说题比赛--导数 课题
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背景介绍
原题展示
已知f (x) 1 x2 ex.
1讨论f (x)的单调性； (2)当x 0时，f x ax 1,求实数a的取值范围.
本题选自2017年全国新课标卷2(文科) 解答题 第21题. 分值：12分. 数据分析：
题号 21
人数 56625
满分人 数
120
零分人 数
29815
平均分 方差 标准差 难度 1.9647 6.4294 2.5356 0.1637
g( x) 0有解（ x>0）
三、说讲解
• 解后反思： • 此题是一个套路题。实质上先探究结论成立
的充分条件，再利用逆否命题证明其必要性。这 类问题一般都不能分参，因为分离了参变量，也 无法求到新函数的最值。 • 全国卷已经在此处题背景：人教B版选修1-1，95页练习B第二、三题
21.单调性，单变量 不等式恒成立
表 2 2016-2017年全国课标卷Ⅱ函数与导数考点分布统计表( 理科)
选择题
填空题
解答题
2016年
2017年 12 函数性质
16 函数性质、几 21 单调性、不等
何意义
式证明、构造函
数解不等式
16 分段函数
21 单调性、构造 函数解不等式
高考重点考查的部分，分值22分以上
综上，a的取值范围是1， .
因式分解可得 必要性的证明
三、说解法（ 解后反思 ）
• 逻辑关系整理：
x 0, g x 0恒成立 x 0, g x g 0 0
g x g0 0当a 1时
当a 1时，x 0, g(x) 0不恒成立
g x 0有解 g x g 0 0有解
(五) 说拓展
(一) 说立意
(二) 说考点
(四) 说指导
(三) 说讲解
原题
已知f (x) 1 x2 ex .
1 讨论f (x)的单调性； (2)当x 0时，f x ax 1, 求实数a的取值范围.
分析与解答 （1）问先求出导函数的零点，进而对参数a进行分类讨论，得 到函数的单调性。注意定义域。
下面证明必要性，即当a<1时，不等式不恒成立， 举个反例即可。即…f …(x…) …ax……1有…解…即…可…。……
a大于等于1是不等 式成立的充分条件
当0 a 1时，设g(x) ex x 1, gx ex 1 0(x 0), 所以g(x)在0， 单调递增，而g(0) 0,故ex 1 x
a与1比较大小进行分类讨论
三说讲解法（1）（标准答案）
f (x) (1 x)(1 x) e x
当a 1时，设函数h(x) (1 x) ex , h(x) x ex 0(x 0),因此h(x)在0， 单调递减， 而h0 1,故h(x) 1,所以f (x) (x 1)h(x) x 1 ax 1.
知识要求
了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究
函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函 数一般不超过3次）
能力要求
了解函数在某点取得极值必要条件和充分条件；
会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数 一般不超过3次）；会求闭区间上函数的最大值和最 小值（其中多项式函数一般不超过3次）
表 1 2014-2017年全国课标卷2函数与导数考点分布统计表( 文科)
5 2
1
,
则x0
0,1,
f
x0
(1
x0 )(1
x0 )2
1
ax0
1.
综上，a的取值范围是1， .
三说讲解（几点思考）
1.为什么要分类讨论，讨论的依据 是什么？
(1-x)(1+x)ex ax 1.当a 1时， 有公因式。只要（1-x）ex 1
三、说讲解
思考2：为什么要放缩？ 要寻找(1 x)(1 x) ex ax 1 0的解
想到ex 1 x
能不能不用放缩？
三、说讲解
（2）问解法二
构造函数gx ax 1 (1 x2 ) ex ,其导函数gx a ex x2 2x 1
g( x) e x x 2 4x 1 0, g( x)在0， 递增
g(x)递增即可
考虑到g (0) 0, g(0) a 1, 得到讨论分界点a 1
2014年
选择题
3 极值定义 11 单调性
填空题 15 函数性质
解答题
21 几何意义、函数 的零点
2015年
11 函数图像 12 函数性质
13 多项式函数 16 几何意义
21 单调性、构造函 数解不等式
2016年
10 定义域、值域 12 函数性质
2017年 8 复合函数单调性
14 函数性质
20 几何意义、单变 量不等式恒成立
说题流程
(五) 说拓展
(一) 说立意
(二) 说考点
(四) 说指导
(三) 说讲解
一、说立意
命题 立意
本题主要考查（1）函数单调性与函数导 数的关系；（2）分类讨论、构造新函数等重 要的数学思想方法。
(五) 说拓展
(一) 说立意
(二) 说考点
(四) 说指导
(三) 说讲解
二 、说考点
考试大纲要求（文科）
题在书外，根在书中
f (x)的导函数f x ex x2 2x 1 ex x 1 2 x 1 2
所以函数f (x)在 - ，-1- 2 上单调递减，在 -1- 2，-1 2 上单调递增， 在 -1 2， 上单调递减
（2）本题属于单变量不等式的恒成立问题。
当a 1时，不等式1- x1 xex ax 1两边有公因式。据此将
当a 1时，gx g0 0; 所以g ( x)在0， 递增，
进而g ( x) g (0) 0.符合题意
充分条件
当a 1时，由于gx 0, 所以g(x)在0， 递增
考虑到g(0) a 1 0, g a 1 0 所以gx在0，a 1必存在唯一零点，设为x0 当x 0, x0 时，g x 0,所以g x g 0 0,不符合题意
当0 x 1时，f (x) (1 x)(1 x)2, (1 x)(1 x)2 ax 1 x 1 a x x2 ,
取x0
5
4a 2
1
,
则x0
0,1,
(1
x0
)1
x0
2
ax0
1
0,
故f
(
x0
)
ax0
1.
为放缩做准备， 不能直接用....
放缩后，不等式 f (x) ax 1就能解了
当a 0时，取x0
原题展示
已知f (x) 1 x2 ex.
1讨论f (x)的单调性； (2)当x 0时，f x ax 1,求实数a的取值范围.
本题选自2017年全国新课标卷2(文科) 解答题 第21题. 分值：12分. 数据分析：
题号 21
人数 56625
满分人 数
120
零分人 数
29815
平均分 方差 标准差 难度 1.9647 6.4294 2.5356 0.1637
g( x) 0有解（ x>0）
三、说讲解
• 解后反思： • 此题是一个套路题。实质上先探究结论成立
的充分条件，再利用逆否命题证明其必要性。这 类问题一般都不能分参，因为分离了参变量，也 无法求到新函数的最值。 • 全国卷已经在此处题背景：人教B版选修1-1，95页练习B第二、三题
21.单调性，单变量 不等式恒成立
表 2 2016-2017年全国课标卷Ⅱ函数与导数考点分布统计表( 理科)
选择题
填空题
解答题
2016年
2017年 12 函数性质
16 函数性质、几 21 单调性、不等
何意义
式证明、构造函
数解不等式
16 分段函数
21 单调性、构造 函数解不等式
高考重点考查的部分，分值22分以上
综上，a的取值范围是1， .
因式分解可得 必要性的证明
三、说解法（ 解后反思 ）
• 逻辑关系整理：
x 0, g x 0恒成立 x 0, g x g 0 0
g x g0 0当a 1时
当a 1时，x 0, g(x) 0不恒成立
g x 0有解 g x g 0 0有解
(五) 说拓展
(一) 说立意
(二) 说考点
(四) 说指导
(三) 说讲解
原题
已知f (x) 1 x2 ex .
1 讨论f (x)的单调性； (2)当x 0时，f x ax 1, 求实数a的取值范围.
分析与解答 （1）问先求出导函数的零点，进而对参数a进行分类讨论，得 到函数的单调性。注意定义域。
下面证明必要性，即当a<1时，不等式不恒成立， 举个反例即可。即…f …(x…) …ax……1有…解…即…可…。……
a大于等于1是不等 式成立的充分条件
当0 a 1时，设g(x) ex x 1, gx ex 1 0(x 0), 所以g(x)在0， 单调递增，而g(0) 0,故ex 1 x
a与1比较大小进行分类讨论
三说讲解法（1）（标准答案）
f (x) (1 x)(1 x) e x
当a 1时，设函数h(x) (1 x) ex , h(x) x ex 0(x 0),因此h(x)在0， 单调递减， 而h0 1,故h(x) 1,所以f (x) (x 1)h(x) x 1 ax 1.
知识要求
了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究
函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函 数一般不超过3次）
能力要求
了解函数在某点取得极值必要条件和充分条件；
会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数 一般不超过3次）；会求闭区间上函数的最大值和最 小值（其中多项式函数一般不超过3次）
表 1 2014-2017年全国课标卷2函数与导数考点分布统计表( 文科)
5 2
1
,
则x0
0,1,
f
x0
(1
x0 )(1
x0 )2
1
ax0
1.
综上，a的取值范围是1， .
三说讲解（几点思考）
1.为什么要分类讨论，讨论的依据 是什么？
(1-x)(1+x)ex ax 1.当a 1时， 有公因式。只要（1-x）ex 1
三、说讲解
思考2：为什么要放缩？ 要寻找(1 x)(1 x) ex ax 1 0的解
想到ex 1 x
能不能不用放缩？
三、说讲解
（2）问解法二
构造函数gx ax 1 (1 x2 ) ex ,其导函数gx a ex x2 2x 1
g( x) e x x 2 4x 1 0, g( x)在0， 递增
g(x)递增即可
考虑到g (0) 0, g(0) a 1, 得到讨论分界点a 1
2014年
选择题
3 极值定义 11 单调性
填空题 15 函数性质
解答题
21 几何意义、函数 的零点
2015年
11 函数图像 12 函数性质
13 多项式函数 16 几何意义
21 单调性、构造函 数解不等式
2016年
10 定义域、值域 12 函数性质
2017年 8 复合函数单调性
14 函数性质
20 几何意义、单变 量不等式恒成立
说题流程
(五) 说拓展
(一) 说立意
(二) 说考点
(四) 说指导
(三) 说讲解
一、说立意
命题 立意
本题主要考查（1）函数单调性与函数导 数的关系；（2）分类讨论、构造新函数等重 要的数学思想方法。
(五) 说拓展
(一) 说立意
(二) 说考点
(四) 说指导
(三) 说讲解
二 、说考点
考试大纲要求（文科）
题在书外，根在书中
f (x)的导函数f x ex x2 2x 1 ex x 1 2 x 1 2
所以函数f (x)在 - ，-1- 2 上单调递减，在 -1- 2，-1 2 上单调递增， 在 -1 2， 上单调递减
（2）本题属于单变量不等式的恒成立问题。
当a 1时，不等式1- x1 xex ax 1两边有公因式。据此将
当a 1时，gx g0 0; 所以g ( x)在0， 递增，
进而g ( x) g (0) 0.符合题意
充分条件
当a 1时，由于gx 0, 所以g(x)在0， 递增
考虑到g(0) a 1 0, g a 1 0 所以gx在0，a 1必存在唯一零点，设为x0 当x 0, x0 时，g x 0,所以g x g 0 0,不符合题意
当0 x 1时，f (x) (1 x)(1 x)2, (1 x)(1 x)2 ax 1 x 1 a x x2 ,
取x0
5
4a 2
1
,
则x0
0,1,
(1
x0
)1
x0
2
ax0
1
0,
故f
(
x0
)
ax0
1.
为放缩做准备， 不能直接用....
放缩后，不等式 f (x) ax 1就能解了
当a 0时，取x0