要点解读：复数的概念

复数的概念要点解读

一、复数的基本概念：

为了解决1-有解这一问题，引进了新数i；

1）虚数单位：i叫做虚数单位，并规定：

①它的平方等于1，即21

i=-；

②和无理数相似，虚数单位i可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加，乘运算律仍然成立。

规定：00

a a i

=+⋅的形i⋅=，这时任何一个实数a都可以写成0

式。

2）复数：形如abia,b∈R的数叫做复数（(,)

=+⋅∈）

z a b i a b R a和b分别叫做复数的实部和虚部，分别用Re（Real）和Im（Imaginary）表示。

全体复数所成的集合称为复数集一般用字母C表示（Combers）。

当b=0时，就是实数；当b≠0时叫虚数；当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。

引入新数i（虚数单位）后，我们将数系由实数集扩充到了复数集，从而完成了数系的最后一次扩展。

二、几个基本要点

1、正确认识复数的实部与虚部

对于复数)

a∈

+，实部是a，虚部是b．注意在说复数

bi

b

,

(R

a

bi a +时，一定有R b a ∈,，否则，不能说实部是a ，虚部是b ,复数的实部和虚部都是实数．

说明：对于复数的定义，特别要抓住bi a +这一标准形式以及

b a ,是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助．

2、关于复数能否比较大小分析

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在d b c a ==,两式中，只要有一个不成立，那么di c Bi a +≠+．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

i 对于任意两个实数a ，b 来说，a ＜b ，a=b ，b ＜a 这三种情形有且仅有一种成立；

ii 如果a ＜b ，b ＜c ，那么a ＜c ；

iii 如果a ＜b ，那么a ＋c ＜b ＋c ；

iv 如果a ＜b ，c ＞0，那么ac ＜bc ．不必向学生讲解

3、在讲复数集与复平面内所有点所成的集合对应时注意事项

①任何一个复数bi a z +=都可以由一个有序实数对b a ,

唯一

确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对b

a,叫做复数的．

②复数bi

a,表示．复平面内的点Z =用复平面内的点Z b

a

z+

的坐标是b

a,，也就是说，复平面内的纵坐标轴a,，而不是i b

上的单位长度是1，而不是i．由于i=0＋1·i，所以用复平面内的点0，1表示i时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点0，1标上虚数i时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位i，或者i就是纵轴的单位长度．

③当0

a=

+

=

+0是纯虚数，所以纵

bi

bi

a时，对任何0

=

≠

b，bi

轴上的点b

,00

=

+bi

a是

a时，0

≠

=b

b都是表示纯虚数．但当0

=

实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

由此可见，复平面也叫高斯平面与一般的坐标平面也叫笛卡儿平面的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数=a＋bi中的，书写时小写，复平面内点Za，b中的Z，书写时大写．要学生注意．

4、正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数

分类中的界限：

①设),(R b a bi a z ∈+=，则z 为实数.0=⇔b ②z 为虚数.0≠⇔b

③00=⇔=a z 且0=b ．

④z 为纯虚数0=⇔a 且.0≠b

5、关于共轭复数的概念

设),(R b a bi a z ∈+=，则bi a z -=，即z 与z 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为bi a +与bi a +-或bi a --是共轭复数）．

教师可以提一下当0=b 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当0≠b 时，bi a +与bi a -互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．