Banach空间中几乎渐近非扩张型映象不动点的迭代逼近问题

Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近

Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近孙庭;曾六川【摘要】设K是实p-一致凸Banach空间E中的非空闲凸子集,T是K到自身的一致Lipschit-zian映象,且F(T):={x∈K:Tx=x}≠φ.对任给的x0∈K,带误差的Ishikawa迭代程序生成序列{xn},在T是一致伪压缩映象的条件下,证明了‖xn-Txn‖→+0(n→∞).进一步,当T是全连续算子时,证明了{xn}强收敛到T的不动点.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)004【总页数】6页(P355-360)【关键词】带误差的Ishikawa迭代程序;一致Lipschitzian映象;不动点;一致伪压缩映象;强收敛性【作者】孙庭;曾六川【作者单位】上海师范大学,数理学院,上海,200234;上海师范大学,数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间．正规对偶映象J:E→2E*定义如下：J(x)={f∈ E*:〈 x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖}, x∈ E,其中，〈·,·〉表示E和E*间的广义对偶对．定义1.1 设E是一个实Banach空间，K是E的一非空子集，T:K→ K是一映象．(1)T称为一致Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得对一切n≥0，有‖Tnx-Tny‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.(2)T称为一致伪压缩映象，若对任意x,y∈ K，存在j(x-y)∈ J(x-y)使得对一切n≥0，有〈 Tnx-Tny,j(x-y)〉≤‖x-y‖2.(3)T称为渐近非扩张映象，若对每个n≥0，存在kn>0，满足且‖Tnx-Tny‖≤ kn‖x-y‖2, x,y∈ K.(4)T称为非扩张映象，若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, x,y∈ K.注1.1 易见，非扩张映象类是渐近非扩张映象类，而渐近非扩张映象类是一致Lipschitzian映象类．同时，非扩张映象类是一致伪压缩映象类．回顾到，映象T:K→ K称为伪压缩映象，若存在j(x-y)∈ J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2, x,y∈ K.映象T:K→ K称为Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得‖Tx-Ty‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.当L=1时，T是非扩张映象．T称为增生映像，若I-T是伪压缩映像，其中I是E的恒等算子. 已熟知[1]，当T 是增生映像时，方程 Tx=0的解对应着某些发展系统的平衡点. 因此，特别在过去的20年左右，相当多的研究努力已倾注在逼近T的不动点的迭代法上，其中T是伪压缩映像[2～6].1974年，Ishikawa[7]首次引入了Ishikawa迭代程序，并在Hilbert空间中建立了下列收敛性结果．定理1.1 设K是Hilbert空间H的一非空紧凸子集，T:K→ K是Lipschitzian伪压缩映象. 对x0∈ K，由下列迭代程序定义序列{xn}：其中，实数列{αn},{βn}满足条件：则{xn}强收敛到T的不动点.最近，Yao与Chen[10]，在p-一致凸Banach空间E中用带误差的Ishikawa迭代程序来逼近Lipschitzian伪压缩映象的不动点，成功地建立了强收敛定理．从而，把上述定理1.1推广到了p-一致凸Banach空间的情况．本研究受Yao与Chen[10]的启发，研究p-一致凸Banach空间E中一致Lipschitzian映象T的不动点的带误差的 Ishikawa迭代序列{xn}的收敛性．在T是一致伪压缩映象的条件下，证明了‖xn-Txn‖→0 (n→∞). 进一步，当T是全连续算子时，证明了{xn}强收敛到T的不动点.下面，回顾一些预备知识．设E是一实Banach空间．E的凸性模δE:(0,2]→[0,1]定义如下：δE()}.Banach空间E称为一致凸的，若δE()>0,∈(0,2].设1<p<∞.广义对偶映象Jp:E→2E*定义为Jp(x):={f∈ E:〈 x,f〉=‖x‖p,‖f‖=‖x‖p-1}.特别地，J=J2是 E上的正规对偶映象．易见，Jp(x)=‖x‖p-2j(x), x≠0.Banach空间E称为p-一致凸的，若存在常数c>0 使得δE()≥ cp,∈(0,2].已证[8]，当1<p≤2时，Lp是2- 一致凸的；当2≤ p<∞时，Lp是p-一致凸的．为证明本文的主要结果，后面将用到下列命题与引理．命题1.1 [5] 设1<p<∞, E是一实Banach空间．则下列叙述(i)，(ii)等价：(i)E是p-一致凸的；(ii)存在常数cp>0使得对每个x,y∈ E，成立不等式‖x+y‖p≥‖x‖p+p〈 y,jp(x)〉+cp‖y‖p, jp(x)∈ Jp(x).(1.1)注1.2 在不等式(1.1)中，分别用(x+y)取代x，(-y)取代y，并利用Cauchy-Schwarz不等式，可得‖x+y‖p≤‖x‖p+p‖y‖·‖x+y‖p-1.命题1.2[8] 设1<p<∞, E是p-一致凸Banach空间．则存在常数d>0使得‖λx+(1-λ)y‖p≤λ‖x‖p+(1-λ)‖y‖p-Wp(λ)d‖x-y‖p, λ∈[0,1], x,y∈E,(1.2)其中，Wp(λ)=λp(1-λ)+λ(1-λ)p.引理1.1[9] 设{ρn},{σn}是二非负实数列，且对某个自然数N0，有ρn+1≤ρn+σn, n≥ N0.则下列叙述成立：(a) 若则存在；(b) 若且{ρn}有收敛到零的子列，则2 主要结果下面，分别用cp和d表出现在不等式(1.1)和(1.2)中的常数．在本文的余下部分里，假设E是实的p-一致凸 Banach空间，满足：且p≤1+cp.对空间Lp (1<p≤2)，下列不等式成立 [8]：‖x+y‖2≥‖x‖2+2〈 y,J(x)〉+cp‖y‖2, x,y∈ L p,‖λx+(1-λ)y‖2≤λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-W2(λ)(p-1)‖x-y‖2, x,y∈ Lp,λ∈[0,1],其中，且对0<tp<1, tp是方程g(t)=(p-2)tp-1+(p-1) tp-2-1=0的唯一解．观察到，函数h:[0,1]→[0,∞): 在区间[0,1]上是增函数(因为于是，对空间Lp (1<p≤2)，有cp≥1且d=p-1.因此，条件且p≤1+cp被满足．引理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致伪压缩映象，则对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖(I-Tn)x-(I-Tn)y‖p, x,y∈ K.证明在不等式(1.2)中，分别用取代取代y，可得‖x-y-(Tnx-Tny)‖p≥‖x-y‖p-p2p-1〈+cp‖Tnx-Tny‖p≥‖x-y‖p-p‖x-y‖p+cp‖Tnx-Tny‖p.由于故对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖x-y-(Tnx-Tny)‖p, x,y∈ K.证毕．注2.1 注意到，函数在区间(0,∞)上是严格增加函数．因而，当时，它在(0,∞)上至多有一个零点．这时，由得知，其零点tp∈(0,1).定理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz 常数L>0，且F(T)≠Ø. 又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中，且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.1)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}(2.2)其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是一致伪压缩映象，且则证明任取x*∈ F(T).利用不等式(1.2)及K的有界性，对某个常数M≥0，有‖xn+1-x*‖p=‖(1-αn)(xn-x*)+αn(Tnyn-x*)-cn(Tnyn-un)‖p ≤(1-αn)‖xn-x*‖p+αn‖Tnyn-x*‖p-Wp(αn)d‖xn-Tnyn‖p+Mcn.(2.3)据引理2.1推得cp‖Tnxn-x*‖p≤(p-1)‖xn-x*‖p+‖xn-Tnxn‖p.(2.4)cp‖Tnyn-x*‖p≤(p-1)‖yn-x*‖p+‖yn-Tnyn‖p.(2.5)而且，对某些常数M1≥0,M2≥0，有(2.6)(2.7)把(2.4)代入(2.6)，即得(2.8)令则有(2.9)把(2.9)与(2.7)代入(2.5)，即有cp‖Tnyn-x*‖p≤ (p-1)(1+tn)‖xn-x*‖p+(p-1)rn‖xn-Tnxn‖p+(1-βn)‖xn-Tnyn‖p+βn‖Tn xn-Tnyn‖p-把该不等式代入(2.3)，则对某常数M3>0有(2.10)注意到,由于Wp(αn)≥αn(1-αn) 2-(p-2),故据条件(iii)即得，于是，有由于T是一致Lipschitzian映象，故对某常数M4>0有于是，据条件p≤1+cp即知，对某常数M5>0有(2.11)再由条件b∈(0,tp)推得今选取某个使得′=1-(1-)2-(p-2)cpd>0.则由条件(iii)推得αn≥′>0. 又由(2.11)得到估计式‖xn+1-x*‖p≤‖xn-x*‖p-(2.12)由于据引理1.1即知，存在．据此及(2.12)推得0<因此，假设观察到，‖xn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+‖Tnxn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-xn‖≤‖xn-Tnxn‖+L(‖Tn-1xn-Tn-1xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn-1‖+‖xn-1-xn‖)=‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-1-xn-1‖+L(L+1)‖xn-1-xn‖.从而，即得证毕．定理2.2 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空闭凸有界子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz常数L>0，且F(T)≠Ø.又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.13)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是全连续的一致伪压缩映象，且则{xn}强收敛到T的不动点．证明由定理由于T是全连续的，故序列{Txn}有强收敛的子列{Txni}，使得Txni→ y*∈ C.由此即得，xni→ y*.由于‖Ty*-y*‖≤‖Txni-Ty*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖≤L‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖=(1+L)‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖,所以Ty*=y*.由(2.12)及x*的任意性，即得‖xn+1-y*‖p≤‖xn-y*‖p-再由引理1.1及条件即知，证毕．参考文献:[1] DEIMLING K Z. Zeros of accretive operators[J], ManuscriptaMath,1974,13:365-374.[2] CHIDUME C E, MOORE C. The solution by iteration of nonlinear equations in uniformly smooth Banach space[J]. J Math AnalAppl,1997,215(1):132-146.[3] MANN W R. Mean value methods in iteration[J]. Proc Amer Math Soc,1953,4:506-510.[4] OSILIKE M O. Iterative solution of nonlinear equations of the φ-strongly accretive type[J]. J Math Anal Appl,1996,200(2):259-271.[5] LIU Q H. The convergence theorems of the sequence of Ishikawa iterates for hemicontractive mappings[J]. J Math Anal Appl,1990,148(1):55-62.[6] REICH S. Iterative Methods for Accretive Sets in Nonlinear Equations in Abstract Space[M]. New York: Academic Press,1978,317-326.[7] ISHIKAWA S. Fixed point by a new iteration method[J]. Proc Amer Math Soc,1974,44:147-150.[8] XU H K. Inequalities in Banach spaces with applications [J]. Nonlinear Anal,1991, 16(12):1127-1138.[9] Tan K K, XU H K. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process[J]. J Math Anal Appl,1993,178(2):301-308.[10]YAO Y H, CHEN R D. Approximating fixed point of pseudocontractive mapping in Banach spaces[J]. J Math Res Exposition,2008,28(1):169-176.。

p-几乎渐近非扩张型映象不动点具随机误差的迭代逼近

ＷＮｕ — ｉｇＣＥｉ —ｎＡＧｊｎｒｎ，ＨＮｊｎｌｇｕａｉ
（ｃｏｌｆＡｐｉｄＳｉｎｅａｂｎＵｉｅｓｙｏｃｎｅａｄＴｃｎｌｇ，ｒｂｎ１￣８ＣｉａＳｈｏｐｌｃｅｃ，ＨｒｉｎｖｒｔｆｉｃｎｅｈｏｙＨａｉ５０，ｈｎ）ｏｅｉＳｅｏ
ＩｒｔｅＡｐｒｘｍａｉｎｏｉｅｏｎｓｆｒＰＡｌｓｓｍｐｏｉａｌｔａｉｐｏｉｔｆＦｘｄＰｉｔｏ－ｍｏｔＡｙｔｔｌｅｖｏｃｙ
ＮｏｅｐｎｉｅＴｐｐｉｇｔａｄｍｏｓｎｘａｓｖｙｅＭａｐｓｗｉＲｎｏＥｒｒｎｈｒ
一
几乎渐近非扩张型映象不动点具随机误差的迭代逼近
王俊明，陈建领
（哈尔滨理工大学应用科学学院，黑龙江哈尔滨１０８）５００
摘
要：文研究了一致凸Ｂｎｃ间中Ｐ一几乎渐近非扩张型映象不动点具随机误差修正本ａａｈ空
（・・为Ｅ与 ’ 间的配对，＜，）之１Ｐ＜∞，称映象
：Ｅ，
（＝｛Ｅ：＞＝ｌｌｌ『，）ｆ（ＥＪｌ・ｌｌ
ｌｌｌｌ一｝Ｖｌ＝Ｊｌ， ∈Ｅ厂ｌ为对偶映象．
定义１设Ｅ是Ｂｎｃａａｈ空间，Ｄ是Ｅ的非空凸
ＡｂｔａｔＴｉａｅｔｄｅｈｔｒｔｅａｐｏｉｔｎｐｏｌｍｆＩｈｋｗａｉｒｔｅｓｑｅｃｔａｄｍｓｒｃ：ｈｓｐｐｒｓｕｉｓｔｅｉａｉｐｒｘｍａｉｒｂｅｏｓｉａｔａｉｅｕｎｅｗｉｒｎｏｅｖｏｅｖｈ

关于渐近拟非扩张型非自映射不动点的逼近问题

是渐近非扩张非自映射，则是渐
近非射Ｐ称为保核收缩，果１如
Ｊ＝ＰＤ２。
（）如果： — 是渐近拟非扩张非自映射，ｂＣ则是渐近拟非扩张型非自映射；（）如果（Ｃ）非空且是渐近非扩张型非自映射，则Ｔ是渐近拟非扩张型非自映射。
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第ｌ第２期８卷
四川文理学院学报（自然科学）
２００８年３月
Ｍａ．０８ｒ２０
Ｖ１１Ｎ．ＳｅｕｎＵｎｖｒｉｆｒｓａｄＳｉｎｅＪｕｎｌＮａｕａｃｅｃｄｔｎｏ．８ｏ２ｉａｉｅｓｙｏｔｎｃｃｏｒａ（ｔｒｌｉｅＥｉｏ）ｈｔＡｅＳｎｉ
【关键词】渐近拟非扩张型非自映射；渐近非扩张非自映射；Ｍｎ误差的迭代序列；带ａｎ公共不动点【中图分类号］１７９Ｏ７，１【文献标识码】Ａ【文章编号】０８４８（０８０ — ０１０１０ — ８６２０２００ — ４Ｊ
且存在一个序列｛｝１），ｍｌｋｃ［，ｌｋ＝使得ｉｌ（Ｔ — Ｐｌｌ — ＰｌＶ ∈ ， ∈ （）ｎ。ｌＰ）Ｔ一 — ≤ ｌ — ，ｘＣＰＦＴ ≥ｌｌｌ本文假定是一实Ｂｎｃ空间，ａａｈｃ是的非空闭凸子集，（是映射的不动点集。Ｆ）定义１１设：ｃ是一映射。．ｃ
（．）１１
～Ｙｌ，ｌ
（）４称为渐近拟非扩张型非自映射，如果

渐近非扩张映像不动点的三重迭代逼近问题

｛Ｃ［，，ｉ，ｋ｝１ ∞）ｌｍｋ＝１而且ＶＹ∈ 存在ｊ，Ｄ，：（
—
１引言及预备知识
本文设Ｅ是一实Ｂｎｃ间，ａａｈ空Ｅ是的对偶空间，・，表Ｅ与间的配对，像．Ｅ＜・＞映，一：
第２卷第２６期
２１年４００月
哈尔滨商业大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｒｉｉｅｓｙｏｏｏｒａｂｎＵｎｖｒｉｆＣБайду номын сангаасｍｍｅｃＮｔｒｌｃｎｅｄｔｎｏＨａｔｒｅ（ａｕａｉｃｓｉｏ）ＳｅＥｉ
Ｖ．ｏｏ２Ｎ．１６２
Ａｒ００ｐ．１２
渐近非扩张映像不动点的三重迭代逼近问题
杨晓薇，力滨，许崔云安，桂艳丽
（哈尔滨理工大学应用科学学院，哈尔滨１０８）５００摘要：究了Ｂｎｃ研ａａｈ中渐近非扩张映像和渐近伪压缩映像不动点的迭代逼近问题．
（ —Ｙ（） — ，，）＝
３Ｔ称为渐近伪压缩的，果存在实数列）如
收稿Ｅ期：０９一８—２．ｔ２０Ｏ９
基金项目：黑龙江省教育厅海外学人项目
作者简介：杨晓薇（９１，，１８一）女硕士，究方向：研泛函分析不动点方向
｛｝１ ∞）ｌｋ＝１使得ｌｃ［，，ｍ，ｉｌ
ｌ — ，ＶＹ∈ Ｖ凡．ＩＹＩ，ＤＩ ≥１
一）ｌ≤ｋ，ｌ

Banach空间中可数非扩张映像族公共不动点迭代算法

ＤＯＩ１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６ — ６３３０．２０１３数非扩张映像族公共不动点迭代算法
何松年，郭军
（中国民航大学理学院，天津３００３００）
ａｌｇｏｒｉｔｈｍｃｏｎｖｅｒｇｅｓｓｔｒｏｎｇｌｙｔｏａｃｏｍｍｏｎｉｆｘｅｄｐｏｉｎｔ，ｗｈｉｃｈａｌｓｏｓｏｌｖｅｓｓｏｍｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｉｓｐｒｏｖｅｄ．Ｔｈｅｓｅｒｅｓｕｌｔｓｉｍｐｒｏｖｅａｎｄｅｘｔｅｎｄｔｈｅｐｒｅｖｉｏｕｓｒｅｌｅｖａｎｔｒｅｓｕｌｔｓ．
ｓｐａｃｅ．Ｕｎｄｅｒｃｅｒｔａｉｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｆａｃｔｔｈａｔｔｈｅｓｅｑｕｅｎｃｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｔｈｅｉｔｅｒａｔｉｖｅ
第２７卷
０引言
设是一实Ｂａｎａｃｈ空间，为的非空闭凸子集，为的对偶空间．一个映像：一２ｘ称为（正规）对偶映像，如果它满足
（）：｛ ∈ Ｘ：（，Ｘ）＝ｆｌｌ｛。，ｌｌｌｌ＝Ｉｌｘｌ１），Ｙｘ ∈ Ｃ
收稿日期２０１２ — １１ — ０８；修订日期２０１２ — １２ — １５

Banach空间中几乎渐近非扩张型映象不动点的迭代逼近问题

Ｖ＿．４Ｎｏ３ｏ４Ｉ．
第４卷第３４期
文章编号：０９．７６２０）３０８ —５４０６５（０７０．４５０
Ｂｎｃａａｈ空间中几乎渐近非扩张型映象不动点的迭代逼近问题
熊明，王绍荣，泽恒杨
（ｅａｔｎｆｔｅｔｓＤｌＵｎｖｒｔ，ａ７００ＣｉａＤｐｒｔｈｍａｉ，ａｉｅｉＤｌ６１０，ｈｎ）ｍｅｏＭａｃｉｓｙｉ
ＡｂｔａｔＩ０３，ｐｏｅｓｒＺｎｔｏｕｅｅｃａｓｏｌｓｓｍｐｏｉａｌｏｅｐｎｉｅｔｐａ — ｓｒｃ：ｎ２０ｒｆｓｏｅｇｉｒｄｃｄａｎｗｌｓｆａｍｏｔａｙｔｔｌｎｎｘａｓｖｙｅｍｐｎｃｙ
ｍｏｉｅｓｉａｔｒｔｅｓｑｅｃｔｒｏｓｆｒｔｉｌｓｆｍａｐｎｓＴｈｂｖｅｕｔｎｆｉｒｖｄｆｄＩｈｋｗａｉｅａｉｅｕｎｅｗｉｅｒｒｏｈｓｃａｓｏｐｉｇ．ｅａｏｅｒｌｕｉｍｐｏｅｉｖｓｈｓｓｙ，
ａｙ｛｝｛，ｆｌ｛ｎＸＸ｝ｉｌ
．
ｌ，ｈｌｘ１ ” ｔｅａｕｓｓｒｖ．ｈｕｓｆｈｓｌ一０ｔｅｌＸｌＴ一０，ｍｅｅｌｏｅＴｅｅｌｉｈｓｒｔｉｐｄｓｒｔｏｔｓ
（大理学院数学系，大理６１０）７００
摘要：０３，２０年曾六川教授在Ｂｎｃａａｈ空间中引入了一类新的几乎渐近非扩张型映象，它包含了Ｂｎｃａａｈ空间中若干熟知的非线性Ｌｐｃｉ映象类与非Ｌｐｃｉ映象类成特例，ｉｈｚｓｔｉｈｚｓｔ并得到

Banach空间中有限簇非扩张非自映象具误差的迭代逼近

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２００８年３月
第３１卷
第２期
四川师范大学学报（自然科学版）ＪｕａｏＳｅｕｎＮｒａＵｉｒｔ（ａｒｌｃｎｅｏｒｌｆｉｈａｏｍｌｎｖｓｙＮｔａｉｃ）ｎｅｉｕＳｅ
非空子集．
∑
ｎ：ｌ
ｌ＜∞， ∑ ｌ
ｎ＝ｌ
ｌ＜∞，ｌ（）２
∑ ｌｌ＜∞ ｌｌ．
设，，，：Ｅ是 Ⅳ个非扩张映象，： … Ｋ— Ｊｐ
Ｅ— Ｋ是一非扩张保核收缩． ∈Ｋ是任一给定的点，。｝：，｛ｉ＝１２ … ，。，， Ⅳ是［，］中的 Ⅳ个实数０１列，则由下式定义迭代序列｛｝：
Ｉ＝Ｐ（一以＋Ｊ，Ｍ］１［１ Ⅱ ） Ⅱ ）Ｙｌ＋，２２
ｌ …… （）３
是由（）３式定义的迭代序列，其中｛｝：，ａ，ｉ＝ｌ，２… ，， Ⅳ是［，６６ｌ一］中的 Ⅳ个实数列，６∈（，）０Ｉ，
序列｛｝：ｒ＋１＝Ｐ［１一Ｏ）＋ＯＳ＋］（ｔＬｙ，
２ＹＰ（一）＋ｚ＋，＝［１Ｔ］
【＝Ｐ（一）＋．ｘ＋］Ｖ［１ＴＲ，ｎ≥１（），１
称为｜，的具误差的三步迭代序列，中｛，ｓ尺，其ｕ｝｛｝｛｝Ｋ中的３个可和序列，，是即
１引言及预备知识
关于非扩张映象的不动点的迭代逼近问题，已
Ｐ＝， ∈ Ｋ，ｘＶ则称Ｋ是Ｅ的一个收缩核．

Banach空间中φ-渐进非扩展映像不动点的迭代构造

文章编号：１０～３７（０８１０６ — ６０９１２２０）０ — ０５０
Ｂｎｃａａｈ空间中９渐进非扩展映像不动点的迭代构造一
管维荣，周海云
（械工程学院基础部，河北石家庄军０００）５０３
定义ＱｃＥ— ｃ为Ｑ－一－，称Ｑ：ｃｚｚ并。ｃ为从Ｅ到ｃ上的广义投影算子．Ｅ＝Ｈ为Ｈｉｅｔ当＝＝ｌｒｂ空间时，。为从 Ⅳ 到ｃ上的距离投影算子．Ｑ设Ｅ为实自反、严格凸、光滑Ｂｎｃａａｈ空间，ｃ为Ｅ中的非空、、闭凸子集，那么广义投影算子
中图分类号：０１７９７．１
１预备知识
１７年Ｇｅｅ和ＫｉＥ提出渐进非扩展映像以来，９２６ｂｌｒｋ引起了国内外数学家的广泛兴趣．获得并了许多重要的结论．详见Ｒｈａｅ［ＸＺｏ等著作．ｏｄｓ，ｕ引，ｈｕ但是在Ｂｎｃａａｈ空间中，当映像或定义
设Ｅ为Ｂｎｃａａｈ空间，为Ｅ中的子集，丁：Ｋ称Ｋ— Ｋ为渐进非扩展映像，如果对Ｆ（ ≠ 丁）
声，１一１ — ｏ）有（Ｔｚ，（ｏ，ｐ， ” ）（ｚ）ＶＰ ∈ Ｆ（，ｐ，，丁）３Ｋ．２∈
Ｅ × Ｅ— Ｒ定义为：
（，ｚ－）一ｌｚｌ一２－Ｊ）＋ｌ，Ｖ－Ｙ∈ ＥＩ－Ｉ＜，ｙｚＩｌｚＩＹ，

Banach空间中非扩张非自映象不动点的粘滞迭代逼近

，及一分别表示序列
本文用＿／表示单值映象，记Ｆ（）＝｛ ∈ ：Ｔ＝｝．且Ｔｘ
｛｝弱收敛，弱星收敛及强收敛到．ｃＥ的非空闭凸子集与Ｄｃｃ，Ｐ连续且ＦＰ设是若（）＝Ｄ，则映象ＰｃＤ是一收缩映象．映象ＰｃＤ被称为是太阳的，：— ：— 如果当＋（Ｐ）∈ Ｃｔ时，ｔ — ｘ且＞０ＰＰｔ）（ｘ＋（一）：Ｐ，ＥＣ．ｘＶ如果存在一个从Ｃ到Ｄ的太阳非扩张收缩映象，则称Ｄ是ｃ的一太阳的非扩张收缩核．更多的详细性质可看文献［～ｌ］８．１
ｌ预备知识
迄今，已有许多数学工作者研究了非扩张非自映象的迭代算法并获得了一系列好的结果．例如，对
任给的／∈ＤＴ隐格式迭代｛｝，（），定义如下：
＝ｔｕ＋（）Ｔ１一Ｐｘ，＝Ｐｔ（ｕ＋（）ｘ）１一Ｔ，
结果－．３同年，ａａａｈ —Ｋｍ在自反且有一致Ｇｔａｘ可微范数的Ｂｎｃ间中也得到了｛｝的强ＪＴｋｈｓｉｉａｕｅａａｈ空
收敛性结果］不过，．他们讨论的迭代格式都是隐格式迭代而非显格式迭代．最近，ａｕｈａＫ．Ｍｔｓｉ — ｕｓｔ
考虑了非扩张非自映象的不动点的迭代逼近问题．
本文作者受［，］６１等文的启发，３在具有弱序列连续对偶映象的自反Ｂｎｃａａｈ空间中，引入与研究了文［］６中的迭代格式的修正形式：
＝
Ｐｔ（）＋Ｓ＋（（ｆｘ１一ｔＴ；一０）ｘ）

非线性算子的不动点的迭代逼近

非线性算子的不动点的迭代逼近
本文研究了Banach空间中非线性算子的不动点的迭代逼近问题.它一直是非线性逼近理论中所研究的最重要的问题之一.多年以来,有许多作者用Mann和Ishikawa迭代法去逼近非线性算子的不动点.本文一方面继续讨论了Banach空间中非扩张非自映象、渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近.另一方面,我们继续研究了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近问题.所得结果推广、改进与发展了许多作者的相应结果.全文共分为四章.第一章前言介绍了Banach空间中非线性算子不动点问题的研究简况及本文作者的主要工作.第二章讨论了渐近伪压缩映象的迭代序列强收敛的充要条件.第三章讨论了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近.第四章讨论了Banach空间中非扩张非自映象不动点的粘滞迭代逼近.。

Banach空间中几乎渐近非扩张型映象具混合误差的迭代程序

文章编号：１０ — ３７（０７２０４ — ８０９１２２０）０ — １００
Ｂｎｃａａｈ空间中几乎渐近非扩张型映象具混合误差的迭代程序
姚永红，宋云燕，陈汝栋
（津工业大学数学系，天津３０６）天０１０
．１Ｑｐ《＋一ｚＩ一（ｐ１～），ｚ＋Ｔ“ ＋，三０。ｎ三，三
称为具混合误差的修正Ｍａｎ迭代序列；ｎ
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３）特别地，若：一０Ｖ三０则由（）（）其中， — ）义的序列（）Ｊ分，三，＝５和６（Ｑ定五［）
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收稿日期：２０ — ６００４０— ７
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（４）
基金项目：津市高校科技发展基金（０４４１天２０００）
别称为修正Ｉｈｋｗａ迭代序列和修正Ｍａｎ迭代序列．ｓｉａｎ定义１４设Ｄ是Ｂｎｃ．ａａｈ空间的一个闭子集，映象丁：Ｄ— Ｄ称为半紧的，果对Ｄ中的满如
足Ｉ一Ｔｘｌ０（Ｉｚｌ一ｎ一。）的有界序列｛，存在｛的子列｛使得ｏｚ｝均ｚ｝ｚ｝
维普资讯
第９第２卷期
２７６０年月０
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡＡＮＡＩＩＵＮＣＴＩＹＳＳＦＯＮＡＬＩＰＬＣＡＴＡＳＡＰＩ

Banach空间中非扩张映射的不动点逼近的Ishikawa迭代程序

Banach空间中非扩张映射的不动点逼近的Ishikawa迭代程序吴莉【摘要】设X为实一致凸Banach空间,其共轭空间X·具有KK性质,C为X的非空有界闭凸子集.若T为C到自身的非扩张映射,则对任给的x0∈C,Ishikawa迭代程序xn+1=tnT(snTxn+(1-sn)xn)+(1-tn)xn,n=0,1,2,…,定义的序列{xn}弱收敛到T 的某个不动点,其中{tn},{sn}满足一定的条件.【期刊名称】《江苏科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2007(021)006【总页数】4页(P91-94)【关键词】非扩张映射;Ishikawa迭代;不动点;一致凸Banach空间;KK性质【作者】吴莉【作者单位】南京工程学院,基础部,江苏,南京,210036【正文语种】中文【中图分类】O152.70 引言设C为Banach空间X的非空子集，T为C到自身的映射，如果对任何的x,y∈C,有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖成立，那么称T是非扩张的。

若X是一致凸Banach空间，则其每个有界闭凸子集C的非扩张自映射T都有不动点。

1974年，Ishikawa[1]首先在实Hilbert空间中对拟非扩张紧映射引入了迭代程序xn+1=tnT(snTxn+(1-sn)xn)+(1-tn)xn, n=0,1,2,…(1)并证明了{xn}逼近T的不动点，其中{tn},{sn}为[0,1]中满足某些限制条件的序列。

文献[2]证明了下面的定理。

定理1 设X为具Opial条件或具Frechet可微范数的一致凸Banach空间，C为X非空有界闭凸子集，T为C到自身的非扩张映射。

则对任何的x0∈C,由(1)定义的Ishikawa迭代程序{xn}弱收敛到T的不动点，其中{tn},{sn}为[0,1]中的序列且满足对的任何子列本文主要受文献[2]的启发，在共轭空间X*具有KK性质的一致凸Banach空间中证明了类似的收敛性定理。

Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题

ＡｂｔａｔＥ．．Ｏｆｅｓｒｃ：Ｕｏｄｕ’ ｅｕｌｓＭａｎＩｅａｉｅｓｑｕｎｅａｒｘｍａｉｎｐｒｂｌｍｆｆｘｅＳｒｓｔｉｎｔｒｔｖｅｅｃｐｐｏｉｔｏｏｅｏｉｄｐｎｔｆｒＬ— ｐｃｉｚａａｙｐｏｉａｌｐｅｄｏｏｎｒｃｉｅｏｉｓｏＬｉｓｈｔｉｎｓｍｔｔｃｌｙｓｕｃｔａｔｖｍａｐｉ．ＴｈｐｕｐｓｏｔｉｐｎｇｅｒｏｅｆｈｓｓｕｄｓｔｎｖｓｉａｅｔｓｒｎｇｏｖｅｇｎｅｐｒｂｌｍｏｔｔｙｉｏｉｅｔｇｔｈｅｔｏｃｎｒｅｃｏｅｆｈｅｍｏｄｆｅｓｉｗａｉｅａｉｅｉｉｄＩｈｋａｔｒｔｖｐｏｃｓｅｔｒｏｓｆｒａｒｉｔｎｉｅｏｎｔ－ｐｓｈｚａｓｍｐｏｉａｌｓｕｄ — ｒｅｓｓｗｉｈｅｒｒｏｐｐｏｘｍａｉｇｆｘｄｐｉｓｏｆＬ＿Ｌｉｃｔｉｎａｙｔｔｃｌｙｐｅｏ— ｃｎｔａｔｖｅｍａｐｉｇｉｅｌＢａａｈｓｃｎＥ．．ｏｅＳｒｓｔＴｈｅｕｔｅｔｎＵ．ｏｒｃｉｐｎｎｒａｎｃｐａｅｉＵＯｆｄｕ’ ｅｕｌ．ｅｒｓｌｘｅｄｓＥ．０ｆｅｕ’ ｅｕｌ．ｏｄＳｒｓｔＫｅｒｓ：ｙｗｏｄｕｎｉｏｍｌＬｉｓｈｔｉｎｍａｉｇ；ｓｆｒｙＬ— ｐｃｉｚａｐｐｎａｙｍｐｔｉａｌｐｅｄｏｒｃｉｅｍａｉｏｔｃｌｙｓｕｏｃｎｔａｔｖｐｐｎｇ；ｍｏｄｆｅｓｋｗａｉｅａｉｅｓｑｎｃｔｒｏｒｉｉｄＩｈｉａｔｒｔｖｅｕｅｅｗｉｈｅｒｓ

有限个渐近非扩张映象的公共不动点的逼近

E-mail: xch@有限个渐近非扩张映象公共不动点的逼近向长合（重庆师范大学数学与计算机科学学院重庆 400047）摘要：设E 是满足Opial 条件的一致凸Banach 空间，C 是E 的非空闭凸子集，12,,,N T T T C C →: 是N 个具有公共不动点的渐近非扩张映象。

在不同条件下，该文证明了具误差的广义N 步迭代序列分别弱收敛和强收敛于N T ,,T ,T 21的公共不动点。

关键词：一致凸Ｂanach 空间; 渐近非扩张映象; 迭代序列; 公共不动点; Opial 条件; 半紧中图分类号：O177.91Approximation of common fixed points of a finite familyof asymptotically nonexpansive mappingsXiang changhe(College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Normal University ，Chongqing 400047)Abstract: Let E be a uniformly convex Banach space satisfying Opial’s condition , C be a nonempty closed convex subset of E , and C C T ,,T ,T N →: 21 be N asymptotically nonexpansive mappings with common fixed points. This paper proves that, under different conditions, the generalized N -step iterative sequence with errors converges weakly and converges strongly to a common fixed point of N T ,,T ,T 21 respectively.Key words: Uniformly convex Banach space; Asymptotically nonexpansive mappings; Iterative sequence; Common fixed point; Opial’s condition; Semi -compact 。

Banach空间中拟非扩展映象的不动点的迭代逼近

Banach空间中拟非扩展映象的不动点的迭代逼近周海云;高改良;陈东青;吴辰余【期刊名称】《军械工程学院学报》【年(卷),期】2004(016)001【摘要】研究了严格凸Banach空间中非空间凸子集上拟非扩展映象的不动点的迭代逼近问题,主要证明了:设E是严格凸Banach空间,K为E的闭凸子集,T:K→K 为连续拟非扩展映象.进一步假设T(K)包含于K的一个紧子集之中,迭代地定义序列{xn}∞n=1如下:(IS)yn=(1-βn)xn+βnTxn,n≥1,xn+1=(1-αn)xn+αnTyn,n≥1,其中{αn}和{βn}满足一定的条件,则{xn}强收敛于T的某个不动点.【总页数】4页(P69-72)【作者】周海云;高改良;陈东青;吴辰余【作者单位】军械工程学院应用数学与力学研究所,河北,石家庄,050003;军械工程学院应用数学与力学研究所,河北,石家庄,050003;军械工程学院应用数学与力学研究所,河北,石家庄,050003;邯郸师专数学系,河北,邯郸,056004【正文语种】中文【中图分类】O177.91【相关文献】1.关于Banach空间中渐近非扩展映象不动点的带误差的Ishikawa迭代逼近问题[J], 王绍荣2.Banach空间中的渐近拟非扩张型映象不动点的具混合误差的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒3.Banach空间中渐近拟非扩展型映象不动点的迭代逼近 [J], 王绍荣;王彭德4.Banach空间中渐近拟非扩张型映象不动点的具误差的Ishikawa迭代逼近 [J], 王绍荣5.Banach空间中具有数列的渐近拟非扩张型映象的不动点及其具有误差的Ishikawa迭代逼近 [J], 孟京华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近

Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近何晓林【期刊名称】《泸州医学院学报》【年(卷),期】1999(022)006【摘要】目的：研究Ｂａｎａｃｈ空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近。

方法：运用不等式（２．５）分析带有误差项的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列在一定条件下的收敛性。

结果：得到了关于强伴伪压缩多值映象的Ｉｓｈｉｋａｗａ序列收敛于其相关点的一个定理，这一定理抗议了Ｊ．Ｃ．Ｄｕｎｎ等人的结果。

结论：设Ｘ是一致光滑的实Ｂａｎａｃｈ空间，映象Ｔ：Ｘ→２＾ｘ关于ｘ是强半伪压缩的，且Ｒ（Ｔ）＝∪ｘ∈ｘＴｘ有界，又设｛ａｎ｝，｛βｎδ＝「０，１」满足条件αｎ，βｎ→０，（ｎ→∞），∑ｎ＝１＾∞αｎ＝∞；序列｛ｕｎ｝，｛ｖｎ｝，＝Ｘ满足条件∑ｎ＝１＾∞｜｜ｕｎ｜｜〈∞，｜｜ｖａ｜｜→０（ｎ→∞），则发中下定义的Ｉｓｈｉｋａｗａ型迭代序列｛ｘａ｝。

ｘ０∈Ｘｙｎ（１－βα）ｘａ＋βｎξｎ＋ｖｎ，ξｎ∈Ｔｘｎ，ｎ≥０ｘａ＋１＝（１－ａｎ）ｘａ＋ａｎηａ【总页数】4页(P471-474)【作者】何晓林【作者单位】泸州医学院数学教研室【正文语种】中文【中图分类】O177.91【相关文献】1.迭代逼近Banach空间中有限个强伪压缩映象的公共不动点 [J], 张云艳2.迭代逼近Banach空间中强伪压缩映象的不动点 [J], 张云艳3.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒4.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩型映象不动点的迭代逼近 [J], 谷峰;韩旸;刘彩平5.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 吴先兵因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。