2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习文科数学 第二章 第14讲 考点集训 (5)

第10讲 指数与指数函数
夯实基础 【p 25】
【学习目标】
1．了解指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质． 2．掌握指数函数的概念、图象和性质． 【基础检测】
1.⎝⎛⎭⎫4936－1
2的值是( ) A.67 B.76 C ．－67 D ．－76
【解析】化简式子⎝⎛⎭⎫4936－1
2
＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫762－12
＝⎝⎛⎭⎫76－1
＝67，所以选A. 【答案】A
2．已知集合A ＝{x|x 2－x －2<0}，b ＝{y|y ＝2x }，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，2) B ．(－2，1) C ．(0，1) D ．(0，2)
【解析】由题意得A ＝{x|x 2－x －2<0}＝{x|－1<x<2}，B ＝{y|y ＝2x }＝{y|y>0}， ∴A ∩B ＝{x|0<x<2}＝(0，2)． 故选D.
【答案】D
3．三个数1，0.32，20.3的大小顺序是( ) A ．0.32<20.3<1 B ．0.32<1<20.3 C ．1<0.32<20.3 D ．20.3<1<0.32 【解析】0.32＝0.09，20.3>20＝1， 所以0.32<1<20.3， 所以选B. 【答案】B
4．已知函数f ()x ＝a x 在x ∈[]－2，2上恒有f ()x <2，则实数a 的取值范围为____________． 【解析】当a>1时，函数f ()x ＝a x 在x ∈[]
－2，2上为增函数，所以f ()
x max
＝f (2)，又
因为x ∈[]－2，2时，f ()x <2恒成立，所以⎩
⎨⎧a>1，f （2）<2，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1，
a 2<2，解得1<a<2；
同理，当0<a<1时，⎩⎨⎧0<a<1，f （x ）max ＝f （－2）<2，
解得2
2<a<1，
综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1∪(
)1，2. 【答案】
⎝⎛⎭⎫22，1∪(
)1，2
【知识要点】
1．有理数指数幂
(1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a m n
＝n
a m (a>0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n
＝1a m n ＝1
n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．
③0的正分数指数幂等于__0__，0的负分数指数幂__没有意义__． (2)有理数指数幂的性质
①a r a s ＝__a r ＋
s __(a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝__a rs __(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝__a r b r __(a >0，b >0，r ∈Q )． a>1
0<a<1
R
数__
数__
典 例 剖 析 【p 25】
考点1 指数幂的运算
例1求值与化简：
(1)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫2791
2－(2－1)0；
(2)⎝⎛⎭⎫14－12
·（4ab －
1）3（0.1）－2（a 3b －
3）12
(a ＞0，b ＞0)；
(3)
()
a 2
3
·b －1
－
12
·a －12
·b 1
3
6
ab 5
.
【解析】(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－1
3－72＋⎝⎛⎭⎫2591
2－1＝103－49＋53
－1＝－45.
(2)原式＝412·432
100·a 32
·a －32·b －32·b 32＝425a 0·b 0＝425.
(3)原式＝a －13b 12
·a －12b 13
a 16
b 5
6
＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1
a
. 【小结】指数幂运算的一般原则：
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
考点2 指数函数的图象及应用
例2已知函数y ＝⎝⎛⎭
⎫1
2|x ＋2|
.
(1)作出其图象；
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出，当x 取什么值时y 有最值．
【分析】先化去绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，再作出其图象，然后根据图象判断其单调性、最值．
【解析】(1)由函数解析式可得
y ＝⎝⎛⎭
⎫12|x ＋2|
＝⎩
⎨⎧⎝⎛⎭
⎫
12x ＋2
， x ≥－2，
2x ＋2， x ＜－2.
其图象分成两部分： 一部分是y ＝⎝⎛⎭
⎫
12x ＋2
(x ≥－2)的图象，由下列变换可得到，
y ＝⎝⎛⎭
⎫12x
――→向左平移2个单位y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋2
；
另一部分是y ＝2x ＋2(x ＜－2)的图象， 由下列变换可得到，
y ＝2x
――→向左平移2个单位
y ＝2x ＋2， 如图(实线)为函数 y ＝⎝⎛⎭
⎫12|x ＋2|
的图象．
(2)由图象观察知函数的单调增区间为(－∞，－2]，单调减区间为[－2，＋∞)． (3)由图象观察知，x ＝－2时，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋2|
有最大值，最大值为1，没有最小值．
【小结】指数函数图象的画法及应用：
(1)画指数函数y ＝a x (a>0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1
a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
考点3 指数函数的性质及应用
例3(1)若a ＝40.9
，b ＝8
0.48
，c ＝⎝⎛⎭
⎫
12－1.5
，则( )
A ．c>a>b
B ．b>a>c
C ．a>b>c
D ．a>c>b
【解析】a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝21.5，所以a>c>b. 【答案】D
(2)讨论函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2
－2x 的单调性． 【解析】∵函数f (x )的定义域是R . 令u ＝x 2
－2x ，则y ＝⎝⎛⎭⎫
13u
，
∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上是减函数， 又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u
在其定义域内是减函数， ∴函数f (x )在(－∞，1]上是增函数；
又u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在[1，＋∞)上是增函数， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u
在其定义域内是减函数， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是减函数．
【小结】比较幂值的大小：
(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．
考点4 指数函数的综合应用
例4已知函数f (x )＝a x (a>0，a ≠1)． (1)若f (1)＋f (－1)＝5
2
，求f (2)＋f (－2)的值．
(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的差为8
3，求实数a 的值．
【解析】(1)∵f (x )＝a x ，f (1)＋f (－1)＝5
2，
∴f (1)＋f (－1)＝a ＋1a ＝52，解得a ＝2或1
2
，
当a ＝2时，f (x )＝2x ，f (2)＋f (－2)＝22＋2－2＝17
4，
当a ＝12时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (2)＋f (－2)＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫12－2＝174，
故f (2)＋f (－2)＝174
.
(2)当a>1时，f (x )＝a x 在[－1，1]上单调递增，
∴f (x )max －f (x )min ＝f (1)－f (－1)＝a －a －1＝8
3，化简得3a 2－8a －3＝0，
解得a ＝－1
3
(舍去)或a ＝3.
当0<a<1时，f (x )＝a x 在[－1，1]上单调递减，
∴f (x )max －f (x )min ＝f (－1)－f (1)＝a －1－a ＝8
3，化简得3a 2＋8a －3＝0.
解得a ＝－3(舍去)或a ＝1
3.
综上，实数a 的值为3或1
3
.
【小结】指数函数的综合问题，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数进行分类讨论．
【能力提升】
例5设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a>0，a ≠1)是定义域为R 的奇函数．
(1)若f (1)>0，试求使不等式f ()x 2
＋tx ＋f ()2x ＋1>0在定义域上恒成立的t 的取值范围；
(2)若f (1)＝83，且g (x )＝a 2x ＋a －
2x －2mf (x )在[)1，＋∞上的最小值为－2，求m 的值．
【解析】(1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0， ∴1－(k －1)＝0，∴k ＝2.
∵函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0且a ≠1)，f (1)>0， ∴a －1
a
＞0，又a ＞0，∴a >1.
由于y ＝a x 单调递增，y ＝a －x 单调递减， 故f (x )在R 上单调递增．
不等式化为：f (x 2＋tx )>f (－2x －1)．
∴x 2＋tx ＞－2x －1，即x 2＋(t ＋2)x ＋1＞0恒成立， ∴Δ＝(t ＋2)2－4＜0，解得－4＜t ＜0. (2)∵f (1)＝83，a －1a ＝8
3，即3a 2－8a －3＝0，
∴a ＝3，或a ＝－1
3
(舍去)．
∴g (x )＝32x ＋3－2x －2m (3x －3－x )＝(3x －3－x )2－2m (3x －3－x )＋2. 令t ＝F (x )＝3x －3－x ，可知F (x )显然是增函数． ∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝8
3
，
令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2⎝⎛⎭⎫t ≥83， 若m ≥8
3，当t ＝m 时，h (t )min ＝h (m )＝2－m 2＝－2，
∴m ＝±2，舍去；
若m <83，当t ＝83时，h (t )min ＝h ⎝⎛⎭⎫83＝⎝⎛⎭⎫832－163m ＋2＝－2，解得m ＝2512＜83，
综上可知m ＝2512
.
【小结】(1)根据奇函数的性质，计算参数k .由函数的单调性和奇偶性来转化不等式，建立二次函数恒成立的不等式，用判别式判别；
(2)通过换元，转化为含参二次函数求最值的问题，主要讨论对称轴与定义域的关系，从而确定函数的最小值，求参数的值．
方 法 总 结 【p 27】
1．指数的乘、除运算一般要求在同底数状态下进行，所以在进行指数运算时，先将指数式化为同底数．
2．解指数不等式，一般将不等式两边化为同底数的指数形式，再利用单调性转化为简单不等式求解．
3．当底数中出现参数时，要注意对底数的取值范围加以讨论．
4．比较两个幂值的大小是一种常见的题型，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，指数不同，可利用指数函数的单调性；如果底数不同，指数相同，可利用图象(见下表)或利用幂函数的性质；如果指数、底数都不同，可引入中间量.
图象
底大于1时，底大者靠近y 轴
底小于1时，底小者靠近y 轴
走 进 高 考 【p 27】
1．(2017·北京)已知函数f (x )＝3x
－⎝⎛⎭⎫
13x
，则f (x )( )
A ．是偶函数，且在R 上是增函数
B ．是奇函数，且在R 上是增函数
C ．是偶函数，且在R 上是减函数
D ．是奇函数，且在R 上是减函数 【解析】f (－x )＝3－x －
⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭
⎫13x
－3x ＝－f (x )，所以该函数是奇函数，并且y ＝3x 是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫
13x
是减函数，根据“增函数－减函数＝增函数”，可知该函数为增函数，故选B.
【答案】B。