2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(二十二)文科数学

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二十二）
文科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（单选题，共60分） 1.若2a =，1
4
b =，a 与b 的夹角为120,则a b ⋅=（ ） A. 14
-
B. 14
C. 1
D. -2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算即可.
【详解】111cos1202()424
a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯-=- 故选：A
【点睛】本题主要考查数量积的基本运算cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>,属于基础题型.
2.已知复数z 满足2zi i x =-+()x R ∈，若z
的
虚部为-2，则z =（ ）．
A. 2
B. 【答案】B 【解析】 【分析】
根据2zi i x =-+求得z 再根据虚部为-2求得x ,进而求得z 【详解】由22,2i x
zi i x z xi i
-+=
-+=
=--
,又z 的虚部为-2,故2,2x x -=-= 故22z i =--,故z ==故选：B
【点睛】本题主要考查复数的一般运算与模长公式等,属于基础题型. 3.已知集合{
}{
}
2
230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =（ ）
A. [3,0]-
B. [3,1]-
C. [3,0)-
D. [1,0)-
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合,A B 中的范围,再求交集即可.
【详解】由2230x x +-≤有(1)(3)0x x -+≤,即31x -≤≤,又ln()x -中0x ->即0x <. 故A
B =[3,0)-
故选：C
【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型. 4.过点(2,0)且与直线2410x y --=平行的直线方程是（ ） A. 210x y --=
B. 240x y +-=
C. 220x y --=
D.
220x y +-=
【答案】C 【解析】
【分析】
根据平行线的斜率相等,再利用点斜式得出方程即可. 【详解】直线2410x y --=的斜率为1
2k =,故过点(2,0)的直线方程为10(2)2
y x -=- 化简得220x y --= 故选：C
【点睛】本题主要考查直线的方程,包括点斜式的用法与平行线的性质等,属于基础题型. 5.已知()sin()cos()f x x x ϕϕ=+++为奇函数，则ϕ的一个取值是（ ）
A.
2
π
B. 2
π-
C.
4
π D. 4
π-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用奇函数在0处有定义时(0)0f =,化简得tan 1ϕ=-再观察满足的选项即可.
【详解】由()sin()cos()f x x x ϕϕ=+++为奇函数知(0)sin cos 0f ϕϕ=+=,显然
cos 0ϕ≠,
故sin cos tan 1ϕϕϕ=-⇒=-,观察选项知ϕ的一个取值是4
π
- 故选：D
【点睛】本题主要考查三角函数的同角关系与三角函数求值问题,属于基础题型.
6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41a =，80S =，当n S 取最大值时n 的值为（ ） A. 3 B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列求和公式知450a a +=,进而得出n S 取最大值时n 的值即可. 【详解】因为
80
S =,所以
188()
02
a a +=,即
180a a +=,又
1845450,1,1a a a a a a +=+=∴==-,
故等差数列{}n a 公差20d =-<,当n S 取最大值时n 的值为4 故选：B
【点睛】本题主要考查首项为正公差为负的等差数列的前n 项和的最大值问题,当1
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩
时取得前n 项和的最大值,属于基础题型. 7.若a b >，则（ ） A. a b > B. lg()0a b ->
D. 22a b <
【答案】C 【解析】 【分析】
对A,B 举反例说明即可,C,D 根据单调性进行分析即可. 【详解】对A,当1,2a b =-=-时a b <,故A 错误. 对B, 当1,0a b ==时lg()lg10a b -==,故B 错误. 对C, a b >
>
0成立,故C 正确. 对D,因为2x
y =为增函数所以a b >时22a b >,故D 错误. 故选：C
【点睛】本题主要考查不等式的性质与函数的单调性等,属于基础题型.
8.已知三棱锥A-BCD ，点E 、F 、G 分别是BC 、AC 、AD 的中点，直线AB 与CD 所成的角为60︒，则EFG 的大小是（ ） A. 30︒
B. 60︒
C. 60︒或120︒
D. 30︒或
150︒
【答案】C 【解析】 【分析】
画出图像分析可得EFG 和直线AB 与CD 所成的角相等或者互补.
【详解】由题得EF 为ABC ∆的中位线,故EF ∥AB ,同理得FG ∥CD ,故AB 与CD 所成的角为EF 与FG 所成的角,又EFG 和直线EF 与FG 所成的角相等或者互补.
即可能为60︒或120︒
故选：C
【点睛】本题主要考查立体几何中平行与角的运用,注意中位线的用法即可,属于基础题型.
9.已知双曲线22
1:134
x y C -=，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则
双曲线2C 的离心率为（ ）
7
7 3
7或7 【答案】B 【解析】 【分析】
由双曲线2C 的焦点在y 轴上,设22
222:1y x
C a b
-=,则渐近线方程为a y x b =±.又渐近线与双
曲线1C 相同,列出关于,a b 的关系式化简求离心率即可.
【详解】因为双曲线2C 的焦点在y 轴上,故设22
222:1y x
C a b
-=,则渐近线方程为a y x b =±.
又渐近线与双曲线1C 相同为3y x =,即3a b =,故3b a =故2C 的离心率2371()142
b
e a
=+=+=
故选：B
【点睛】焦点在y 轴上的双曲线22
221y x
a b
-=的渐近线方程为a y x b =±,双曲线离心率
c e a =
=属于基础题型. 10.已知在ABC ∆中,2BC CA =， 44C =︒，则ABC ∆三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 锐角、直角或钝角三角形都可能
【答案】C 【解析】 【分析】
判断三角形的形状求最大角A 的余弦值即可,利用余弦定理求解三边的关系,注意44C =︒接近45︒,故利用角,A C 的余弦定理结合cos45︒进行A 的余弦值范围的判断即可. 【详解】设ABC ∆中,,A B C 的对边分别为,,a b c 则2a b =
因为44C =︒,故cos cos 452
C >︒=
,
即22222222
5cos (524a b c b c C c b ab b +--=>⇒>⇒<-.
故22222222
3(53(2cos 02222b c a c b b b b A bc bc bc bc
+-----==<=<
即cos 0A <,故90A >︒为钝角 故选：C
【点睛】本题主要考查解三角形中对三角形形状判断的应用,属于中等题型.
11.过某一圆锥的高的中点和一个三等分点（该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近），分别作平行于该圆锥底面的平面，圆锥被分割成三个部分，则这三个部分的侧面积之比为（ ） A. 2:1:3 B. 2:3:6 C. 4:5:27 D. 4:9:36
【答案】C 【解析】 【分析】
设底面半径为R ,母线长为l ,再分别表示出三部分的侧面积即可.
【详解】设底面半径为R ,母线长为l ,则圆锥被分割成的三个圆锥的侧面积分别为
1S Rl π=,2224R l Rl S ππ=⋅
⋅=,3339
R l Rl S ππ=⋅⋅= 故圆锥被分割成三个部分的侧面积分别为1121
3
'(1)4
4
S S S Rl Rl ππ=-=-=
, 223115'()4936S S S Rl Rl ππ=-=-=,33'9
Rl
S S π==
故侧面积比为321153
':':':
:4:5:279364
S S S == 故选：C
【点睛】本题主要考查立体几何中的比例关系,注意设半径与母线长分别表示需要表达的量再求比值即可,属于基础题型.
12.已知点F 是椭圆22
:142
x y C +=的右焦点，斜率为(0)k k >的直线l 过点F 并与椭圆C 交
于A 、B 两点， 且满足4AF FB =,则k 的值为（ ）
A. 1
B.
6
C.
2
【答案】B 【解析】 【分析】
由题可设直线倾斜角为θ,再根据焦半径公式与4AF FB =求出cos θ,进而算得k 的值tan θ即可.
【详解】因为22:142x y C +=,所以离心率e =
,设直线倾斜角为θ,由焦半径公式与4AF FB =得
4344cos 1cos cos 1cos 1cos 55
ep ep e e e e e θθθθθ=⇒-=+⇒==
-+.
故tan
6θ==
=
,即斜率
6k = 故选：B
【点睛】本题主要考查焦半径公式的运用,属于中等题型. 二、填空题（共20分）
13.已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线22
1y
x m
-=的离心率是_____．
2
【解析】 【分析】
由m 是2与8的等比中项算出4m =±,再分两种情况计算圆锥曲线22
1y
x m
-=的离心率即
可.
【详解】由m 是2与8的等比中项有2
28
16m ,故4m =±.
当4m =时圆锥曲线方程2
2
14
y x -=,为焦点在x 轴的双曲线,其中1,a c ==此时离心
率e =
当4m =-时圆锥曲线方程2
2
14y x +=,,为焦点在y 轴的椭圆,其中2,a c ==此时离心率
e =
2
【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线方程运用,属于基础题型.
14.设曲线3(1)ln y a x x =--在点(1,0)处的切线方程为22y x =-,则a =_______. 【答案】1 【解析】 【分析】
求导后代入1x =即可算得在点(1,0)处的切线斜率,与22y x =-斜率相等,列式求得a 即可. 【详解】由3(1)ln y a x x =--有1
'3y a x
=-
,故在点(1,0)处的切线斜率为31a -,又切线方
程为22y x =-,故312,1a a -== 故答案为：1
【点睛】本题主要考查导函数的几何意义,在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率,属于基础题型.
15.已知13
sin cos 12αα-=-，则tan α=_______.
【答案】3
- 【解析】 【分析】
将13sin cos 2αα-合一变形算得α的取值集合,再求tan α即可. 【详解】由13sin cos 12αα-=-得cos sin sin cos sin()1333πππααα-=-=-,
故23
2
k ππαπ-
=-
,即26
k π
απ=-
,故tan ta 3
6
n(2)k π
απ-
=-
= 故答案为：3-
【点睛】本题主要考查辅助角公式与三角函数求值等,属于基础题型.
16.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：
①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值； ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；
③对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG 平面1EBD ； ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值. 其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】
对①,将四棱锥11B BED F -分成两部分11B BED -与11B BD F -分析即可
对②,根据线面垂直的判定,注意用到11B D BD ⊥再利用线面垂直与线线垂直的判定即可. 对③,举出反例即可.
对④,四边形1BED F 的周长012()C BE ED =+,展开长方体分析最值即可.
【详解】对①,111111112B BED F B BED B BFD B BED V V V V ----=+=,又三棱锥1111B BED E BB D =--底面
11BB D 不变,且因为1CC ∥底面11BB D ,故E 到底面11BB D 的距离即11E BB D -上的高长度不变.
故三棱锥11B BED -体积一定,即四棱锥11B BED F -的体积恒为定值,①正确. 对②,因为111BB B D =,且长方体1111ABCD A B C D -,故四边形11BB D D 为正方形,
故11B D BD ⊥.要1B D ⊥平面1BD E 则只需1B D BE ⊥,又CD BE ⊥,故只需BE ⊥面1DCB . 又1B C ⊂平面1DCB ,故只需1BE B C ⊥即可.因为111BB B D BD BC ==>,故当1BB BC
BC CE
= 时存在点E ,使得1BE B C ⊥,即1B D ⊥平面1BD E .故②正确. 对③,当E 在C 时总有CG 与平面1EBD 相交,故③错误.
对④,四边形1BED F 的周长012()C BE ED =+,分析1BE ED +即可.
将矩形11BCC B 沿着1CC 展开使得B 在DC 延长线上时,此时B 的位置设为P ,则线段1D P 与1CC 的交点即为使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值时的唯一点E .故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】本题考查立体几何中的垂直平行判定等,在证明垂直等问题时需要用到线线线面垂直的性质和判定等,对空间想象能力以及立体几何证明有一定的要求,属于难题.
三、解答题（共70分）
（一）必考题：共60分
17.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目新闻节目总计
20至40岁30 18 48
大于40岁20 32 52
总计50 50 100
(1)用分层抽样方法在收看文艺节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(2)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为大于40岁的概率．
【答案】（1）2名；（2）3
5
.
【解析】
【分析】
(1)根据分层抽样的方法,用5乘以大于40岁的观众所占的比例即可.
(2)用枚举法将所有可能的情况均列出来,再数出恰有1名观众的年龄为大于40岁的情况数,再利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】(1)大于40岁的观众中应抽取20
550
⨯
=2名观众 (2)设5名观众中20至40岁的观众3人分别为,,A B C ,大于40岁的2人分别为(,)a b , 则任取2名所有可能的情况有：
(,),A B (,),A C (,),A a (,),A b (,),B C (,),B a (,),B b (,),C a (,),C b (,),a b 共10种结果,
每种结果发生的概率都是
1
10
,是古典概型. 抽取的3名观众中恰有1名观众的年龄为20至40岁包含
(,),A a (,),A b (,),B a (,),B b (,),C a (,),C b 共6个基本事件,
设“在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为大于40岁”的事件为A 则A 发生的概率63()105
P A =
= 【点睛】本题主要考查分层抽样以及基本的古典概型方法,属于基础题型. 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1616a a +=，315S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n n n S S b S S ++-=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）21n a n =+（2）11
(1)(3)3
n T n n =-++
【解析】 【分析】
(1)用基本量法求解首项与公差即可算得通项公式 (2)由11111
n n n n n n n
S S b S S S S +++-=
=-⋅,裂项相消后代入n S 即可.
【详解】解：(1)设数列{}n a 的公差为d ,则
11
2516
3315a d a d +=⎧⎨
+=⎩,解得13a =,2d =,21n a n ∴=+. (2)由(1)知()()
12321S 222
n n n a a n n n n +++=
==+,
11111
n n n n
n n n
S S b S S S S +++-=
=-⋅,
1221321111111n n n n T b b b S S S S S S +⎛⎫⎛⎫
⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111111
(1)(3)3
n S S n n +=
-=-++. 【点睛】本题主要考查基本量法求等差数列的方法以及简单的裂项相消问题,属于基础题型. 19.如图，在四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形．且1SA AD ==，M 是SD 的中点，AN SC ⊥于点N ．
（1）求证：SC AM ⊥； （2）求AMN 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）3
12
AMN
S =
【解析】 【分析】
（1）先证明AM ⊥平面SCD ，即证SC AM ⊥；（2）先求出113
12
S ACM AMN V S SC -=⨯=
，再求AMN 的面积．
【详解】（1）∵SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SA CD ⊥．∵CD AD ⊥，AD SA A ⋂=， ∴CD ⊥平面SAD ．∵AM ⊂平面SAD ，∴CD AM ⊥，
又1SA AD ==，M 是SD 的中点，∴AM SD ⊥，∵SD CD D ⋂=， ∴AM ⊥平面SCD ，∵SC ⊂平面SCD ，∴SC AM ⊥．
（2）∵M 是SD 的中点，∴S ACM D ACM M ADC V V V ---==， ∴1111113232212
S ACM ACD
V S SA -=
⨯=⨯⨯=． ∵AN SC ⊥，AM SC ⊥，AN AM A ⋂=，∴SC ⊥平面AMN ， ∴13
S ACM AMN
V S SC -=
⨯．∵3SC =
∴AMN 的面积33
S ACM AMN
V S
SC -=
=
． 【点睛】本题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，短轴长为2，离心率为3
2
.直线11:22l y x =-与
椭圆C 交于不同的两点M ，N . （1）求椭圆C 的方程；
（2）若已知点(2,0)A ,求AMN ∆的面积.
【答案】(1) 2214x y +=7
【解析】 【分析】
(1)由题意列出,,a b c 的关系求解即可.
(2) AMN ∆面积可以利用x 轴分割开的两个小三角形面积之和表示,或者以MN 为底,A 到直线11
:22
l y x =
-的距离为高求解.
【详解】(1)
由题意得2
2222b c a a b c =⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
, 解得1b =,所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
(2)方法1：由22
2114
x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x,得2
8430y y +-=, 判别式2
448(3)112∆=-⨯⨯-=,
设点M ,N 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,
所以1282
y y -=
=
, 所以AMN ∆
的面积12(21)12y y S -⨯-=
=
方法2：由221122
14
y x x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y,得22230x x --=,
判别式2
(2)42(3)28∆=--⨯⨯-=, 设点M ,N 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,
所以2
MN ==, 又因为点()2,0A 到直线11
:22l y x =
-
的距离1d =,
所以AMN ∆
的面积11||2S MN d ==
【点睛】本题主要考查椭圆的基本量运算以及简单的直线与椭圆的位置关系求有关面积的问题,属于基本题型.
21.已知函数()ln f x x kx =+,()2
g x x =.k ∈R .
（1）求函数()f x 的极值点；
（2）若()()f x g x ≤恒成立,求k 的取值范围.
【答案】(1) 当0k ≥时无极值点, 当k 0<时,极大值点1
k
-,无极小值点. (2) (,1]-∞ 【解析】 【分析】 (1)求导()1
f x k x
'=
+后分0k ≥和k 0<进行讨论即可. (2)由题()2
ln 00x x kx x -+≤>恒成立,故参变分离写成ln x
k x x
≤-
形式,分析函数()ln (0)x
h x x x x
=-
>的
单调性求最大值即可.
【详解】(1)()ln f x x kx =+的定义域为()0,∞+,()1
f x k x
'=+, 当0k ≥ 时,()1
0f x k x
+'=
>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增,无极值点, 当k 0<时,解()10f x k x +'=>,得10x k <<-,解()1
0f x k x
+'=<得1x k >-,
所以()f x 在10,k ⎛
⎫-
⎪
⎝⎭上单调递增,在1,k ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减, 所以函数()f x 有极大值点1
k
-
,无极小值点. (2)由条件可得()2
ln 00x x kx x -+≤>恒成立, 则当0x >时,ln x
k x x
≤-
恒成立, 令()ln (0)x h x x x x =->,则()221ln x x h x x
-+=', 令()2
1ln (0)k x x x x =-+>,
则当0x >时,()1
20k x x x
+
'=>,所以()k x 在()0,∞+上为增函数. 又()10k =,所以在()0,1上,()0h x '<；在()1,+∞上,()0h x '>. 所以()h x 在()0,1上为减函数；在()1,+∞上为增函数.
所以()()min 11h x h ==,所以1k ≤.,故k 的取值范围是(,1]-∞.
【点睛】(1)根据导函数是否有零点对参数进行分类讨论.
(2)恒成立问题利用参变分离转化为最值的讨论问题,同时注意导函数如果不能直接判断在区间上的正负,则还需对导函数进行求导分析.本题属于综合题型.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为2x t
y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4ρ=.
（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；
（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，()2,0P -，求PA PB ⋅. 【答案】(1) 直线l 的普通方程
为
0y -+=.圆C 的直角坐标方程为
2216x y +=.(2)12
【解析】
【
分析】
(1)根据所给的参数方程消去参数t 即可.
(2)将参数方程2x t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩改写成标准形式1222x s y s
⎧=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
(s 为参数),再代入C 求得交点的对
应的参数关系与韦达定理.再利用直线的参数方程的几何意义求解PA PB ⋅即可. 【详解】(1)将直线l 的参数方程消去参数t , 得直线l 0y -+=.
由4ρ=,得2216x y +=,则圆C 的直角坐标方程为22
16x y +=.
(2)将直线l 的参数方程变为122x s y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(s 为参数),代入22
16x y +=,得22120s s --=,
则1212s s =-,
故121212PA PB s s s s ⋅=⋅==.
【点睛】本题主要考查直线参数方程的几何意义,注意参数方程需写成标准的结构,参数才有几何意义.属于基础题型.
23.已知函数()2|1||1|f x x x =+--，x ∈R ． （1）求()1f x ≤的解集；
（2）若()f x x a =-有两个不同的解，求a 的取值范围． 【答案】(1)[4,0]- ;(2) (3,1)- 【解析】 【分析】
(1)分1x ≥,11x -<<,1x ≤-三种情况进行去绝对值再写成分段函数分情况讨论即可. (2)画出()f x 的函数图像,数形结合判断()f x x a =-有两个不同的解即()f x 与y x a =-有两个交点时a 的取值范围即可.
【详解】解：(1)由绝对值的
意义可得：3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪
=+-<<⎨⎪--≤-⎩
,
①当1x ≥时,31x +≤得：无解,
②当11x -<<时,311x +≤,解得：10x -<≤, ③当1x ≤-时,31x --≤,解得：41x --≤≤,
综合①②③可得()1f x ≤的解集为：{|40}x x -≤≤；
(2)若()f x x a =-有两个不同的解,即()y f x =的图象与直线y x a =-有两个交点,
当y x a =-过点(1,2)--时,1a =,
当y x a =-与3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪
=+-<<⎨⎪--≤-⎩
中的
第一段重合时,3a =-
结合图象可得31a -<<． 故a 的取值范围是(3,1)-.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及数形结合的思想,属于中等题型.。