第二章 函数的应用举例教材分析二 人教版 教案

第二章 函数的应用举例教材分析二
一、教学任务的分析
1．函数的应用是函数内容里的一个重要方面．学生学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题解决问题．在初中学习了一次函数、二次函数和反比例函数的基础上，本章又学习了指数函数和对数函数，这就为学生函数的应用奠定了一定的知识基础．通过函数的应用，对学生完善函数的思想、激发应用数学的意识、培养分析问题解决问题的能力、增强进行实践的能力等，都有很大的帮助．
2．例2作为函数的应用举例这一节的一个主要内容，它源于实际，取材于学生身边的买房和购车，背景又是学生熟悉的消费贷款．解答该题和解答教科书中的许多函数应用题一样，都需要经历一个建立函数模型并利用所得模型解决问题的过程．但是，由于该题的信息量大、变量多，需要筛选（特别是两个还本付息表有较多的干扰因素，这与过去要用到几个量已知条件就有且只有几个量的题就完全不同），且建模的方向不明，在推理、计算和对问题的回答上都有一定的难度，学生难以直接通过题目得到暗示，从而到一条解决问题的途径，所以在解决问题的过程中一定会遇到不少困难．然而，正因为如此，例2才更贴近实际，才更有可能让学生参与到深层的思维和推理活动中去，才更能体现数学建模的思想，也才更具有挑战性和探索、研究的价值．
3．例2是本小节第二堂课的内容，通过上一堂课对例1和练习、习题中部分问题的解决，学生已经初步学习了用数学模型方法解决问题．在此基础上，根据问题的实际情况，例2的教学就应着眼于学生可能遇到的困难，围绕建立函数模型并利用模型解决问题这一重点展开．这样，课堂教学活动就可以依据下列环节来设计：
在以上每一个环节的具体教学活动中，教师都要力求自始至终保持让学生“做数学”的认知要求，从教师和学生两方面来组织和实施解决例2问题的双边活动，从而达到函数应用的目的．
二、教学情景的设计
每一位学生都清楚，这堂课就是要解决例2的问题．通过上一堂课的教学，学生应该了解了用数学模型方
法解决问题的步骤，教师就应当按照这条主线来设计教学任务．但考虑到学生认知发展水平的不同，可能依然会有部分学生没有将这些步骤内化，使得他们在解决问题时不知所措．对此，教师要有充分的准备，使教学情景的设计建立在学生可能遇到的困难之上，以此引导学生按照这些步骤去解决问题，从而进一步地提高对问题解决的认识，而不应该事先告诉学生将要做什么，甚至教他怎么去做． 1．尝试回答题目中的问题
学生一开始就会主动地阅读题目，迫切地想了解问题情景．教师可以借此鼓励学生尝试回答题目中的问题，以激发学生探索的热情．
（1）阅读题目
题目信息量大，要留给学生一定的阅读时间．教师可以通过下列问题来了解学生对题意的理解． 1）你认为题目要解决的问题是什么？
学生可能会有下列不同的回答：A ．为该家庭设计一个尽快购到车和房的合理贷款方案；Ｂ．先购房后买车快，还是先买车后购房快；Ｃ．建立函数模型来选择贷款方案，等．
不同的回答反映了对题意理解的不同层次． 2）你能解决你的问题吗？
教师可以让学生尝试回答自己认为需要解决的问题，当学生陷入困境时，让他们进行讨论，在交流中将学习引向建立函数模型的思考上．
思维遇到障碍就会渴望帮助，但教师不能包办代替． 3）究竟我们现在需要去解决哪个问题？ 此时，学生看到了需要解决的数学问题．
从实际中提出数学问题是由学生完成的，这就是一种数学意识的培养． （2）尝试建立函数关系式，帮助正确地选择方案
学生的思考再次陷入困境，应让他们展开讨论，相互得到启发．教师从中了解学生对问题认识的情况．
2．将实际问题概括为函数模型
学生要通过下列活动来达到对这一任务的认识和实施． （1）带着问题审题
根据学生讨论中暴露出来的困难，引导学生围绕如何建立函数关系式这一问题，从题目中获取所需信息． 当明确了实际问题转化的方向后，带着数学问题积极地去题目中扑捉所需的信息才是有效的审题． 1）题目中哪些信息对你建立函数关系式有帮助？
实际问题
函数模型
实际问题的解 函数模型的解
还原说明 推
理演算
抽象概括
当教师为学生搭了这个“脚手架”之后，学生就能够主动地从题目中提取有关的数据，发现存在的变量．由学生去建立变量、常量与函数关系式的联系，保持了高水平的认知要求．
2）能不能把你获取的信息归归类？
由于学生的分类标准不同，他们可能会作出如下分类：Ａ．变量与常量，Ｂ．买车与购房数据，Ｃ．汽车与住房消费贷款数据，Ｄ．积蓄、收入与支出，等．
对信息的检索与整理，拉近了与函数关系式的距离，为后面的推理提供了方便，其中蕴含着分类的思想．3）应该从哪一类信息中寻找函数？
让学生发表不同的意见，在对比中达成共识．
学生发表意见，就会有高水平行为的示范，这就使得教学任务从组织到实施都保持着较高的认知水平；从形成个人意见，到对比不同意见，再到达成共识，就是一个概括的具体过程．
4）建立哪个变量的函数对选择方案有利？它是随着哪个变量的变化而变化的？
这个问题也许是学生自己提出来的，因为此时他们急切地想建立起这个函数关系式．能否购房买车，关键要看家庭积累的资金够不够，找到家庭积累资金与时间的等量关系自然就变成了他们自己确立的下一阶段的任务．
通过教师在学生原有的认知基础上不断地搭“脚手架”，学生始终保持着高水平的认知活动，并在积极的思维过程中发现问题内在的联系，函数关系式开始浮出水面．
（2）建立方案一中家庭积累资金关于时间的函数关系式
只要能解决其中的一个方案，另一个方案就不再难了．不妨先让学生解决方案一．要留给学生适量的思考时间，并让他们把想法告诉大家．然后，在教师的引导下，将大家的思路进行整理，逐渐得出建立函数关系式的如下几个步骤．
先由教师将问题分解为若干个子问题后再让学生去解决（即先告诉学生要做什么只需做什么…，然后再让学生倒过来做），和先由学生发现解决问题所涉及到的若干个子问题再在教师引导下去解决，这两者的认知要求是不同的．前者的认知要求没有保持在“做数学”的水平，教师要求学生用教师认为是最正确的方法去得到正确答案，学生未能探究问题情景，也未能思考多种解题策略，从而使教学任务的实施处于“无联系的程序”水平；而后者则不同，学生是先通过对问题情景的亲身探究，自己提出解题策略，然后才在教师的引导下形成合理的解题方法，教学任务的实施自始至终都保持在“做数学”的认知要求水平上．
1）选择贷款期限，并计算出首付房款后家庭的剩余资金．
根据表1、表2学生容易想到，贷款期限越长，每月的还款数就越少，家庭的积累资金就增长得越快，于是就能尽快购房买车，所以住房贷款选30年期．
容易算得，按70％的比例可贷住房款21万元，首付30％后家中还剩资金1万元．
2）建立买车前的家庭积累资金y关于买车时间x的函数关系式．
只有得到买车前的家庭积累资金y关于买车时间x的函数关系式后，才有可能知道何时有资金买车．通过审题，这一点学生是能够想到的．
在建立函数关系式时，应该反映出学生由一个实际的等量关系式转化为一个抽象的函数关系式的过程
，
即y=1+0.229712x, (x ∈N) ．
得到实际的等量关系并将其转化为数学模型，是数学建模的核心，是抽象概括能力的具体体现．
3）建立首付汽车款y关于买车时间x的函数关系式．
只有再得到首付汽车款y关于买车时间x的函数关系式后，才能求出买车后的结余资金，从而最终了解何时有资金能力买车．然而，能考虑到首付汽车款是一个影响资金积累的变量，并通过建立函数关系式将其纳入资金积累的函数关系式中，对学生来说可能是一个困难．教师可以让学生讨论，“根据买车前的家庭积累资金y 关于买车时间x的函数关系式，能否算出何时有能力买车？”若学生认为求出y＝0时的x值即为所求，则再让他们讨论，“此时的首付车款是多少？”让学生在计算中发现自己认识上的不足，从而建立多个量之间的联系．
认识的提高是一个循环往复螺旋上升的过程．
由于车价每月都在下降，所以首付车款y就存在一个关于买车时间x的函数关系式，即
y = 30%×15(1－1%)x，亦即
y= 4.5×0.99x (x∈N) ．
4）建立刚买车后家庭的结余资金y1关于买车时间x的函数关系式．
购房后买车前增加的资金
－
，
即 y 1= －4.5×0.99x
+0.229712x +1 (x ∈N)．
学生也许会想，求出y
1＝0时的x 值就应该是买车的最早时间了．这是教学过程的一个转折点，应该给学生适量的时间讨论．在学生难以发现存在的问题时，教师不能因此而降低认知要求，应再次为学生搭“脚手架”，
让学生思考，“买车后家庭还能维持正常的开支吗？”以此来启发大家．当学生发现了决策存在的漏洞时，会真正感觉到方案选择的复杂和难度．此时最需要教师做的是鼓励大家，因为这离问题的解决只有一步之遥．
由于解决问题的途径不可预见，学生会有不同程度的焦虑，这就需要他们有相当大的认知努力，并在任务的完成过程中对自己的认知过程进行自我调控．这样才能保持高水平的认知要求．
5）建立买车后月支出y 关于买车时间x
的函数关系式．
由于买车后的月支出所包含的几个量中，只有月偿还汽车贷款是变量，而它是与买车时间有关，所以函数关系式中的自变量应为买车时间．对此，可以让学生在建立函数关系式的过程中得到认识．
即 y =0.203144×0.99x
+0.370288 (x ∈N) ．
6）建立还清汽车贷款时的家庭结余资金y 2关于买车时间x 的函数关系式．
=
即，y 2 = －16.68864×0.99x
+0.229712 x +8.78272 (x ∈N)．
至此，就得到了解决问题所需的函数．
3．利用所得函数关系式求方案一买车所需的最短时间
学生从前面的分析已经认识到，y 1＝0时的x 值只说明了何时有资金能力买车，而最快买车的时间应该是
由y 2 ＝0时的x 值来确定．要认识到这一步是有困难的．教学中，可以让学生利用信息技术工具进行实验，当他们通过自己的探索获得结果后，就能加强对问题的理解．
（1）求出y 1＝0时的x 值
如何求出y 1＝0时的x 值，这对学生来说又是一个挑战．教师应想到学生可能采取的策略：1）通过解方程－4.5×0.99x
+0.229712x +1＝0求x 的值；2）通过图形计算器或计算机中相应软件的解方程功能直接求出x 的值；3）通过图形计算器或计算机中相应软件的作图功能，作出函数y 1= －4.5×0.99x
+0.229712x +1和y =0的图象，并求出它们的交点坐标，从而求出x 的值．
若采取第一种策略，显然难以求出x 的值，教师就应该引导他们利用图形计算器或计算机进行探索；若采取第二种策略，虽然可以很快地求出x 的值，但超出了学生的认知水平；若采取第三种策略，就可以使学生在已学过的利用图象解简单的绝对值方程和一元二次方程的基础上，得到对求x 值的认识．所以，教师应该引导学生最终采取第三种策略，利用信息技术工具进行实验，通过探索得到x ＝13．
引入信息技术工具，就为学生提供了一个新的情景，实现了方程－函数－图象的联系，使学生能够利用已有知识解决未知问题．学生的这种实践就是一种创造性的活动．
（2）求出y 2＝0时的x 值
同样，用图形计算器或计算机中作出函数y 2 = －16.68864 ×0.99x
+0.229712 x +8.78272和y =0的图象，并求出它们的交点坐标，便可求出x ＝21．这说明，购房后13个月该家庭有资金能力买车，但此时买车就不能保证家庭的收支平衡．所以按照方案一，该家庭购房后至少需要21个月才能买车．然而，这是不是购房买车
所需的最短时间呢？这就要求学生还需对所得的解进行验证．
4．验证21个月是不是购房买车所需的最短时间
这其实就是对两个方案作出抉择．学生们都明白，解决了方案一的问题，同理就可以解决方案二的问题．但是，还需要经过同样多的过程吗？教师可以让学生先讨论，然后在解决问题的过程中得到认识．
买车后为了能尽快购房，汽车和住房贷款同样分别选5年期和30年期．按的70 % 比例可贷汽车款10.5万元，首付30 % 后，家中还剩5.5万元．
同方案一理，可建立在汽车贷款期内购房前的积累资金y 关于购房时间x 的函数关系式．
汽车贷款期内购房前的积累资金＝买车后的剩余资金＋
这段时间增加的资金
，
即y =5.5+0.0468565 x (x ∈N) ．
由于尚不知在汽车贷款期内是否能购房，而21个月就能实现方案一，所以只需在汽车贷款期内验证方案
二是否有可能在21个月内实现即可．这就是在解题过程中得到的认识．
令＝21，则y =5.5+0.0468565×21＝6.483997．而此时购房需首付
30%×30×(1+0.8%)21 =10.639315(万元)> 6.483997 (万元)．
这说明，方案二购房买车所需的时间比方案一的长，应该选择方案一．
对方案一结果的验证，就是用数学模型的解还原说明实际问题的解的过程．具有数学模型方法解决问题思
想的学生，就能意识到采取验证的策略对两种方案作出选择；相反，不具备这种思想的学生，就很可能采取模
仿方案一的方法再次研究方案二的策略．对后者，让他们讨论和实践，就会促进数学模型方法解决问题的思想
形成．
5．小结
当最终找到实际问题的解之后，教师完全有必要让学生对这个复杂的解决问题的过程进行回顾与反思，形
成评价．在这里可以通过本道题的第2个问题来创设情景，从而使整个学习活动自始至终都保持在高水平的认
知要求上．
没有问题情景的回顾，不易调动学生积极的思维活动，常常流于形式，可能下降为低认知水平的简单重复．
要最终得到家庭积累资金关于所经过时间的函数关系式，就要根据不同的时间段来划分家庭积累资金的情
况，并从中找到不同阶段函数自变量的取值范围．
因购房后21个月买车，汽车贷款期限为60个月，住房贷款期限为360个月，所以根据前面得到的函数关
系式，分别列出以下函数关系式．
（1）购房后买车前的家庭积累资金关于时间的函数关系式为
y = 1+0.229712x (x∈N 且1≤x≤21) ；
（2）购车后但还清汽车贷款前，
= ＋
( x∈N 且21< x≤81) ，刚买车后家庭的结余资金购房后还清汽车贷款前增加的资金
即 y = －0.034779x+2.910535 (x∈N 且21< x≤81) ；
（3）还清汽车贷款后，
= ＋
( x∈N 且81< x≤360) ，
即 y = 0.129712x＋10.413236 (x∈N 且81< x≤360) ．
综上所述，便可得到家庭积累资金关于所经过时间的函数关系式
通过进一步的概括，学生得到了一个完整的数学模型，并在此过程中对应用函数模型方法解决问题的思想
有了更深刻的体会，认识过程更加系统了．
6．开展课外研究性学习
从教材中挖掘素材并结合实际进行探究性活动，是研究性学习的一种方式．教师可以让学生课外在例2的
基础上，继续探索．如，提出其它方案，并与例2的方案比较，说明哪种方案更利于尽快地买到车和房；进行
实际调查后，改变题目中的一些条件，再来进行相应的研究．
研究性学习把课堂学习任务延伸到了课外，使学生的课外学习能够继续保持在高水平的认知要求上．
三、使用信息技术的设想
1．本题源于实际，特别是题中大量的数据更是来自现实．但是，如果没有信息技术工具的支持，这些复
杂数据的处理是比较麻烦的，所以在教学中，学生必须利用科学计算器或图形计算器、计算机，才能处理这些
数据，并且要求能熟练地进行运算操作．否则，数据的处理就会变成教学中新的难点，从而影响学生高水平认
知活动的持续，破坏了学生思维的连续性．而在处理本题数据上，三种工具的选择应该是平等的，只是对科学
计算器的选择，要尽可能选择有保留运算过程、修改、预置小数位数、常数模式等功能的机型，特别要注意的
是，简单计算器是不支持本题运算的．
2．本题涉及到求函数y=－4.5×0.99x＋0.229712x＋1 (x∈N) 和y =－16.68864×0.99x
＋0.229712 x＋8.78272 (x∈N) 在y＝0时的x值．对于学生来说，这无疑是一个难度很高的问题，只有建
立在信息技术支持的基础上才能得到解决．学生可以利用图形计算器或计算机分别作出这两个函数的图象，然
后求出它们与直线y＝0交点的横坐标，便可得解．但是，这里存在着几个问题．
（1）机器作出的是连续的图象，而这两个函数的图象应该是散点图，这如何看待？
（2）机器求出的交点的横坐标并不是自然数，又该怎么看待？
首先我们要认识到，在本道例题的教学中，利用信息技术并不仅仅是为了得到结果．如果是复杂繁琐的数
字运算，运算法则学生已很清楚，那么就可以运用信息技术直接得到结果，因为学生把时间花费在这些问题上，
对能力的培养没有帮助；如果象该问题，它涉及到学生刚刚学过的指数函数，又是形式比较陌生的初等函数，
通过解决它对学生能力的培养有帮助，那么利用信息技术就不仅仅是为了得到结果，更要给学生一个实验的机
会，帮助他们用已有的知识来提高认识．既然如此，尽管机器作出的不是要研究的函数图象，但要研究的函数
图象却在机器作出的图象上，那么就完全可以利用机器作出的图象来研究这两个函数值的情况．另外，正是通
过机器作出图象并求出交点，才了解到交点的横坐标不是自然数，从而才使学生能够认识到，要研究的函数图
象与直线y＝0无交点，方程－4.5×0.99x＋0.229712x＋1 ＝0 和－16.68864×0.99x＋0.229712 x＋
8.78272＝0并无整数解．这样，才为学生解决问题找到方法，使他们在交点横坐标的基础上结合实际得到一个
有效的整数解．
四、整合信息技术后对教和学带来的影响
1．传统应用题由于受信息技术条件的约束，背景不丰富，远离时代，和学生的实际结合得不紧密，大量
数据需要人为加工，题目还常常有明显的解题途径的暗示，所以学生难以通过解这些题，提高自己数学建模的
能力，领会问题解决的思想．由于有图形计算器和计算机这些信息技术工具，就使得学生解决象例2这样贴近
实际并能体现建模思想的问题成为可能．学生在信息技术的帮助下解决这样的问题，必然带来学习方式的重大
变革，对培养分析问题解决问题的能力也有较大的帮助．
2．例2的学习与信息技术整合最突出的一点就是，利用图形计算器或计算机作函数图象．具体表现在如
下几点．
（1）在解决例2问题的过程中，建立函数关系式对学生来说会是最大的困难，而这一困难又主要表现在，
建立函数关系式的方向不明，且需要建立的函数关系式又太多．利用机器的函数作图功能，就可以作出学生已
经求出的函数的图象，学生一方面就可以对图象上点的坐标进行跟踪研究，将多个量联系起来，对函数（特别
是那些不通过机器就难以作出图象的复合函数）会有更深刻的认识；另一方面还可以通过函数图象，从一个局还清汽车贷款时的结余资金还清汽车贷款后增加的资金
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
<
∈
-
≤
<
∈
+
-
≤
≤
∈
+
.
)
360
81
(
413236
.
10
129712
.0
,
)
81
21
(
910535
.2
034779
.0
,
)
21
1
(
229712
.0
1
x
N
x
x
x
N
x
x
x
N
x
x
y
且
且
且
＝
部看到问题的发展规律．这些对学生建立函数关系式是会有积极帮助的．但这种帮助又有别于教师告诉学生应该从哪方面考虑的“帮助”．二者本质的区别在于，一种是由学生自主探索而获得，另一种则是被动地去走教师指好的路，自然对能力培养的结果就不一样．
（2）在分别求函数y=－4.5×0.99x＋0.229712x＋1 (x∈N) 和y=－16.68864×0.99x＋0.229712x＋8.78272 (x∈N) 的y＝0对应的x值时，究竟应该把它看作一个什么问题来对待？如果是看作求方程－
4.5×0.99x＋0.229712x＋1＝0和－16.68864×0.99x＋0.229712 x＋8.78272＝0的解，那么就超出了学生的认知水平．即使是利用图形计算器或计算机的解方程功能直接得解，学生也不易认识．如果是看作求两个函数的自变量值，尽管学生对其很陌生，但它们都是由学生熟悉的函数复合而得的，没有超出学生的认知水平，借助机器作出它们的图象并求出与直线y＝0交点的横坐标，就可以探索出所需的x的值．在这里，机器能做的都是学生会做但又不方便做的事．这就不会影响学生能力的发展，相反，还可以促进学生积极的思维，形成数、形、式等多元的链接．这对帮助学生认识问题的本质，保持高水平的认知活动，都有不可替代的作用．（3）在本题的计算中出现了大量的近似值，特别是在分别求函数y=－4.5×0.99x＋0.229712x＋1 (x∈N) 和y =－16.68864×0.99x＋0.229712 x＋8.78272 (x∈N) 的y＝0对应的x值时，用机器得到的不是一个自然数值，而是一个近似的非自然数值．这一方面反映了机器并不能替代学生的思维，它主要是通过解决一些单调而繁杂的工作，让学生看到一些不易看到的问题，来发展学生深刻的思维；另一方面又反映了，借助信息技术，可以使学生有机会接触实际生活中常见的近似值，对培养学生合理处理数据的能力是会有帮助的．。