高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 1 圆锥曲线学案 苏教

2.1 圆锥曲线
1.了解圆锥曲线的实际背景.
2.理解椭圆、双曲线、抛物线的定义.(重点)
3.能依据圆锥曲线的定义判断所给曲线的形状.(难点
)
[基础·初探]
教材整理圆锥曲线
阅读教材P25～P26练习以上部分，完成下列问题.
1.用平面截圆锥面得到的图形
用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线.
2.圆锥曲线定义
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.
3.三种圆锥曲线
设P为相应曲线上任意一点，常数为2a.
定义(自然语言)数学语言
椭圆平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常
数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.两个定
点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距
PF1＋PF2＝2a＞F1F2
双曲线平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值
等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫
做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦
点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
|PF1－PF2|＝2a＜F1F2
抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在
l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，
定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛
物线的准线.
PF＝d，其中d为点P到l的距离
1.判断正误：
(1)到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )
(3)椭圆上的一点与椭圆的两焦点，一定构成一个三角形.( )
(4)平面内到一定点与一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
【解析】 (1)×.当常数大于两定点间的距离时，动点的轨迹才是椭圆.
(2)×.应该是差的绝对值，否则轨迹是双曲线的一支.
(3)×.当椭圆上的点在F 1F 2的延长线上时，不能构成三角形.
(4)×.定点不能在定直线上才是抛物线.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.动点P (x ，y )，到定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之和为6，则点P 的轨迹为________.
【解析】 ∵AB ＝4，PA ＋PB ＝6＞4，∴点P 的轨迹为椭圆.
【答案】 椭圆
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：________________________________________________________
[小组合作型] 椭圆的定义及应用
(1)在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54
，
则△ABC 的顶点C 的轨迹为________.
【导学号：24830022】
(2)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切，求动圆圆心的轨迹.
【精彩点拨】 根据椭圆的定义判断.
【自主解答】 (1)由正弦定理，得BC ＋AC AB ＝54
，又AB ＝8，∴BC ＋AC ＝10＞AB ， 由椭圆定义可知，点C 的轨迹是以点A 、B 为焦点的椭圆.
【答案】 (1)以点A 、B 为焦点的椭圆
(2)如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r . 由题意得动圆M 内切于圆C 1，
∴MC 1＝13－r .圆M 外切于圆C 2，
∴MC 2＝3＋r .
∴MC 1＋MC 2＝16>C 1C 2＝8，
∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆.
已知平面内动点P 及两个定点F 1，F 2：
(1)当PF 1＋PF 2>F 1F 2时，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆；
(2)当PF 1＋PF 2＝F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2；
(3)当PF 1＋PF 2<F 1F 2时，点P 的轨迹不存在.
[再练一题]
1.Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22
，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持PA ＋PB 的值不变，试判断动点P 的轨迹E 求曲线E 是什么曲线.
【解】 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.
在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝322，∵PA ＋PB ＝CA ＋CB ＝22＋322
＝2 2. 又PA ＋PB >AB ，∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆.
抛物线的定义及应用
(1)(2016·徐州高二检测)已知点M 到F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12
，则点M 的轨迹为________. (2)若A 是定直线l 外的一定点，则过点A 且与l 相切的圆的圆心的轨迹是________.
【精彩点拨】 (1)把条件转化为M 到定点与定直线的距离相等；(2)利用圆心到A 的距离与到切线的距离相等.
【自主解答】 (1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0的距离比它到直线l ：x ＝－12的距离相等.由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线.
(2)圆心与A 点的距离等于圆心到直线l 的距离，所以圆心的轨迹是抛物线.
【答案】 (1)抛物线 (2)抛物线
1.(1)要首先判断定点是否在定直线上；
(2)要准确判断准线的位置.
2.已知平面内定点F 及定直线l ，动点P 满足PF ＝d (d 为点P 到直线l 的距离)：
(1)当定点F 不在定直线l 上时，动点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线；
(2)当定点F 在定直线l 上时，动点P 的轨迹是以定点F 为垂足且与定直线l 垂直的一条直线.
[再练一题]
2.动点P (x ，y )满足|3x －4y ＋1|5
＝x －22＋y －12，则点P 的轨迹为________. 【解析】 |3x －4y ＋1|5
的几何意义是点P (x ，y )到定直线3x －4y ＋1＝0的距离，x －22＋y －12的几何意义是点P (x ，y )到定点(2,1)的距离，由|3x －4y ＋1|5
＝
x－22＋y－12可知动点P(x，y)满足到定直线3x－4y＋1＝0的距离与到定点(2,1)的距离相等，且定点不在定直线上，所以点P的轨迹为抛物线.
【答案】抛物线
[探究共研型]
双曲线的定义及应用
探究1
【提示】平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.
探究2 如果把双曲线定义中的动点设为P，常数设为 2a，你可以用一个数学式来表示双曲线的定义吗？
【提示】|PF1－PF2|＝2a(2a＜F1F2)
探究3 如果把定义中的“绝对值”去掉，变为动点P满足PF1－PF2＝2a(2a＜F1F2)，那么点P的轨迹是什么？
【提示】动点P的轨迹是双曲线的一支(靠近焦点F2的一支).
探究4 如果把双曲线定义中的条件“2a＜F1F2”去掉，动点P的轨迹是什么？
【提示】如果2a＝F1F2，则动点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
如果2a＞F1F2，则动点P的轨迹不存在.
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹.
【精彩点拨】根据动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，分别转化为两圆外切的条件，利用这两个条件寻找圆心M与两定点C1、C2距离之间的关系，并结合圆锥曲线的定义进行判断.
【自主解答】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1－AC1|＝MA，
|MC2－BC2|＝MB，因为MA＝MB，
所以|MC1－AC1|＝|MC2－BC2|，即|MC2－MC1|＝|BC2－AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2，
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小).
1.本题以圆与圆的位置关系为载体融点的轨迹求法于其中，求解时可利用圆与圆的位置关系找出动点的等量关系(如本例中得到|MC1－AC1|＝MA，|MC2－BC2|＝MB)在此基础上对等量关系化简变形，得出相应动点的轨迹.
2.在解与双曲线有关的轨迹问题时，要注意双曲线定义中的条件“距离的差的绝对值”，判断所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.
[再练一题]
3.已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹是________.
【导学号：24830023】【解析】设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，
所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.相减得|MC1－MC2|＝4.
又因为C1(－3,0)，C2(3,0)，并且C1C2＝6>4，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支.
【答案】以C1，C2为焦点的双曲线的右支
[构建·体系]
1.动点P到两定点A(－1,0)，B(1,0)的距离之和为4，则点P的轨迹为________.
【解析】因为AB＝2，PA＋PB＝4，所以点P的轨迹为椭圆.
【答案】椭圆
2.若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹为________.
【解析】动点P到定点F和到定直线x＝－2的距离相等，∴P点的轨迹为抛物线.
【答案】抛物线
3.(2016·淮安高二检测)平面内动点P到定点F1(－4,0)的距离比它到定点F2(4,0)的距
离大6，则动点P的轨迹方程是________.
【解析】由|PF1－PF2|＝6<8＝F1F2知，P点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支.
【答案】以F1，F2为焦点的双曲线的右支
4.已知F1，F2是定点，F1F2＝8，动点M满足MF1＋MF2＝8，则动点M的轨迹是________.
【解析】∵MF1＋MF2＝8＝F1F2，∴点M的轨迹是线段F1F2.
【答案】线段F1F2
5.求与圆A：(x＋5)2＋y2＝49和圆B：(x－5)2＋y2＝1都外切的圆的圆心P的轨迹.
【解析】因圆A与圆B外离，设圆P的半径为r，则PA＝7＋r，PB＝1＋r，∴PA>PB，∴|PA－PB|＝6，而AB＝10.∴P轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.
【答案】以A、B为焦点的双曲线的右支
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(五) 圆锥曲线
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.下列说法
①坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆；
②坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆；
③坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；
④坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离相等的点的轨迹是椭圆.正确的是________(填序号).
【解析】
①×动点到两定点F1、F2的距离的和等于2，小于F1F2，故这样的点不存在
②×动点到两定点F1、F2的距离的和等于F1F2，故动点的轨迹是线段F1F2
③√动点到两定点F1、F2的距离的和大于F1F2，故动点的轨迹是椭圆
④×根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线
【答案】 ③
2.若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是________.
【导学号：24830024】
【解析】 动点P 的条件满足抛物线的定义，所以P 点的轨迹是抛物线.
【答案】 抛物线
3.(2016·枣庄高二检测)过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹为________.
【解析】 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线.
【答案】 以F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线
4.设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9a
(a ＞0)，则点P 的轨迹是________.
【解析】 PF 1＋PF 2＝a ＋9a
≥6.∴轨迹为线段或椭圆. 【答案】 椭圆或线段
5.设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹是________.
【解析】 由题意，动点P 以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支.
【答案】 双曲线的右支
6.若点P 到F (3,0)的距离比它到直线x ＋4＝0的距离小1，则动点P 的轨迹为________.
【解析】 由题意知P 到F (3,0)的距离比它到直线x ＝－4距离小1，则应有P 到(3,0)的距离与它到直线x ＝－3距离相等.故P 的轨迹是以F (3,0)为焦点的抛物线.
【答案】 以F (3,0)为焦点的抛物线
7.动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是________.
【解析】 ∵|PM －PN |＝2＝MN ，∴点P 的轨迹是两条射线.
【答案】 两条射线
8.(2016·宜春高二检测)命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和PA ＋PB ＝2a (a ＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的________条件.
【解析】 若P 点轨迹是椭圆，则PA ＋PB ＝2a (a ＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件.反过来，若PA ＋PB ＝2a (a ＞0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的.
这是因为：仅当2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段AB ；当2a ＜AB 时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件.
【答案】 必要不充分
二、解答题
9.已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹.
【解】如图所示，连结AP，
∵l垂直平分AC，∴AP＝CP，∴PB＋PA＝BP＋PC＝4，
∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.
10.设圆A的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切，且与已知圆A相外切的动圆圆心M 的轨迹.
【解】如图所示，圆A的方程可化为(x－5)2＋y2＝52，所以A(5,0)，设直线l的方程为x＝－5.结合已知条件，得动圆圆心M到定点A和定直线l的距离相等，所以动圆圆心M 的轨迹为抛物线.
又由于圆M与y轴相切，若圆M与y轴切于原点，则必与圆A相切.根据外切的条件，得M的轨迹方程为y＝0(x＜0)，当x＞0时，圆M与圆A内切，不符合条件.
所以动圆圆心M的轨迹为抛物线或y＝0(x＜0).
[能力提升]
1.已知动点P(x，y)满足x－12＋y－22＝|3x＋4y－10|
5
，则P点的轨迹是
________.
【导学号：24830025】【解析】由题意知，动点P到定点(1,2)和定直线3x＋4y－10＝0的距离相等，又点(1,2)不在直线3x＋4y－10＝0上，所以点P的轨迹是抛物线.
【答案】抛物线
2.如图2­1­1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________.
图2­1­1
【解析】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，C1D1⊥平面BB1C1C，连结PC1，则PC1⊥C1D1，所以P、C1两点间的距离PC1即为P到直线C1D1的距离.所以在平面BB1C1C内，动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离.根据抛物线的定义，知点P的轨迹所在的曲线是以点C1为焦点，以直线BC为准线的抛物线.
【答案】抛物线
3.已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1－PF2|＝2a(a＞0)，则当a＝3和a ＝5时点P的轨迹为________.
【解析】因为|PF1－PF2|＝2a，所以PF1>PF2.又因为F1F2＝10，当a＝3时，F1F2>2a，符合双曲线的定义，但只是双曲线的右支；
当a＝5时，F1F2＝2a，轨迹为x轴上以F2为端点向右射出的一条射线.
【答案】双曲线的一支和一条射线
4.已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.
【解】设F(x，y)为轨迹上的任意一点，∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，∴FA＋CA＝2a，FB＋CB＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴FA＋CA＝FB＋CB，
∴FA－FB＝CB－CA＝2.∴FA－FB＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上.。