2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第8章 平面解析几何 8-7

A．y2＝9x C．y2＝3x
B．y2＝6x D．y2＝ 3x
解析 设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线 l 的斜率为 3，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故 p ＝|CF|＝1，即 |AA1| |AC| 2
p＝32，从而抛物线的方程为
题型 2 抛物线的标准方程及性质 典例1 设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的 方程为( ) A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x
3．小题热身 (1)抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 x2－y32＝1 的渐近线的
距离是( )
1 A.2 C．1
3 B. 2 D. 3
解析 由抛物线 y2＝4x，有 2p＝4⇒p＝2，焦点坐标为
(1,0)，双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，不妨取其中一条 3
x－y＝0，由点到直线的距离公式，有 d＝
线，垂足为 B.设 C72p，0，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|＝ 2|AF|，且△ACE 的面积为 3 2，则 p 的值为____6____．
解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线 的方程为 y2＝2px(p>0)，则|FC|＝3p，∴|AF|＝|AB|＝32p，不 妨设 A 在第一象限，则 A(p， 2p)．易证△EFC∽△EAB， 所以||EAFE||＝||FACB||＝||FACF||＝2，所以||AAEF||＝13，所以 S△ACE＝13S△AFC ＝13×32p× 2p＝ 22p2＝3 2，所以 p＝ 6.
本题采用待定系数法，列方程求解．
解析 以 MF 为直径的圆过点(0,2)，∴点 M 在第一象
限．由|MF|＝xM＋p2＝5 可得 M5－p2，
2p5－p2，以 MF
为直径的圆，其圆心 N 为52，12
2p5－p2，∵点 N 的横
坐标恰好等于圆的半径，∴圆与 y 轴切于点(0,2)，从而 2＝
本题采用方程组法．
解 (1)由已知得 M(0，t)，P2t2p，t.
又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Ntp2，t，故 ON 的方 程为 y＝pt x，将其代入 y2＝2px，整理得 px2－2t2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2pt2，因此 H2pt2，2t.所以 N 为 OH 的中点，即||OOHN|| ＝2.
|
3×1－0| ＝ 32＋－12
23.故选 B.
(2)(2018·正定一模)如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(a<b)，原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y2 ＝2px(p>0)经过 C，F 两点，则ba＝_1_＋____2__.
解析
|OD|
＝
a 2
，
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的 点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物 线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 x＝－a4.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物 线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a ＞0)的通径长为 2a.( √ )
S△AOB＝12×1×(2
2＋
2)＝3
2
2 .
[条件探究 2] 将典例条件变为“在抛物线上找一点 M，使|MA|＋|MF|最小，其中 A(3,2)”．求 M 点坐标及此时 的最小值．
解 如图，点 A 在抛物线 y2＝4x 的内部，由抛物线的 定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，
其中|MH|为 M 到抛物线的准线的距离．
经典题型冲关
题型 1 抛物线的定义及应用 典例 (2016·浙江高考)若抛物线 y2＝4x 上的点 M 到 焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是___9_____．
抛物线定义法． 解析 设 M(x0，y0)，由抛物线方程知焦点 F(1,0)．根据 抛物线的定义得|MF|＝x0＋1＝10，∴x0＝9，即点 M 到 y 轴 的距离为 9.
2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准 线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相 互转化．见条件探究 2.
3．看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物 线焦点弦有关问题的重要途径．
冲关针对训练
(2017·湖北二模)设 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A，B，
C 为该抛物线上三点，若F→A＋F→B＋F→C＝0，则|FA|＋|FB|＋
|FC|的值为( )
A．3
B．6
C．9
D．12
解析 抛物线 y2＝4x 焦点坐标为 F(1,0)，准线方程 x ＝－1，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3) ∵F→A＋F→B＋F→C＝0， ∴点 F 是△ABC 重心，则x1＋x32＋x3＝1， ∴x1＋x2＋x3＝3. 由抛物线的定义可知：|FA|＋|FB|＋|FC|＝(x1＋1)＋(x2 ＋1)＋(x3＋1)＝6， ∴|FA|＋|FB|＋|FC|＝6，故选 B.
第8章 平面解析几何
8．7 抛物线
基础知识过关
[知识梳理] 1．抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F∉l)距离相等的点 的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的 焦点 ，直线 l 叫 做抛物线的 准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
3．必记结论 (1)抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0 的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径． (2)y2＝ax 的焦点坐标为a4，0，准线方程为 x＝－a4.
1 2
2p5－p2，即 p2－10p＋16＝0，解得 p＝2 或 p＝8，∴
抛物线方程为 y2＝4x 或 y2＝16x.故选 C.
典例2
(2016·天津高考)设抛物线xy＝ ＝22pptt2， (t 为参
数，p>0)的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂
(2)(选修 A1－1P61 例 4)若过抛物线 y2＝8x 的焦点作倾 斜角为 45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 C．32
B．16 D．64
解析 由抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程 为 y＝x－2，代入 y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即 x2－12x＋4＝0， 所以 x1＋x2＝12，弦长为 x1＋x2＋p＝12＋4＝16.故选 B.
程为 x＝－2.
题型 3 直线与抛物线的综合问题 角度 1 直线与抛物线的交点问题 典例 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 l： y＝t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p>0)于点 P， M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求||OOHN||； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明 理由．
(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线 MH 的方程为 y－t＝2ptx， 即 x＝2pt(y－t)． 代入 y2＝2px，得 y2－4ty＋4t2＝0，解得 y1＝y2＝2t，即 直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点．
|DE|
＝
b
，
|DC|
＝
a
，
|EF|
＝
b
，
故
Ca2，－a，Fa2＋b，b， 又抛物线 y2＝2px(p>0)经过 C，F 两点，
从而有b－2＝a22p＝a22＋p×b，a2，
即ab＝2－2·ba－1＝0，又ba>1， ∴ba＝1＋ 2.
(3)直线 AB 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．
①y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2 x1x2＝p，即当 x1＝x2 时， 弦长最短为 2p.
③|A1F|＋|B1F|为定值2p. ④弦长 AB＝si2np2α(α 为 AB 的倾斜角)． ⑤以 AB 为直径的圆与准线相切． ⑥焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90°.
y2＝
3x，故选 C.
2．(2018·河南洛阳统考)已知 F1，F2 分别是双曲线 3x2 －y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P 是抛物线 y2＝8ax 与双曲 线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为 _x_＝__－__2__．
解析 将双曲线方程化为标准方程得ax22－3ya22＝1，可得
2．教材衍化
(1)(选修 A1－1P64A 组 T2)抛物线 y＝1ax2(a≠0)的焦点坐
标为( )
A.0，a4或0，－a4 C.0，a4
B.0，－a4 D.a4，0
解析 把方程写成 x2＝ay，若 a>0，则 p＝a2，焦点为 F0，a4；若 a<0，则 p＝－a2，开口向下，焦点为 F0，a4. 故选 C.
解 (1)∵抛物线 C：x2＝m1 y，∴它的焦点 F0，41m. (2)∵|RF|＝yR＋41m，∴2＋41m＝3，得 m＝14. (3)存在，联立方程y2＝x－myx＋2，2＝0， 消去 y 得 mx2－2x－2＝0， 依题意，有 Δ＝(－2)2－4×m×(－2)＞0⇒m＞－12. 设 A(x1，mx21)，B(x2，mx22)，
F2(2a,0) ， 又 易 知 其 也 是 抛 物 线 的 焦 点 ， 联 立
ax22－3ya22＝1， y2＝8ax
⇒ x＝3a，即点 P 的横坐标为 3a.而 由
||PPFF11||＋ －||PPFF22||＝ ＝122a， ⇒|PF2|＝6－a， ∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得 a＝1，∴抛物线的准线方
[条件探究 1] 将典例条件变为“过该抛物线焦点 F 的 直线交抛物线于 A、B 两点，若|AF|＝3”，求△AOB 的面积．
解 焦点 F(1,0)，设 A，B 分别在第一、四象限，则点 A 到准线 l：x＝－1 的距离为 3，得 A 的横坐标为 2，纵坐 标为 2 2，AB 的方程为 y＝2 2(x－1)，与抛物线方程联立 可得 2x2－5x＋2＝0，所以 B 的横坐标为12，纵坐标为－ 2，
角度 2 与抛物线弦中点有关的问题
典例 (2018·郑州模拟)已知抛物线 C：y＝mx2(m＞0)， 焦点为 F，直线 2x－y＋2＝0 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.
(1)求抛物线 C 的焦点坐标； (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3， 求此时 m 的值； (3)是否存在实数 m，使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直 角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B， 则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4， 当且仅当点 M 在 M1 的位置时等号成立． 此时 M1 点的坐标为(1,2)．
方法技巧 利用抛物线的定义可解决的常见问题
1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、 定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见典例．
方法技巧 确定及应用抛物线性质的关键与技巧
1．关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等 性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．见典例 1.
2．技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质 以图助解．见典例 2.
冲关针对训练 1.如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物 线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3， 则此抛物线的方程为( )