福建省泉州市安溪县2013届高三数学上学期期中联考试题 文 新人教A版

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正视图安溪一中、养正中学2013届高三上学期期中联考数学（文）试题
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U=N ，{}
2|7100,U A x N x x C A =∈-+≥=则（ ） A ．{}2,3,4,5
B ．{}3,4,5
C ．{}2,3,4
D ．{}3,4
2．命题“R x ∈∃0，使20log 0x ≤成立”的否定为（ ）
A ．R x ∈∃0，使20log 0x >成立
B ．R x ∈∃0，使20log 0x ≥成立
C ．R x ∈∀0，均有20log 0x ≥成立
D ．R x ∈∀0，均有20log 0x >成立
3．设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）
A ．充分而不必要的条件
B ．必要而不充分的条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要的条件
4．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（ ） A m n m ,,αα⊂⊂∥β，n ∥βα⇒∥β
B α∥β
，βα⊂⊂n m ,m ⇒∥n
C m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥⇒，，，α⊥l
D m ∥n ，⊥n αm ⇒α⊥
5．如果实数x 、y 满足条件10
1010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，那么2x y -的最大值为（ ）
A ．2
B ． 1
C ．2-
D ．3-
6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，3521,21,a a =-=+则2
326372a a a a a ++=（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．842-
8．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA a =，OB b =,OC c =，又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量DE 等于（ ）
A.
()12a b c ++ B. ()
1
2a b c -++ C. ()
12a b c -+ D.()
1
2
a b c +-
9．如图，为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）
A ．向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
B ． 向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ． 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
D ． 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
10．在ABC ∆中，5=a ，7=c ，︒
=120C ,则三角形的面积为（ ）
A. 215
B. 415
C. 4315
D. 2
3
15
12．在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”。

定义如下：对于任意两个复数111z a b i =+，222z a b i
=+（1122,,,a b a b R ∈，i 为虚数单位），“12z z ”当且仅当“12a a >”或“12a a =且12b b >”．下面命
题为假命题．．．的是（ ） A ．1
0i
B ．若12z z ，2
3z z ，则1
3z z
C ．若1
2z z ，则对于任意z C ∈，12z z
z z ++
D ．对于复数0z ，若12z z ，则12z z z z ⋅⋅
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知向量a 与向量b 的夹角为60°，若向量2c b a =-，且b c ⊥，则||
||
a b 的值为______ 14．已知等差数列{}n a ，其中4,3
1
521=+=
a a a ，33=n a ，则n 的值为； 15．中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为430x y +=，则该双曲线的离心率为.
第9题图
16．若C B A ,,为ABC ∆的三个内角，则
C
B A ++
1
4的最小值为 三、解答题（本大题有6小题，共74分） 17．（本题满分12分） 已知函数3cos 32sin cos 2)(2-+=x x x x f ．
（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的单调增区间．
18. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明1n T ≥．
20．(本小题满分12分)
如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱．
(1)若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长x ，宽y 设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；
(2)若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米，则小网箱的长、宽为多少米时，可使总造价最低？
21．(本小题满分12分)
已知抛物线方程为)0(22
>=p px y
（1）若点)22,2(在抛物线上，求抛物线的焦点F 的坐标和准线l 的方程；
（2）在（1）的条件下，若过焦点F 且倾斜角为60的直线m 交抛物线于A 、B 两点，点M 在抛物线的
准线l 上，直线MA 、MF 、MB 的斜率分别记为MA k 、MF k 、MB k ，
求证：MA k 、MF k 、MB k 成等差数列；
22．(本小题满分14分)
已知=()=(1)a sin x,x ,b ,cos x -，()f x a b =⋅且(02)x ,π∈，记()f x 在(02),π内零点为0x . （1）求当()f x 取得极大值时，a 与b 的夹角θ. （2）求()0f x >的解集. （3）求当函数()
2
f 'x x 取得最小值时()f x 的值，并指出向量a 与b 的位置关系.
安溪一中、某某养正中学高三上数学期中考考试（文科）参考答案2012.11
∴函数)(x f 的最小正周期为π………………6分 （2）要使)(x f 递增，必须使)(2
23
22
2Z k k x k ∈+
≤+
≤-π
ππ
π
π………………9分
解得：)(12
125Z k k x k ∈+≤≤-
ππππ ∴函数)(x f 的递增区间为：)(]
12
,12
5[Z k k k ∈+
-π
ππ
π………………12分
18.（本题满分12分）
（Ⅰ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =，
∴ 当2n ≥时，22
1(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．……2分
所以 1
22n n T n +=--．………10分
因为1210n
n n T T --=->, 所以数列{}n T 单调递增，………11分
所以11n T T ≥=。

………12分
19.（本题满分12分） 解：（1）证明：在ABC 中，3,5,4,AC AB BC ===
222,AB AC BC ABC ∴=+为Rt ，
.AC BC ∴⊥…………………1分
又1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ， 1.AC CC ∴⊥……………………2分 11,,CC BC C CC BC =⊂平面11,BB C C
AC ∴⊥平面11BB C C ，……………………………………………………3分 而1BC ⊂平面11BB C C ，
1.AC BC ∴⊥………………………………………………………………4分 （2）设1B C 交1BC 于E 点，连结.DE 直三棱柱111,ABC A B C -
∴四边形11BB C C 是平行四边形，E ∴是1BC 的中点……………………………5分 又D 是AB 的中点，1//,AC DE ∴………………………………………………6分 而DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，………………………………………7分 1//AC ∴平面1CDB .………………………………………………8分 （3）连结11
,A D AC ，过点C 作CF AB ⊥，垂足为F . 在Rt ABC ∆中，3412
,55
AC BC CF AB ⋅⨯===………………………………9分 又直三棱柱111,ABC A B C - ∴平面ABC ⊥平面11ABB A ，而
平面ABC 平面11,ABB A AB CF =⊂平面,ABC CF AB ⊥
CF ∴⊥平面11ABB A ，即CF 是三棱锥11C A B D -的高，…………………………11分 又1111111
5410,22
A B D S A B AA ∆=
⋅=⨯⨯=………………………………………12分 1111111112
108.335
A B CD C A B D A B D V V S CF --∆∴==⋅=⨯⨯=
即每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时，网箱中筛网的总长度最小．………6分 (2)设总造价为W 元，则由4x ·2y ＝160，得xy ＝20.……7分
因为4x ≤15,2y ≤15，所以x ≤154，y ≤15
2
.
又因为y ＝20x ≤15
2.
所以83≤x ≤15
4
.……8分
W ＝(8x ＋4y )·112＋(4x ＋6y )·96＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋4×20x ·112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋6×20x ·96＝1 280⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋16x .……9分
求导，可得W (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤83，154上单调递减．……10分
所以当x ＝154时，W 最小，此时x ＝154，y ＝16
3.……11分
即当小网箱的长与宽分别为154米与16
3
米时，可使总造价最低．………12分 21.（本题满分12分）
解：（1） ∵)22,2(在抛物线上， 由22)22(2
⨯=p 得2=p ……………2分
∴抛物线的焦点坐标为)0,1(F ， ……………3分 准线l 的方程为1-=x ……………4分 （2）证明：∵抛物线的方程为x y 42
=，
22.（本题满分14分）
解（1）：()f x =sinx xcos x =⋅a b -，(02)x ,π∈
()()()02f 'x cosx cosx xsinx xsinx,f 'x ,x ......π==∴==--得分
()(0)0x ,,f 'x >π∴∈，则()f x 单调递增；
当()(2)0x ,,f 'x <ππ∈，则()f x 单调递减.
x π∴=是()f x 在(02),π内的极大值点 ……4分
此时()(0)(1)(11
)=sin ,=,,=,cos =,ππππa b - 2
2204
cos ==||||πθππ
θπθ⋅∴=⋅≤≤∴=a b a b ……6分
（2）由（1）知x π=是()f x 在(02),π内的极大值点. 且()()()0022f =,f =,f =ππππ-.
(0)x ,π∴∈时，()0f x >且()()2f f <0ππ⋅，得0(2)x ,ππ∈ 0(0)x ,x ∴∈时，()0f x >，即()0f x >的解集为0(0),x ……9分
（3）令()()22
f 'x xsinx sinx
h x x x x
=
==。