2.1一元二次方程(1)
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2.1 一元二次方程
什么是方程？什么是方程的解（或根）？ 答：含有未知数的等式叫做方程。使方程
两边成立的未知数的值叫做方程的解。 曾学过哪些方程？
分式方程，一元一次方程，二元一次方程。
什么叫做一元一次方程？
交流合作 根据题意列方程
1、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形 和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边 长为x，可列出方程
例1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并
写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
(1)9 x 5 4 x
2
( 2 )3 y 1 2 3 y
2
( 3)4 x 5
2
(4)(2 x )(3 x 4) 3
注意：
1.要先化成 ax² +bx+c=0 的形式。即先写二次项，再写一次项， 最后是常数项。
2、若方程 ( m 1) x 2
2011 2012 1
mx 1
是关于x
.
的一元二次方程，则m的取值范围是 3、已知
m
(1)请尝试通过对上式适当变形，写出一个以m为
未知数的一元二次方程；
(2)求代数式m2012-2m2011-2011m2010的值．
4、已知两个关于x的二次方程x2+ax+b=0、 x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：关于x的 二次方程 根为1．
例3 一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容 积为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元 一次方程吗?如果是，把它化为一元一次方程的 一般形式.
30 x x
单位：cm
15
课堂小结
1.了解一元二次方程的概念和一般形式. 2.会判别一元二次方程的二次项系数,一次项系 数和常数项. 3.注意:一元二次方程的二次项系数不能为零.
具有以上三个特点的方程称为一元二次方程
辨一辨 ☞ 判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9 ③2x2-3x-1=0 ( (
√ √
) )
②2(x-1)=3x (
×)
(
④
1 x
2
2 x
0
×)
)
⑤2xy-7=0
( × )
⑥9x2=5-4x
(
√
⑦4x2=5x
(
√ )
⑧3y2+4=5x ( × ) ⑩
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
其中ax2 ，bx, c分别称为二次项， 一次项，常数项.
一般形式： ax bx c 0( a 0)
2
ax 二次项，
bx 一次项，
2
a 二次项系数
b 一次项系数
c
常数项
在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项 x2 2 x (√ )
练一练☞
1、判断未知数的值ｘ=－1，ｘ＝0，ｘ＝2 是不是方程 x 2 x 的根。
2
2、已知关于x的一元二次方程 x ax a 0
2
的根是3，求a的值。
3、若a是方程x2-x-1=0的一个根，求代数式 a3-2a+3的值．
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化 2 为 ax bx c 0 ,的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
2.3(1+x)2=3.2
2009
2010
2011
年份
观察所列方程 2 (1) x 3 x 4 (2)2.3 4.6 x 2.3 x 2 3.2
问:有什么相同的特点?
能使一元二次 共同点:(1)两边都是整式; 方程两边相等 的未知数的值 (2)只含有一个未知数; 叫一元二次方 (3)未知数最高次数为2次 程的解(或根)
做一做2
1.关于x的方程 (k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当 k 时，是
一元二次方程．
2.关于x的方程 (k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k＋ 2＝0, 当k 时，是一元二次方程;当 k 时，是一元 一次方程．
3.若关于x的方程（m+1)x |m|+1 -2x+3m=0是一元二
次方程,求m的值。
拓展练习
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个
根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得
a 1 b 1 c 0 即a b c 0
2
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解：由题意得 a b c 0
x
2
ac 2
x
bd 2
0
也有一个公共
x
x
3
x
2+3x=4 x
交流合作
2、据国家统计局公布的数据，浙江省2009年全省实现
生产总值2.3万亿元，2011年生产总值达3.2万亿元，
求浙江省这两年实现 生产总值的平均增长率。 设年 平均增长率为x，可列出方程：
2.3 4.6 x 2.3x 3.2
2
3.5
3 2.5 2
生产总值（万亿元） 3.2 2.3
即a 1 b 1 c 0
2
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓展:若 4a+2b+c=0, 你能通过观察,求出方程 a-b +c=0 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
拓展训练
1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的 一个根是0，则实数a的值为 。
2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形。 3.写系数时，要带上前面的符号
做一做1
把一元二次方程 x 5 x 5 2 x 1 2 0
化为一般形式并写出它的二次项系数,一次项系数和常 数项.
注意：
一定要把方程化解为 一般形式，才能确定！
例2、已知，关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求m的取值范围.
什么是方程？什么是方程的解（或根）？ 答：含有未知数的等式叫做方程。使方程
两边成立的未知数的值叫做方程的解。 曾学过哪些方程？
分式方程，一元一次方程，二元一次方程。
什么叫做一元一次方程？
交流合作 根据题意列方程
1、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形 和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边 长为x，可列出方程
例1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并
写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
(1)9 x 5 4 x
2
( 2 )3 y 1 2 3 y
2
( 3)4 x 5
2
(4)(2 x )(3 x 4) 3
注意：
1.要先化成 ax² +bx+c=0 的形式。即先写二次项，再写一次项， 最后是常数项。
2、若方程 ( m 1) x 2
2011 2012 1
mx 1
是关于x
.
的一元二次方程，则m的取值范围是 3、已知
m
(1)请尝试通过对上式适当变形，写出一个以m为
未知数的一元二次方程；
(2)求代数式m2012-2m2011-2011m2010的值．
4、已知两个关于x的二次方程x2+ax+b=0、 x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：关于x的 二次方程 根为1．
例3 一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容 积为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元 一次方程吗?如果是，把它化为一元一次方程的 一般形式.
30 x x
单位：cm
15
课堂小结
1.了解一元二次方程的概念和一般形式. 2.会判别一元二次方程的二次项系数,一次项系 数和常数项. 3.注意:一元二次方程的二次项系数不能为零.
具有以上三个特点的方程称为一元二次方程
辨一辨 ☞ 判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9 ③2x2-3x-1=0 ( (
√ √
) )
②2(x-1)=3x (
×)
(
④
1 x
2
2 x
0
×)
)
⑤2xy-7=0
( × )
⑥9x2=5-4x
(
√
⑦4x2=5x
(
√ )
⑧3y2+4=5x ( × ) ⑩
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
其中ax2 ，bx, c分别称为二次项， 一次项，常数项.
一般形式： ax bx c 0( a 0)
2
ax 二次项，
bx 一次项，
2
a 二次项系数
b 一次项系数
c
常数项
在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项 x2 2 x (√ )
练一练☞
1、判断未知数的值ｘ=－1，ｘ＝0，ｘ＝2 是不是方程 x 2 x 的根。
2
2、已知关于x的一元二次方程 x ax a 0
2
的根是3，求a的值。
3、若a是方程x2-x-1=0的一个根，求代数式 a3-2a+3的值．
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化 2 为 ax bx c 0 ,的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
2.3(1+x)2=3.2
2009
2010
2011
年份
观察所列方程 2 (1) x 3 x 4 (2)2.3 4.6 x 2.3 x 2 3.2
问:有什么相同的特点?
能使一元二次 共同点:(1)两边都是整式; 方程两边相等 的未知数的值 (2)只含有一个未知数; 叫一元二次方 (3)未知数最高次数为2次 程的解(或根)
做一做2
1.关于x的方程 (k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当 k 时，是
一元二次方程．
2.关于x的方程 (k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k＋ 2＝0, 当k 时，是一元二次方程;当 k 时，是一元 一次方程．
3.若关于x的方程（m+1)x |m|+1 -2x+3m=0是一元二
次方程,求m的值。
拓展练习
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个
根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得
a 1 b 1 c 0 即a b c 0
2
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解：由题意得 a b c 0
x
2
ac 2
x
bd 2
0
也有一个公共
x
x
3
x
2+3x=4 x
交流合作
2、据国家统计局公布的数据，浙江省2009年全省实现
生产总值2.3万亿元，2011年生产总值达3.2万亿元，
求浙江省这两年实现 生产总值的平均增长率。 设年 平均增长率为x，可列出方程：
2.3 4.6 x 2.3x 3.2
2
3.5
3 2.5 2
生产总值（万亿元） 3.2 2.3
即a 1 b 1 c 0
2
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓展:若 4a+2b+c=0, 你能通过观察,求出方程 a-b +c=0 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
拓展训练
1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的 一个根是0，则实数a的值为 。
2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形。 3.写系数时，要带上前面的符号
做一做1
把一元二次方程 x 5 x 5 2 x 1 2 0
化为一般形式并写出它的二次项系数,一次项系数和常 数项.
注意：
一定要把方程化解为 一般形式，才能确定！
例2、已知，关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求m的取值范围.