椭圆中的最值(钱代应)
高中数学椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆192522=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的最大值时，P 点的坐标是 。
P （0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程12222=+by a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。
分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15922=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。
例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
||||1PF PA +的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
分析：||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当P 是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。
||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当P 是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。
高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。
一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。
椭圆最值问题的几个性质及应用
一
Ｘ— ａ ｘ ＋ ｎ
在椭 圆内部 ， 椭 圆离 心率 的取值 范 围是 （ 则
） ．
】 上 ＋
‘ ’
．
ｚ ３ 一ａ 。 Ｊ ２
（ ｂ）‘ ｎ 一 Ｚｙ
Ｘ— ａ ｘ＋ 口
（ ）ｏ１ Ａ （，）
（）０寺 ｌ Ｂ ｆ，
＼ Ｊ
证 明 设 椭 圆方程 为 ｚ ｘ Ｔ
ｙＺ
一
１ ｎ＞ ６＞ （
Ｏ ， （ 口 Ｏ ， （ ，）不 妨 设 点 Ｐ 坐 标 为 （ ） Ａ１一 ， ）Ａ２口 ０ ， ，
） Ｙ＞ ｏ 则 由ｘ ， ， ２
ｙＺ
一
Ｔ
１ 得 ，
一 ａ 一 ２
．
易 知
一
ｔｎ ａ ￣Ａ Ａ ＝ Ｐｚ
一
一 ≥ 圈ｂ ２ ２
１，
一
Ｐ ： Ｆ 取最 小值 一 。 故 Ｐ ＋Ｐ ， Ｍ Ｆ 的最 小值 为
２ — Ｍ Ｆ２ ａ ．
Ｉ — 一 Ｊ
一 一
性 质 ４ 设 Ｆ ， ２ 长轴 长为 ２ 的椭 圆 的两 Ｆ 是 ａ 个 焦点 ， Ｐ为 椭 圆上 任一 点 ， 为 椭 圆外 定 点 （ Ｍ 与 椭 圆共 面 ） 则 Ｐ ＋Ｐ 的最 大值 为 ２ ＋ ＭＦ ， ， Ｍ Ｆ 口 ： 最 小值 为 ＭＦ。 ．
ｂ＞ Ｏ ）的 长 轴 两 顶 点 ， 椭 圆上 存 在 点 Ｐ 使 若
由
． ； ， Ｆ 上Ｍ 。所以点Ｍ ＡＡ 一 １ ０ ， 圆 Ｃ的离 心率 的取值范 围 ＝ｏ知Ｍ Ｆ ， ＰＢ ２ 。则椭
为 ．
解 设 Ｍ 为 椭 圆 Ｃ 的 上 顶 点 ， 由性 质 ２ ， 得
椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆上一点到它的二焦点的距离之积为，则取得的最大值时，P点的坐标是。
P（0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程（）p为椭圆上一点，是椭圆的二焦点，求的取值范围。
分析：，当时，=，当时，即2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线xx或反向xx与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知，、是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值是，此时P点坐标为。
的最小值是，此时P点坐标为。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的xx或反向xx与椭圆的交点。
例4、已知，是椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则的最小值是，此时P点坐标为。
的最大值是，此时P点坐标为。
分析：，当P是的xx与椭圆的交点时取等号。
，当P是的反向xx与椭圆的交点时取等号。
4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。
例5、已知定点，点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，求的最小值，并求此时M点的坐标。
例6、已知点椭圆及点，为椭圆上一个动点，则的最小值是。
5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。
例7、过椭圆（）的中心的直线交椭圆于两点，右焦点，则的最大面积是。
例8、已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过原点的一条弦，求面积的最大值。
6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。
例9、P为椭圆（）一点，左、右焦点为，则的最大面积是。
7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
椭圆中的常见最值问题精品资料
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆192522=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的最大值时，P 点的坐标是 。
P （0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程12222=+by a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。
分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15922=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。
例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
||||1PF PA +的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
分析：||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当P 是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。
||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当P 是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题邢志平本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。
1. 几何化方向画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。
例1. 已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使|AP|+2|BP|最小，则P点坐标为___________。
解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。
因为，所以。
由椭圆第二定义，知，即，所以，这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。
过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。
所以P点坐标为。
例2. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R，求|PQ|+|PR|的最大值。
解如图1，连结PF1、PF2及F1R、F2Q，所以得到△PRF1及△PQF2，根据题意可知，圆心恰好为椭圆的两个焦点。
在三角形中|PR|<|PF1|+|F1R|，|RQ|<|PF2|+|F2Q|，所以，即。
当P、F1、R与P、F2、Q都共线时，，所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。
在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。
2. 代数化方向先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。
例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。
解在椭圆上取一点P（x，y），。
当P点在短轴顶点时，|y|最大为b，所以。
又，所以。
先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。
例4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。
分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。
解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为，即。
设M（x，y）是椭圆上任意一点，且，于是，有由于，于是转化为在闭区间，求二次函数的最值问题，从“轴定区间动”的规律知若时，则，所以，此方程的解不满足。
椭圆最值问题总结
专题：椭圆中最值问题有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。
圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。
要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。
方法：利用三角函数的有界性求范围例2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。
本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：ααβαβαcos sin 2cos sin sin sin 90sin 221210+=++===aPF PF PF PF c 故22)45sin(210≥+=αe ，故椭圆离心率的最小值为22。
点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。
求点点或者点线的最值问题方法：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）例3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。
解：（1）略 （2）直线AP 的方程是x －3y +6=0。
设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是26+m 。
椭圆的最值1
椭圆的最值一、椭圆中线段的最值（1）椭圆中最长的直径为a A A 221=，最短的直径为b B B 221=；（2）椭圆中最长的焦点弦为a A A 221=，最短的焦点弦为通径为：ab 2；（3）椭圆中最大的焦点半径为a+c, 最小的焦半径为a-c ;或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为a+c, 最小的为a-c ;二、椭圆是常见角的最值与面积最值1、设点P 为椭圆上任一点，则焦点三角形的顶角21PF F ∠的最大值为21BF F ∠且21PF F S ∆的最大值为bc ；21PA A ∠的最大值为21BA A ∠；2、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形；3、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形；4、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
三、距离问题1、平面内任一点到两定点的距离之和（差）的最值问题1、 已知)1,1(A ，1F 是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则||||1PF PA +的最小值是_______；此时点P 坐标为__________。
||||1PF PA +的最大值是__________， 此时P 点坐标为____________。
||||21PF PF ⋅的最大值为________；2221||||PF PF +的最小值是_________。
小结：①匀值不等式ab b a b a ≥+≥+222)2(2；②三角形三边关系。
2、已知椭圆13422=+y x 上一动点P ，与圆1)1(22=+-y x 上一动点Q ，及圆1)1(22=++y x 上一动点R ，求||||PR PQ +的最大值。
3、如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆131222=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？2、||1||PF ePA +的最值若A 为椭圆内一定点（异于焦点），P 是C 上的一个动点，F 是C 的一个焦点，e 是C 的离心率，求||1||PF ePA +的最小值 例1：已知椭圆11625:22=+y x C 内有一点)1,2(A ，F 是椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上的动点，求||35||PF PA +的最小值。
椭圆中的最值、定值(一)
椭圆中的最值和定值问题一 椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过动点问题一般不会出现，椭圆中的定值问题包括以下几个方面： 1、与椭圆有关的直线过定点(1)00)(y x x k y +-=表示横过定点),(00y x 的直线；(2)0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 的交点；2、与椭圆有关的圆过定点问题0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ表示横过直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆的方程； 3、与椭圆有关的参数的定值问题 二 椭圆中的最值问题 1、参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如),(,,,,y x c b a k 等值的变化，此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解； 2、由于直线或椭圆的动点引起的长度或面积的变化。
此类问题主要是建立参数)),((y x k 或如的函数，运用函数或基本不等式求值；探究一 与椭圆有关的定值问题 在椭圆中出现的定值问题，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点问题。
例1 椭圆1422=+y x 的左顶点为A ，过A 做两条相互垂直的弦AN AM ,交椭圆于N M ,两点(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点；若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请给出理由。
例2 椭圆的两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，且椭圆过)23,1( (1)求椭圆的标准方程；(2)过)0,56(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为左顶点，试判断MAN ∠是否为定值；探究二 与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题一般建立两类函数：一是关于k 的函数，二是关于点),(y x 的函数；例3 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆于y 轴交于B A ,两点，其右准线与x 轴交于点T ，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆弧AC 上一点 (1)求证：T C A ,,三点共线；(2)如果FC BF 3=，四边形APCB 的最大面积是326+，求此时椭圆的方程和点P 的坐标；探究三 椭圆和圆的综合问题 椭圆和圆的综合问题中，题目中往往存在多种曲线混合，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值问题。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题一．椭圆中线段的最值（1）椭圆中最长的直径为122A A a =，最短的直径为122B B b =；（2）椭圆中最长的焦点弦为122A A a =，最短的焦点弦为通径（2b a）；（3）椭圆中最大的焦半径为a c +，最小的焦半径为a c -；或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -； 二．椭圆中常见角的最值设点P 为椭圆上任一点，则焦点三角形的顶角12F PF ∠的最大值为12F BF ∠，且212cos 12F PF e ∠≥-， 12F PF S ∆的最大值为bc ； 12A PA ∠的最大值为12A BA ∠；例1．P 为椭圆22194x y +=上的一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠最小值为三．平面内任一点到两定点的距离之和（差）的最值问题 设P 为平面内一动点，A 、B 为两定点，则||||||PA PB AB +≥ 当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．B A P P图2例2．（1）已知点(3, 3)A -，点(5, 1)B ，点P 在x 轴上移动，使得||||PM PB +最小，则点P 的坐标为 ．（2）已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，(3, 2)M ，点P 在椭圆上，则||||PM PF +的最小值是 ；||||PM PF -的最大值是 ．例3．已知椭圆22143x y +=内有一点(1, 1)P -，F 为右焦点，在椭圆上有一动点M ，则||||MP MF +的最大值为 ，最小值为 ．四．平面内一动点P 到一定点M 和定直线l 的距离之和的最小值问题设P 为平面内一动点，M 为定直线l 外的一定点，d 为P 到l 的距离，0d 为M 到l 的距离，则 ||PM d +的最小值为0d ．例4．已知定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22: 12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上的动点，则13||5||PA PF + 的最小值为 ．五．直线上一动点与两定点的视角的最大值问题 A 、B 是直线l 同侧两定点，且直线AB l ⊥， 点P 为直线l 上一动点，则APB ∠有最大值．使APB ∠最大的点P 有何几何意义呢？由于点A 、B 是定点，l 为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A 、B 、P 的圆，（如图5、6）当点P 在直线l 上运动时，过三点A 、B 、P 的圆O 与直线l 的关系是相交或相切，当圆O 与直线l 相交时，l 上总存在点Q 在圆内且使AQB APB ∠>∠；当且仅当圆O 与直线l 相切时，直线上除切点外，其余点均在圆O 外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系，此时APB ∠最大，切点即为所求．lP 'PQ图5MBAOlP 'P图 6MBAOlAB M图 4P例5．12F F 、是椭圆22142x y +=的左右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈，求12F PF ∠的最大值．（30）解法2：因为当过12F F 、、P 三点的圆与准线l 相切时，12F PF ∠最大，由切割线定理得 212||||||6KP KF KF =⋅=，故||KP =六．当直线l 与椭圆相离时，椭圆上总存在到直线l 的距离有最大（小）值的点 方法1：设(cos ,sin )P a b θθ，利用点到直线的距离公式——求三角函数的最值； 方法2：设与l 平行的直线系l '——与椭圆方程联立消元——令0∆=——得出与l 平行的椭圆的两条切线1l 、2l ——求出l 与1l 、l 与2l 的距离即为所求．例6．设(2, 0)F 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右焦点，以F 为圆心，5为半径的圆与椭圆相交于A 、B 两点，且||AB =（1）求椭圆的方程； （2）设直线2y kx =+交椭圆于M 、N 两点，O 为原点，求△MON 面积的最大值．练习1．（ ）已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是 （A ）112 （B ）4 （C ）92（D ）5练习2．已知抛物线28y x =和一点(3,2)A ，在抛物线上求一点M ，使得此点到点A 与到焦点F 的距离之和最小．。
解答椭圆中最值问题策略
解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分。
与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数,利用函数性质例1设P(x，y)是椭圆错误!＋错误!＝1上的一点，F1为椭圆的左焦点，求|PF1|的最大值和最小值。
分析：由于点F的坐标为(－6,0），因此只须设出点P的坐标(x，y)，结合椭圆方程即可建立|PF1｜关于横坐标x的目标函数,再结合函数的即可求解。
解：椭圆的左焦点F1坐标为（－6，0），根据两点的距离公式,得|PF1｜＝（x＋62＋y2）＝错误!＝错误!＝错误!|x＋错误!｜,由已知，得x∈［－8，8]，函数错误!|x＋错误!｜在[－8，8］上为增函数,故｜PF1｜max＝错误!｜8＋错误!｜＝14，｜PF1|min＝错误!|－8＋错误!|＝2.点拨:函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视。
同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化,结合平面几何性质例2已知A（4，0)、B（2，2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求｜MA｜＋｜MB｜的最大与最小值.分析：由于A（4，0）是椭圆的焦点,因此可以利用椭圆的定义对｜MA｜＋｜MB|转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.解析:如图所示，由题意，知点A(4，0）恰为椭圆右焦点，则A关于O的对称点A1(－4，0）（左焦点)，由椭圆的第一定义，得｜MA|＋|MA1｜＝2a，｜MA｜＝2a－|MA1|，∴｜MA｜＋|MB｜＝（2a－｜MA1｜）＋|MB｜=2a＋（｜MB－|MA1｜），在△A1BM中，|｜MB｜－|MA1｜｜≤|A1B｜＝210，－2错误!≤｜MB｜－｜MA1｜≤2错误!,又2a＝10.故|MA|＋|MB｜的最大值是10＋210，最小值为10－210.点评:(1）涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2）注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值。
椭圆中的常见最值问题
For personal use only in study and research; not for commercial use椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆192522=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的最大值时，P 点的坐标是 。
P （0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程12222=+by a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。
分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15922=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。
例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
||||1PF PA +的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
与椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。
对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。
而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。
能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。
下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。
1．定义法例1。
P(-2,3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 122a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8结论1：设椭圆12222=+by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。
例2：P(-2,6),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。
高考数学复习点拨：例析椭圆中的三种最值问题
例析椭圆中的三种最值问题与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性，涉及到数学知识的多种知识点,诸如：几何、三角、函数等，同时与椭圆的定义、方程联系紧密，思维能力要求比较高.下面对与椭圆的最值有关的问题作简单的探究： 一、利用定义转化为几何问题处理最值：例1、已知1F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上的动点，()1,1A 为定点，则1PA PF +的最小值是（ ）A、9 B、6 C、3+ D 、6解析：连接2F A 并延长交椭圆P '是椭圆上一动点，连接12,,PF PF PA ∵1212PF PA AF PF PF ++≥+，而121212PF PF P F P F P F P A AF ''''+=+=++， ∴1212PF PA AF P FP A AF ''++≥++，∴111226PF PA P FP A P F P F AF ''''+≥+=+-=（当P 与P '重合时取“=”号） 故答案：选B 。
二、利用椭圆的标准方程三角换元求最值：例2、已知点P 是椭圆221169x y +=上任意一点，则点P 到直线70x y +-=的距离最大值为解析：由椭圆的方程221169x y +=，则可设4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 设点()4cos ,3sin P θθ，则点P到直线的距离为d ==当()sin 1θϕ+=-，距离d的最大值为max d == 点评：本题利用里椭圆的标准方程的结构形式，把椭圆的最值问题，转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的性质求解。
三、利用函数的最值探究方法：例3、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率2e =，已知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭到这个，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 坐标。
解析：设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，由2e =，即2c a =，又222a b c =+ ∴2a b =，故椭圆的方程是()2222104x y b b b+=>。
椭圆中的常见最值
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆192522=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的最大值时，P 点的坐标是 。
P （0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程12222=+by a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。
分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF =即≤2b ||||21PF PF 2a ≤2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15922=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。
例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
||||1PF PA +的最大值是 ，此时P 点坐标为 。
分析：||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当P 是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。
||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当P 是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。
椭圆中的最值问题
4a b 4a b 2ab. 2 2 b 2 b 2 a k 2 a k k k b 当且仅当k 时等号成立. a
2 2
2 2
x 2 练习： 设点 F1 是椭圆 ＋y ＝1 的左焦点， 2 弦 AB 过椭圆的右焦点， 求△F1AB 的面积 的最大值．
2
x2 2 设点 F1 是椭圆 ＋y ＝1 的左焦点，弦 AB 过椭圆的右焦点，求△F1AB 2 的面积的最大值．
（Ⅱ）设 A( x1，y1 ) ， B( x2，y2 ) ． （1）当 AB ⊥ x 轴时， AB 3 ． （2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m ．
3 2 3 2 m (k 1) ． 由已知 ，得 4 2 1 k 2
把 y kx m 代入椭圆方程，整理得 (3k 1) x 6kmx 3m 3 0 ，
1 3 3 AB max ． 2 2 2
到右焦点的距离为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的
3 距离为 ，求△AOB 面积的最大值. 2
c 6 ， 解： （Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，依题意 a 3 a 3，
x2 b 1 ， 所求椭圆方程为 y 2 1． 3
2
2 2 m2＋1 ＝ ＝ 1＋m2＋1
2 2
1 ∵ 1＋m ＋ ≥2， 1＋m2
2
当且仅当 m＝0 时等号成立， 2 2 ∴|y1－y2|≤ 2 ＝ 2， 即△F1AB 面积的最大值为 2.
二、最值问题
x2 y2 6 已知椭圆 C: 2 2 =1(a＞b＞0)的离心率为 ,短轴一个端点 3 a b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011-2012学年度公开课教案
椭
圆
中
的
最
值
问
题
授课人：钱代应
2011年11月
椭圆中的最值问题
鹏程中学高三年级 钱代应
【教学目标】
掌握椭圆的定义，标准方程和简单性质 会求解有关椭圆中的最值问题
体会数形结合和转化思想在解圆锥曲线问题中的作用 【教学重点】
求解椭圆中各种情况下的最值 【教学难点】
引导学生独立解题 【教学关键】
寻找解题的突破口
【教学方法】
启发引导，讲练结合 【教学用具】
多媒体，三角尺 【教学过程】
一、复习提问，导入主题
〔1〕椭圆的定义：第一定义，第二定义 〔2〕椭圆的方程：直角坐标方程，参数方程 〔3〕椭圆的几何性质
本章我们学习的内容是圆锥曲线，这部分知识是每年高考必考的，其中最值问题是圆锥曲线诸类问题中较难的一类问题，大多涉及距离，向量，面积等方面，在承接上节课我们已经复习过的椭圆相关内容的基础之上，本节课我们将从三个方面粗略地向同学们介绍一下椭圆中最值问题的求解方法和思想。
二、典例分析
（一）利用距离求最值
例1：1F 是椭圆15
92
2=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，)3,1(A 为定点，求PA PF +1的最小值。
分析：本题考查点点距的最值问题，采用数形结合，可判断出点A 在椭圆外，直接连接点A 与椭圆焦点，线段A F 1与椭圆的交点既是要求的P 点，其长度即为要求的值。
变式训练1：将上题中的A （1,3），改为A （1,1），求PA PF +1的最小值
分析：本题是考查点点距地最值，只是将点A 的位置变为椭圆内部。
思路一：可以利用三角形两边之和大于第三边，思路二：利用三角形两边之差小于第三边，结合三点共线取等号求解，这两个思路都采用椭圆的第一定义。
变式训练2：将上题中的A （1,3）改为A （1,1）后，求12
3
PF PA +的最小值 分析：采用数形结合，利用椭圆的第二定义，将
PF 2
3
转化为P 点到椭圆准线的距离，再根据三点共线求解。
从难度上看这三道题是逐层深入的。
（二）利用不等式求最值
例2：已知21,F F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，＜02160=PF F ，求椭圆离
心率的最小值
分析：本题是对决定椭圆形状因素的考查，处理方法发生改变，采用均值不等式求
解。
变式训练：将上题中＜02160=PF F 改为1PF ⊥2PF
，求椭圆离心率的取值范围。
分析，解题思路同上。
（三）利用函数求最值
例3：若点O 和点F 分别为椭圆13
42
2=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，求∙的最大值。
分析：方法一：设Ｐ点的平面坐标，利用椭圆方程，采取代换消元的方法建立二次函数
模型，用函数性质就可求解
方法二：对Ｐ点采用三角换元，利用二次函数和三角函数的有界性解题。
变式训练：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在Ｘ轴上，离心率2
3
=
e ，已知点)
23,0(P 到这个椭圆上点的最远距离为7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点Ｐ的距离为7的点的坐标。
分析：可采用与上例相同的方法求解。
例4：已知Ｆ是椭圆122
22=+b
y a x （ａ＞ｂ＞０）的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，
且22b a c -=
，求△PQF 面积的最大值。
分析：方法一：采用数形结合，将三角形分割成两个小三角形，同底异高，观察图形
即可求解出正确答案。
方法二：代数方法，分类讨论，列方程求解。
【课堂效果反馈】
1.若点),(y x P 满足14
22
=+y x )0(≥y ，求33--x y 的最大值和最小值。
2.已知椭圆12
22
=+y x ，求椭圆上的点到直线02=--y x 的距离的最小值。
3.在直线L ：04=-+y x 上任取一点M ，过M 且以椭圆
112
162
2=+y x 的焦点为焦点作椭圆，问M 在何处，所作的椭圆长轴最短，并求出此椭圆方程。
4.设椭圆Ｃ：12222=+b
y a x （ａ＞ｂ＞０）的离心率23
=e ，左顶点Ｍ到直线1
=+b y a x 的距离5
5
4=
d ，点Ｏ为坐标原点。
（1）求椭圆的方程
（２） 设直线Ｌ与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证
明：点Ｏ到直线AB 的距离为定值。
（３） 在（2）的条件下，试求△AOB 面积的最小值。
【课堂小结】
本节课我们主要研究学习了椭圆中的几个最值问题，从这些题目的解题工程可以看出求解这类问题的基本思路是：一，在准确把握题意的基础上，建立函数，不等式，利用二次函数，三函数的有界性，均值不等式解决。
二，利用数形结合，考虑相交相切的几何意义解决。
透过这些问题同时亦可以看出数形结合，转化思想在解题中的作用，这些问题的解决归根究底还是要利用到基本概念和基本性质和公式，从中也可以看出学习中抓基础的重要性。
【布置作业】
效果评价，课时作业
【板书设计】
一课前复习例1 例2 变式训练
多媒体展示变式训练1 变式训练例4
二例题讲解变式训练2 例3 变式训练
【教后反思】
本节课的教学思路是：分层指导，题目难度逐渐递增，在教学中注意了引导学生探究发现解题的思路，因此占用了很多的时间，课堂教学的过程显的有一些紧凑，这是本节课美中不足的地方，要是能将练习题以学案设计的形式提前发给学生，由学生课前就进行一定的自主探究就更好了。