2019届高三数学(理科)复习题三数列限时集训(十)Word版含答案

基础过关
1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2=3,且S9=6S3,则{a n}的公差d=()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知{a n}是各项均为正数的等比数列,S n为其前n项和,若a1=1,a3·a5=64,则S6=()
A.65
B.64
C.63
D.62
3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S5=30,则a7+a8+a9=()
A.63
B.45
C.36
D.27
4.已知等比数列{a n}的首项a1=1,公比q=2,则log2a1+log2a2+…+log2a11=()
A.50
B.35
C.55
D.46
5.已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n+1a n=2,则其前100项的和S100=()
A.250
B.200
C.150
D.100
6.已知S n是数列{a n}的前n项和,若2S n=3a n+4,则S n=()
A.2-2×3n
B.4×3n
C.-4×3n-1
D.-2-2×3n-1
7.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2,…,9填入3×3的方格内,使三行、三列、两对角线上的三个数的和都等于15(如图X10-1所示).一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n的方格内,使得每行、每列和两对角线上的数的和都相等,
图X10-1
这个正方形就叫作n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上的数的和为N n (如:在3阶幻方中,N 3=15),则N 10= ( )
A .1020
B .1010
C .510
D .505
8.已知在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 4与a 10的等比中项为4,则当2a 5+8a 9取得最小值时,a 1等于 ( )
A .32
B .16
C .8
D .4
9.在等差数列{a n }中,a 10<0,a 11>0,且a 11>|a 10|,则使{a n }的前n 项和S n <0成立的n 的最大值为 ( )
A .11
B .10
C .19
D .20
10.已知数列{a n }满足0<a n <1,a 14-8a 12+4=0,且数列 a n 2
+
4
n
2 是以8为公差的等差数列,设{a n }的前n 项和为S n ,则满足S n >10的n
的最小值为 ( )
A .60
B .61
C .121
D .122
11.在数列{a n }中,已知a 1=a 2=2.若a n+2是a n a n+1的个位数字,则a 27= .
12.已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且log 3(S n +1)=n+1,则数列{a n }的通项公式为 . 13.记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和,若S 4-2S 2=2,则S 6-S 4的最小值为 . 14.已知数列{a n }与 a n 2
n 均为等差数列,n ∈N *
,且a 1=2,则a 1+ a 22 2+ a 33 3+…+ a n n
n = .
能力提升
15.已知数列{a n }中,∀n ∈N *
,a n +a n+1+a n+2=C ,其中C 为常数,若a 5=2,a 7=-3,a 9=4,则a 1+a 2+…+a 100=( )
A .90
B .96
C .100
D .112
16.已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ,若a 1=-24,a 4=-8,则当T n 取得最大值时,n 的值为
( )
A .2
B .3
C .4
D .6
17.数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,a n+1=S n +3n
(n ∈N *
,n ≥1),则数列{S n }的通项公式为 .
18.数列{a n}中,a1=0,a n-a n-1=2n-1(n∈N*,n≥2),若数列{b n}满足b n=n a n+1+1·811n
,则数列{b n}的最大项为第项.
19.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫作该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”:第一次“扩展”后得到数列1,2,2;第二次“扩展”后得到数列1,2,2,4,2;…;第n次“扩展”后得到的数列为
1,x1,x2,…,x2n-1,2.若记a n=log2(1·x1·x2·…·x t·2),其中t=2n-1,n∈N*,则数列{a n}的前n项和S n=.
限时集训(十)基础过关
1.A[解析]由等差数列的性质知S3=3(a1+a3)
2=3a2=9,所以S9=6S3=54=9(a1+a9)
2
=9a5,则a5=6,所以d=a5-a2
3
=1.
2.C[解析]设{a n}的公比为q(q>0).由a1=1,a3·a5=a1q2·a1q4=64,得q=2,∴S6=a1(1-q6)
1−q
=63.
3.A[解析]设等差数列{a n}的公差为d,由题意得S3=3a1+3d=9,
S5=5a1+10d=30,
即a1+d=3,
a1+2d=6,
解得a1=0,
d=3,∴a7+a8+a9=3a1+21d=63.
故选A.
4.C[解析]∵{a n}是等比数列,a1=1,q=2,∴a1a11=a62=(a1q5)2=(25)2,∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2(a1a2…a11)=log2a611=11log225=55,故选C.
5.D[解析]因为a2n+a2n-1=2,所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=2×50=100,故选D.
6.A[解析]由2S n=3a n+4,可知2S n+1=3a n+1+4,两式相减,得2a n+1=3a n+1-3a n,整理得a n+1=3a n,所以{a n}是公比为3的等比数列.由
2S1=3a1+4可得a1=-4,则S n=-4×(1-3n)
1−3
=2-2×3n.
7.D[解析]根据题意知n阶幻方中所有数的和为n2(n2+1)
2,所以每行的数的和为n(n2+1)
2
,所以N n=n(n2+1)
2
,则N10=10×(102+1)
2
=505.故选
D.
8.A[解析]设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q(q>0).∵a4与a10的等比中项为4,
∴a4a10=42=a72,∴a7=4,
∴2a5+8a9=2a7
q2+8a7q2=8
q2
+32q2≥28
q2
×32q2=32,
当且仅当8
q2=32q2,即q2=1
2
时取等号,此时a1=a7
q6
=32.
9.C[解析]∵{a n}为等差数列,a10<0,a11>0,∴d>0,又∵a11>|a10|,∴a11>-a10,即
a10+a11>0,∴S20=a1+a20
2×20=10(a10+a11)>0,S19=a1+a19
2
×19=19a10<0,故使{a n}的前n项和S n<0成立的n的最大值为19,故选C.
10.B[解析]由a14-8a12+4=0,得a12+4
a12=8,所以a n2+4
a n2
=8+8(n-1)=8n,所以a n+2
a n
2=a
n
2+4
a n2
+4=8n+4,所以a n+2
a n
=22n+1,即a n2-
22n+1a n+2=0,所以a n=22n+1±22n-1
2
=2n+1±2n-1,因为0<a n<1,所以a n=2n+1-2n-1,所以S n=2n+1-1,所以由S n>10得2n+1>11,所以n>60.故选B.
11.4[解析]由题意得a3=a1·a2=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,…,∴数列{a n}是一个周期为6的数列,∵27=4×6+3,∴a27=a3=4.
12.a n=8,n=1,
2·3n,n≥2
[解析]由log3(S n+1)=n+1,得S n+1=3n+1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2·3n;当n=1时,a1=S1=8,不满足上式.所以数
列{a n}的通项公式为a n=8,n=1,
2·3n,n≥2.
13.8[解析]由等比数列的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,所以(S4-S2)2=S2·(S6-S4),所以S6-S4=(S4-S2)2
S2
.因为S4-2S2=2,即S4-S2=S2+2,
所以S6-S4=(S2+2)2
S2=S22+4S2+4
S2
=S2+4
S2
+4≥2S2·4
S2
+4=8,
当且仅当S2=4
S2
时,等号成立,所以S6-S4的最小值为8.
14.2n+1-2[解析]设数列{a n}的公差为d.因为数列{a n}为等差数列,且a1=2,所以a n=2+(n-1)d,所以a n2
n =[2+(n-1)d]2
n
=d2n2+(4d-2d2)n+(d-2)2
n
.
因为a n2
n
为等差数列,
所以其通项公式是一个关于n的一次函数,所以(d-2)2=0,所以d=2,
所以a n=2+(n-1)2=2n,所以a n
n =2n
n
=2,
所以a1+a2
22
+a3
3
3
+…+a n
n
n
=21+22+…+2n=2(1−2n)
1−2
=2n+1-2.
能力提升
15.B[解析]根据条件,可知该数列是以3为周期的数列,则a1=a7=-3,a2=a5=2,a3=a9=4,所以a1+a2+…+a100=33×(a1+a2+a3)+a1=33×(-3+2+4)-3=96.
16.C[解析]设等比数列{a n}的公比为q,则a4=-24q3=-8
9,q3=1
27
,q=1
3
,则此等比数列的各项均为负数.故当n为奇数时,T n为负数;当
n为偶数时,T n为正数.所以当T n取得最大值时,n为偶数,排除B.而T2=(-24)2×1
3=24×8=192,T4=(-24)4×1
3
6
=84×1
9
=84
9
>192,T6=(-
24)6×1
315
=86×1
3
9
=86
3
=84
9
×82
3
<84
9
,则T4最大,故选C.
17.S n=3n-2n[解析]∵a n+1=S n+3n=S n+1-S n,
∴S n+1=2S n+3n,∴S n+1
3n+1=2
3
·S n
3n
+1
3
,
∴S n+1
3-1=2
3
S n
3
-1,
又S1
3-1=1
3
-1=-2
3
,
∴数列S n
3-1是首项为-2
3
,公比为2
3
的等比数列,
∴S n
3n -1=-2
3
×2
3
n-1
=-2
3
n
,
∴S n=3n-2n.
18.6[解析]因为a n-a n-1=2n-1(n∈N*,n≥2),所以a n=(2n-1)+(2n-3)+…+3+a1=n2-1,当n=1时,a1=0,满足上式,所以a n=n2-1,所以
b n=n(n+1)·8
11n
,所以b n+1
b n
=8(n+2)
11n
,所以当n≤5时,b n+1>b n,当n≥6时,b n+1<b n,所以数列{b n}的最大项为第6项.
19.3n+1+2n-3
4
[解析]a n=log2(1·x1·x2·…·x t·2),则
a n+1=log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·x t·(x t·2)·2]=log2(12·x13·x23·…·x t3·22)=3a n-1,
所以a n+1-1
2=3 a n-1
2
,又a1-1
2
=3
2
,
所以数列 a n-1
2是一个以3
2
为首项,3为公比的等比数列,
所以a n-1
2=3
2
×3n-1,所以a n=3n+1
2
,
所以S n=1
2×3(1−3n)
1−3
+n
2
=3n+1+2n-3
4
.。