16-3 一维势阱和势垒问题

年诺贝尔物理奖) 扫描隧穿显微镜 (STM) (获1986年诺贝尔物理奖 获 年诺贝尔物理奖
由于这一贡献， 由于这一贡献，宾 尼格、罗赫尔和 尼格、罗赫尔和鲁 斯卡三人分享了 斯卡三人分享了 1986年度的诺贝 年度的诺贝 尔物理奖。 尔物理奖。 前两人是扫描隧 前两人是扫描隧 穿显微镜的直接 穿显微镜的直接 发明者， 发明者，第三人 1932年 是 1932年电子显 微镜的发明者， 微镜的发明者， 的发明者 这里是为了追朔 他的功劳。 他的功劳。
Ψ( x , t ) =
i nπx − ℏ Et 2 2 2 2 2 nπx sin e |Ψ (x, t) | =|ψ(x) | = sin a a a a
Ψ(x , t )
E 4 = 16 E 1
ψ ( x)
n=4 n=3 n=2 n=1
2
n=4 n=3 n=2 n=1
E3 = 9E1
E2 = 4E1
U ∞
∞
(x ≤ 0, x ≥ a )
o
a
x
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
d2ψ 2m + 2 (E − U )ψ = 0 2 dx ℏ
得本问题中的薛定谔方程: 得本问题中的薛定谔方程 0<x<a
U ∞
d ψ 2m + 2 Eψ = 0 2 ℏ dx
2
x ≤ 0, x ≥ a
d2ψ 2m + 2 (E − ∞ )ψ = 0 2 dx ℏ
U
Asinka = 0
(n = 1,2,3⋯)
o
a
x
nπ ψ ( x ) = A sin x a
( n = 1,2,3,...)
nπ ψ ( x ) = A sin x a
∞
(n = 1,2,3,...)
由归一化条件
∞ a *
nπ x ∫∞ψ ⋅ψ d x = ∫ A sin a d x = 1 − 0
|ψ | T= |ψ |
2 3 x =a 2 1 x =0
∝e
−2 a
2 m (U 0 − E )
ℏ
a↓    T↑ U 0 ↓ 
应用： 应用：隧道效应 扫描隧道显微镜
STM(Scanning Tunneling Microscope) 是观察固体表面原子情况 的超高倍显微镜。 的超高倍显微镜。
E1
o
a
x
o
a
x
Ψ (x , t )
E
4
ψ (x )
2
= 16 E
1
n=4 n=3 n=2 n=1 a x
n=4 n=3 n=2 n=1 a x
E
3
= 9E
1
E
2
= 4E
1
E1
o
o
两端为波节， 两端为波节， | Ψ |2 = 0， 粒子不能逸出势阱
阱内各位置粒子出现概率不同， 阱内各位置粒子出现概率不同，Ψ | 2 峰值处较大 | 能级越高，驻波波长越短， 能级越高，驻波波长越短，峰值数增多
]
ψ1 = A1 e + B1 e
ik1x
−ik1x
− ik 2 x
1
( x < 0)
( x > a)
U
通解: 通解
ψ 2 = A2 e
ik 2 x
1
+ B2 e
(0 ≤ x ≤ a )
U0
ψ 3 = A3 eik x + B3 e − ik x
处无反射波： 由 x > a 处无反射波： B 3 = 0 令 A1 = 1（以入射波强度为标准） 以入射波强度为标准） 由波函数的 标准条件得 O 可解得
U U
o
U
a
∞
o
a
求解问题的步骤： 求解问题的步骤： 1. 写出具体问题中势函数 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 的形式， 的形式 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。 设粒子在一维无限深方势阱运动 势函数 U(x) = 0 (0 < x < a) )
CSTM——9000型扫描隧道显微镜 型扫描隧道显微镜
STM特点： 特点： 特点
具有原子级高分辨率。 具有原子级高分辨率。 分辨率 xy方向 方向 z 方向 0.2nm 0.005nm 在原子尺度探测
§16-3 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中， 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题 →简化模型。 →简化模型 简化模型。 例如： 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简化：交换动量) 简 相互碰撞 (简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 无限深势阱
∆E = En +1 − En = (2n + 1)
π 2ℏ 2
2ma 2
E n=4
n ↑ ⇒ ∆E ↑ a ↑ ⇒ ∆E ↓
n=3 n=2 n=1
ma 2 >> ℏ 2 ⇒ ∆E → 0
回到经典情况，能量连续。 回到经典情况，能量连续。 o a
x
2) 粒子在势阱中的概率分布 经典： 势阱中U 经典： 势阱中 = 0，粒子匀速直线运动 粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等 量子： 量子： 振幅函数 ψ ( x ) = 2 sin nπ x
ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx
∞
由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件： 由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：
ψ (0) = ψ (a ) = 0
由ψ（0） 0 得 B = 0 = ψ ( x ) = A sin kx
由ψ(a) = 0 得 nπ k= a
a a
波函数 Ψ ( x, t ) = 2
a
i − Et nπx ℏ sin e
(n = 1,2,3,...)
a
2 2 nπx 概率密度 | Ψ ( x , t ) | =|ψ ( x ) | = sin a a
2 2
波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子 波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等， 出现的概率不相同。 出现的概率不相同。
1
(0 ≤ x ≤ a )
( x > a)
E i ( k1 x − t ) ℏ
ψ 3 = A3 eik x + B3 e − ik x
乘e
i − Et ℏ
第一项： 第一项：向x方向传播的波 [例 A1 e 方向传播的波 例
]
第二项： 第二项：向-x方向传播的波 [例 B1 e 方向传播的波 例
E −i ( k1x+ t ) ℏ
既透射， 既透射，也反射
( B1 ≠ 0 )
E < U0
既透射， 既透射，也反射
( A3 ≠ 0 )
U
入射波+反射波 入射波 反射波
U0 透射波
x O a 隧道效应： 总能量E小于势垒高度 小于势垒高度U 隧道效应： 总能量 小于势垒高度 0的粒子也 有可能贯穿势垒， 有可能贯穿势垒，到达另侧 贯穿系数： 贯穿系数：
2 1
d2ψ + k12ψ = 0 2 dx
d2ψ 2 + k 2ψ = 0 d x2
2m 2mE 2 令 k = 2 k2 = 2 (E −U0 ) ℏ ℏ ik1x −ik1x ψ1 = A1 e + B1 e ( x < 0)
通解: 通解
ψ 2 = A2 e
ik 2 x
1
+ B2 e
− ik 2 x
2 2πx p = ∫ |ψ | d x = ∫ sin dx a a 0 0
4 4 2 a a
2a πx 2 πx = ∫ sin d( ) aπ a a 0
4
a
1 πx 1 2 2 2π x = ( − sin ) π a 4 a
a
4
= 9.08 × 10 −2
0
练习： 练习
已知： 已知：
ψ = cx ( L − x )
L: 无限深势阱宽度，c 待定 无限深势阱宽度，
解：
求： 0 ~ L 区间发现粒子的概率。 区间发现粒子的概率。 3 由归一化条件
1 2 5 ∫ |ψ | dx = ∫ c x ( L − x) dx = 30 c L = 1 0 0
2 2 2 2 L L
得
L 3
30 c= L5
L 2 3
30 ψ = 5 x( L − x) L
o
a
x
ψ =0
粒子不能逸出势阱
2. 求解波函数 由
dψ 2 mE + ψ =0 2 2 dx ℏ
2
(0 <
x < a)
令 得 通解: 通解
2mE k = 2 ℏ
2
dψ 2 +k ψ =0 2 dx
2
ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx
积分常数
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 通解: 通解
*
(
)
d 2 ψ (x ) = 0 dx
x=0
处粒子的概率密度最大。 即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
二、势垒穿透和隧道效应 模型： 模型：金属表面的势能墙不是 无限高，而是有限值。 无限高，而是有限值。 势函数： 势函数： 0 x < 0, x > a
U (x ) =
U
U0
代入 得
d 2 ψ 2m + 2 ( E − U )ψ = 0 2 dx ℏ
A A2 ∞ 2 dx = ∫ dx = A arctg x − ∞ = A2π = 1 ∫∞ 1 + ix 1 + x2 − −∞
得：
∞
2
∞
A =
1
π
1 ψ (x ) = π (1 + ix )
2. 概率分布函数为： 概率分布函数为：
P =ψ
3. 令： 得：
(x)
2
1 = ψ ( x ) ⋅ψ ( x ) = π 1+ x2
2 2
−∞
∫
| ψ |2 d x = 1
2 A= a
于是： 于是：
nπ x 2 sin ψ ( x) = a a
i − Et ℏ
(n = 1,2,3,...)
(n = 1,2,3⋯)
2 nπ x Ψ ( x, t ) = sin ⋅e a a
注意： 注意： 解为驻波形式
4.讨论解的物理意义 .讨论解的物理意义 1) 无限深势阱中粒子的能量量子化 无限深势阱中粒子的能量量子化 nπ 由 k 2 = 2mE k= 2 a ℏ k 2ℏ 2 n 2π 2ℏ 2 得 E= = = n 2 E1 ( n = 1,2,3,...) 2 2m 2ma
(0)
a
x
ψ 1 (0) = ψ 2 (0) dψ 1 dψ 2
dx dx ψ 2 (a ) = ψ 3 (a ) (0) =
A2 , A3 B1 , B2
dψ 2 dψ 3 (a ) = (a ) dx dx
U
入射波+反射波 入射波 反射波
U0 透射波
O 经典
E > U0
a 量子
x
越过势垒， 越过势垒，只透 射，不反射 不能越过势垒， 不能越过势垒， 只反射， 只反射，不透射
| Ψ |2 相同，量子 → 经典 相同，
归一化条件， 归一化条件，曲线下面积相等
练习： 练习
粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动， 粒子在宽度为 的一维无限深势阱中运动，处于 的一维无限深势阱中运动 a n=1状态， 状态， 状态 求在0 ~ 区间发现该粒子的概率 。 4 2 2πx 2 解： |ψ | = sin a a
d 2 ψ 2mE + 2 ψ =0 2 dx ℏ
d 2 ψ 2m + 2 ( E − U 0 )ψ = 0 2 dx ℏ
U0
0≤ x≤a
O (x<0 x > a)
a
x
(0 ≤ x ≤ a )
d2 ψ 2mE + 2 ψ =0 2 dx ℏ
( x < 0, x > a)
(0 ≤ x ≤ a )
d2 ψ 2m + 2 ( E − U0 )ψ = 0 2 dx ℏ
E只能取一系列分离值 E1 只能取一系列分离值 n π 2ℏ 2 式中
2
E n=4 n=3 n=2 n=1
式中
E1 =
2ma
2
E , 最小能量 1即零点能
粒子不可能静止不动
o 满足不确定关系
a
x
由
k ℏ nπ ℏ E= = = n 2 E1 2 2m 2ma
2 2 2 2 2
( n = 1,2,3,...)
e
E
ikx
Ae ik ′x + Be − ik ′x − ikx V0 + Re
(透射波 ) 透射波
Te
0
ikx
a
xຫໍສະໝຸດ Baidu
隧道电流 I ∝ U b e − A φ x 隧道电流对针 尖与样品表面之间的距离x非常敏感 非常敏感。 尖与样品表面之间的距离 非常敏感。 电子显微镜的分辨率为： 电子显微镜的分辨率为：0.3 ~ 0.5nm 扫描隧道显微镜的分辨率为： 扫描隧道显微镜的分辨率为： 横0.1n m 纵0.01n m
30 2 17 2 p = ∫ |ψ | d x = ∫ 5 x ( L − x ) d x = = 0 .21 L 81 0 0
A 练习： 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ (x) = 方向运动， 1 + ix
1.将此波函数归一化； 将此波函数归一化； 将此波函数归一化 2.求出粒子按坐标的概率分布函数； 求出粒子按坐标的概率分布函数； 求出粒子按坐标的概率分布函数 3.在何处找到粒子的概率密度最大？ 在何处找到粒子的概率密度最大？ 在何处找到粒子的概率密度最大 解： 1. 由归一化条件