(新高考)高考数学二轮复习 专题强化训练(十六)解三角形 理-人教版高三全册数学试题
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专题强化训练(十六) 解三角形
1．[2019·某某卷]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .
(1)求cos B 的值；
(2)求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C
，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23
a .由余弦定理可得 cos B ＝a 2＋c 2－
b 22a
c ＝a 2＋49
a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154
， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158
， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78
， 故sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．[2019·某某一模]已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．
(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；
(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．
解：(1)∵△ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，
∴B ＝60°.
设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
由△ABC 的面积S ＝33＝12
ac sin B 可得ac ＝12. ∵sin C ＝3sin A ，由正弦定理知c ＝3a ，
∴a ＝2，c ＝6.
在△ABC 中，由余弦定理可得
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝28，
∴b ＝27，即AC 的长为27.
(2)∵BD 是AC 边上的中线，
∴BD →＝12
(BC →＋BA →)， ∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos B )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14
(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，
∴|BD →|≥3，即BD 长的最小值为3.
3．[2019·某某质检二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2
B ＋sin A sin B ＝2c sin
C ，△ABC 的面积S ＝abc .
(1)求角C ；
(2)求△ABC 周长的取值X 围．
解：(1)由S ＝abc ＝12
ab sin C 可得2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，
由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，
由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3
. (2)由(1)知2c ＝sin C ，同理可知2a ＝sin A ，
2b ＝sin B .
△ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝12
(sin A ＋sin B ＋sin C )
＝12[sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－A ]＋34 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＋34
＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋34. ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤32，1， ∴△ABC 周长的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32
，2＋34. 4．[2019·某某4月调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝
104，B ＝2A ，b ＝15.
(1)求a ；
(2)已知M 在边BC 上，且CM MB ＝12
，求△CMA 的面积． 解：(1)由0<A <π，cos A ＝104，知sin A ＝64
， ∴sin B ＝sin2A ＝2sin A cos A ＝2×
64×104＝154， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可知， a ＝b sin A sin B
＝ 6. (2)cos B ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1042－1＝14， sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝
64×14＋104×154＝368， △ABC 的面积S △ABC ＝12ab ·sin C ＝12×6×15×368＝9158
， 又CM MB ＝12，∴S △CMA ＝13S △ABC ＝13×9158＝3158
. 5．[2019·某某模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b sin C ＝a cos C
＋c cos A ，B ＝2π3
，c ＝ 3. (1)求角C ；
(2)若点E 满足AE →＝2EC →，求BE 的长．
解：(1)解法一：由题设及正弦定理得
2sin B sin C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，
又sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，