线性代数试卷A 65份

二．填空题：（每小题3分，本大题共15分）
1．在由n 个不同元素组成的所有全排列的种数中，逆序数为奇数的排列有
_________种。

2．设⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=43
21
A ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=8765B ，则A B = 。

3．若T Q Q E =
，且0Q ⎡⎢=--⎢⎢-⎢⎣，则1Q -= 。

4．设有两个向量组1:,,t A αα 和1:,,s B ββ
，则A 与B 等价的定义是：
_______________________________________________________________。

5．二次型21323221f =2x x x x x x -++的标准形为____________________。

三．判断题：（判断下列各题的正误，正确的在括号内
画“√”，错误的在括号内画“×”。

每小题2分，本大题共20分）
（ ）1．非奇异矩阵都可逆。

（ ）2．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则称向量组A 与B 可互推。

（ ）3．若O B t n n m =⨯⨯A ，则n B R A R )()(≤+。

（ ）4．若向量组B 能由向量组A 线性表示，则A B R R ≥。

（ ）5．设A P 、都是n 阶方阵，且0≠P
，则)()(A R PA R =。

（ ）6．非齐次线性方程组也有解空间。

（ ）7．给定向量组12m A a ,a ,...,a
：，如果存在实数12m k ,k ,...,k ，
使1122m m k a +k a +...+k a =0
，则称向量组A 是线性相关的。

（ ）8．对矩阵n m A ⨯施行一次初等行变换，相当于A 的左边乘以相应 的n 阶初等矩阵。

C
（ ）9．方阵A 可逆的充分必要条件是A ～B 。

（ ）10．“不可逆矩阵”、“奇异矩阵”、“降秩矩阵”指的是同一概念。

四．解答题：（40分）
１．（10分）计算5阶行列式4
3
2
1
5
3215421543
15432
54321D ＝。

2．（10分）设⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡=10
1
020
101A ， 2n ≥为正整数，求12--n n A A 。

3．（10分）设⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=-+--=--+=-+-)
1()5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x 问λ为何值时，
（1）此方程组有惟一解？（2）此方程组无解？
（3）此方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

4．（10分）设⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡--=01
1
101
110A ，求一个正交阵P ， 使得ΛAP P 1=-为对角阵。

五．证明题（本大题共10分）
设有向量组1α
，2α ，3α
为3R 的一组基。

已知：
11232123
3
12
ξ=α+2α+αξ=α+α+αξ=α+α⎧⎪⎨⎪⎩
11231223
3
12
η=α+α+αη=2α+α+αη=α-α⎧⎪⎨⎪⎩
（1） 证明：1ξ ，2ξ ，3ξ 和1η ，2η
，3η 都是3R 的基。

（2） 求由基1ξ ，2ξ ，3ξ 到基1η ，2η
，3η 的过渡矩阵。

（3） 求由基1ξ ，2ξ ，3ξ 到基1η ，2η
，3η 的坐标变换公式。