某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量
超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
【分析】（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，然后根据156元，122元列出二元一次方程组，求解即可；
（2）A品牌，根据八折销售列出关系式即可，B品牌分不超过5个，按照原价销售和超过5个两种情况列出关系式整理即可；
（3）先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解．
【解答】解：（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，
根据题意得，，
解得：，
答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；
（2）A品牌：y1=30x•0.8=24x；
B品牌：①当0≤x≤5时，y2=32x，
②当x＞5时，y2=5×32+32×（x﹣5）×0.7=22.4x+48，
综上所述：
y1=24x，
y2=；
（3）当y1=y2时，24x=22.4x+48，解得x=30，即购买30个计算器时，两种品牌都一样；
当y1＞y2时，24x＞22.4x+48，解得x＞30，即购买超过30个计算器时，B品牌更合算；
当y1＜y2时，24x＜22.4x+48，解得x＜30，即购买不足30个计算器时，A品牌更合算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，（1）读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，（2）B品牌计算器难点在于要分情况讨论，（3）先求出购买计算器相同时的个数是解题的关键．
4.为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；
（1）当用电量是180千瓦时时，电费是108元；
（2）第二档的用电量范围是180＜x≤450；
（3）“基本电价”是0.6元/千瓦时；
（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？
【分析】（1）通过函数图象可以直接得出用电量为180千瓦时，电费的数量；（2）从函数图象可以看出第二档的用电范围；
（3）运用总费用÷总电量就可以求出基本电价；
（4）结合函数图象可以得出小明家8月份的用电量超过450千瓦时，先求出直线BC的解析式就可以得出结论．
【解答】解：（1）由函数图象，得
当用电量为180千瓦时，电费为：108元．
故答案为：108；
（2）由函数图象，得
设第二档的用电量为x千瓦时，则180＜x≤450．
故答案为：180＜x≤450；
（3）基本电价是：108÷180=0.6；
故答案为：0.6
（4）设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
y=0.9x﹣121.5．
y=328.5时，
x=500．
答：这个月他家用电500千瓦时．
【点评】本题考查了运用函数图象求自变量的取值范围的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式通过自变量的值求函数值的运用，解答时读懂函数图象的意义是关键．
5、一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y1（km），小轿车的路程y2（km）与时间x （h）的对应关系如图所示．
（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？
（2）①写出y1与x的函数关系式；
②当x≥5时，求y2与x的函数解析式；
（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？
【分析】（1）直接根据图象写出两地之间的距离和小轿车停留的时间即可；
（2）分别利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（3）由题意可知小轿车在3h﹣5h休整，并且两车在这段时间内首次相遇，由y2与x的函数解析式可求得此时小轿车离甲地的距离，最后由y1与x的函数关系式可求得相遇时间．
【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地相距420km，小轿车中途停留了2小时；（2）①y1=60x（0≤x≤7）；
②当x=5.75时，y1=60×5.75=345，
x≥5时，设y2=kx+b，
∵y2的图象经过（5.75，345），（6.5，420），
∴，
解得：，
∴x≥5时，y2=100x﹣230；
（3）x=5时，有y2=100×5﹣230=270，即小轿车在3≤x≤5停车休整，离甲地270km，当x=3时，y1=180；x=5时，y1=300，
∴火车在3≤x≤5时，会与小轿车相遇，
即270=60x，x=4.5；
当0＜x≤3时，小轿车的速度为270÷3=90km/h，
而货车速度为60km/h，
故，货车在0＜x≤3时，不会与小轿车相遇，
∴货车出发4.5小时后首次与小轿车相遇，距离甲地270km．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，利用函数图象得出正确的信息，题目解决的是实际问题，比较典型．。