广东省深圳市南山区2016届高三数学上学期期末试卷理(含解析)

2021 -2021学年广东省深圳市南山区高三〔上〕期末
数学试卷〔理科〕
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求．
1．全集U=Z，集合A={1，6}，A∪B={2，0，1，6}，那么〔∁U A〕∩B=〔〕
A．∅ B．{3，4，5} C．{2，0} D．{1，6}
2．复数z=x+yi〔x、y∈R〕，且有，那么|z|=〔〕
A．5 B． C．3 D．
3．设a，b∈R，那么“a＞b＞1〞是“a﹣b＜a2﹣b2〞〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．二项式展开式中，假设常数项为60，那么m2n2值为〔〕A．2 B．3 C．4 D．6
5．实数x、y满足条件，那么z=x﹣y最小值为〔〕
A．1 B．﹣1 C．D．2
6．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录产量x〔吨〕与相应生产能耗y〔吨标准煤〕几组对应数据．根据下表提供数据，求出y关于x线性回归方程为+0.35，那么表中t值为〔〕x3456
y t4
7．设α是第二象限角，且，那么t an2α=〔〕
A．B．C．D．
8．阅读如下程序框图，运行相应程序，那么程序运行后输出i结果为〔〕
A．7 B．8 C．9 D．10
9．如图，在矩形ABCD中，，BC=1，沿AC将矩形ABCD 折叠，连接BD，所得三棱锥D﹣ABC正视图与俯视图如下图，那么三棱锥D﹣ABC侧视图面积为〔〕
A．B．C．D．
10．如图，F1，F2是双曲线下，上焦点，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径圆切线，P为切点，假设切线段PF2被一条渐近线平分，那么双曲线离心率为〔〕
A．3 B．2 C． D．
11．在△ABC中，A，B，C对边分别为a，b，c，a=10，，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，那么c=〔〕
A．15 B．5 C．3 D．25
12．椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕右焦点为F，短轴一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，假设|AF|+|BF|=4，点M到直线l距离不小于，那么椭圆E离心率取值范围是〔〕A．〔0，] B．〔0，] C．[，1〕D．[，1〕
二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13．设随机变量X服从正态分布N〔1，σ2〕，且P〔X≤a2﹣1〕=P 〔X＞a﹣3〕，那么正数a= ．
14．设a＞0，a≠1，那么“函数f〔x〕=a x在R上是减函数〞，是“函数g〔x〕=〔2﹣a〕x3在R上是增函数〞条件．〔在“充分不必要条件〞、“必要不充分〞、“充分必要〞、“既不充分有不必要〞中选一个填写〕
15．数列{a n}满足，a1=1，S n是数列{a n}前n 项与，那么S2021 = ．
16．函数f〔x〕=cos〔2x+φ〕〔|φ|＜〕图象向左平移个单位后关于原点对称，那么当函数f〔x〕在[0，]上取得最小值时，
x= ．
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．{a n}是一个单调递增等差数列，且满足是a2，a4等比中项，a1+a5=10．数列{b n}满足．
〔1〕求数列{a n}通项公式a n；
〔2〕求数列{b n}前n项与T n．
18．某市为了了解本市高中学生汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如下图，其中样本数据分组区间为[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]．
〔Ⅰ〕试估计全市学生参加汉字听写考试平均成绩；
〔Ⅱ〕如果从参加本次考试同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上〔含80分〕概率；
〔Ⅲ〕如果从参加本次考试同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上〔含80分〕人数记为X，求X分布列及数学期望．〔注：频率可以视为相应概率〕
19．如下图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2AP=2CD=2，E是棱PC上一点，且CE=2PE．
〔1〕求证：AE⊥平面PBC；
〔2〕求二面角A﹣PC﹣D大小．
20．如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x焦点F．〔Ⅰ〕假设点O到直线l距离为，求直线l方程；
〔Ⅱ〕设点A是直线l与抛物线C在第一象限交点．点B是以点F 为圆心，|FA|为半径圆与x轴负半轴交点．试判断直线AB与抛物线C位置关系，并给出证明．
21．函数f〔x〕=lnx﹣ax+，其中a为常数．
〔Ⅰ〕假设f〔x〕图象在x=1处切线经过点〔3，4〕，求a值；〔Ⅱ〕假设0＜a＜1，求证：；
〔Ⅲ〕当函数f〔x〕存在三个不同零点时，求a取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，那么按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号前方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如下图，PA为圆O切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC角平分线与BC与圆O分别交于点D与E．
〔1〕求证：．
〔2〕求AD•AE值．
[选修4-4：极坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xoy中，曲线C1参数方程为，〔α为参数〕，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为．
〔Ⅰ〕求曲线C1普通方程与曲线C2直角坐标方程；
〔Ⅱ〕设P为曲线C1上动点，求点P到C2上点距离最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f〔x〕=|2x﹣a|．
〔1〕当a=3时，解不等式，f〔x〕＜|x﹣2|．
〔2〕假设f〔x〕≤1解集为[0，1]，+=a〔m＞0，n＞0〕，求证：m+2n≥4．
2021 -2021学年广东省深圳市南山区高三〔上〕期末数学试卷〔理
科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求．
1．全集U=Z，集合A={1，6}，A∪B={2，0，1，6}，那么〔∁U A〕∩B=〔〕
A．∅ B．{3，4，5} C．{2，0} D．{1，6}
【考点】交、并、补集混合运算．
【分析】直接利用补集与交集运算进展求解即可得到答案
【解答】解：全集U=Z，集合A={1，6}，A∪B={2，0，1，6}，
∴集合B⊆A∪B，并且一定有0，2，
∴∁U A也一定有0，2，
∴〔∁U A〕∩B={0，2}．
应选：C．
2．复数z=x+yi〔x、y∈R〕，且有，那么|z|=〔〕
A．5 B． C．3 D．
【考点】复数求模．
【分析】利用复数乘法运算法那么化简复数，通过复数相等求出结果即可．
【解答】解：复数z=x+yi〔x、y∈R〕，且有，
x=1+y+〔y﹣1〕i，
解得y=1，x=2，
|z|=|2+i|=．
应选：B．
3．设a，b∈R，那么“a＞b＞1〞是“a﹣b＜a2﹣b2〞〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件判断．
【分析】根据不等式性质，利用充分条件与必要条件定义进展判断即可得到结论．
【解答】解：设命题p：a＞b＞1；那么a﹣b＞0，
命题q：a﹣b＜a2﹣b2化简得
〔a﹣b〕＜〔a+b〕〔a﹣b〕，
又∵a，b∈R，
∴p⇒q，q推不出p，
∴P是q充分不必要条件，
即“a＞b＞1〞是“a﹣b＜a2﹣b2〞充分不必要条件，
应选：A．
4．二项式展开式中，假设常数项为60，那么m2n2值为〔〕A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】二项式系数性质．
【分析】根据二项展开式通项公式T r+1，求出常数项表达式，即可求出m2n2值．
【解答】解：〔x+〕6二项展开式通项公式为：
T r+1=••=••n r•x6﹣3r，
令6﹣3r=0，
解得r=2；
所以展开式中常数项为：
•m2•n2=15m2n2=60，
解得m2n2=4．
应选：C．
5．实数x、y满足条件，那么z=x﹣y最小值为〔〕
A．1 B．﹣1 C．D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z纵截距，由几何意义可得．
【解答】解：由题意作出其平面区域，
将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z纵截距，
那么过点〔0，1〕时，z=x﹣y取得最小值，
那么z=0﹣1=﹣1，
应选B．
6．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录产量x〔吨〕与相应生产能耗y〔吨标准煤〕几组对应数据．根据下表提供数据，求出y关于x线性回归方程为+0.35，那么表中t值为〔〕x3456
y t4
【考点】回归分析初步应用．
【分析】先求出这组数据样本中心点，样本中心点是用含有t代数式表示，把样本中心点代入变形线性回归方程，得到关于t一次方程，解方程，得到结果．
【解答】解：∵
由回归方程知=，
解得t=3，
应选A．
7．设α是第二象限角，且，那么tan2α=〔〕A．B．C．D．
【考点】二倍角正切．
【分析】根据题意，利用同角三角函数根本关系算出sinα，可得tanα，再由二倍角正切公式加以计算，可得tan2α值．
【解答】解：∵，
∴sin2α=1﹣cos2α=．
又∵α是第二象限角，得sinα＞0，
∴sinα=，
由此可得tanα=﹣，因此tan2α==．
应选：D．
8．阅读如下程序框图，运行相应程序，那么程序运行后输出i结果为〔〕
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】程序框图．
【分析】由中程序框图可知：该程序功能是利用循环构造计算并输出变量i值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=lg，不满足退出循环条件，i=3；
再次执行循环体后，S=，不满足退出循环条件，i=5；
再次执行循环体后，S=，不满足退出循环条件，i=7；
再次执行循环体后，S=，不满足退出循环条件，i=9；
再次执行循环体后，S=，满足退出循环条件，
故输出i值为9，
应选：C
9．如图，在矩形ABCD中，，BC=1，沿AC将矩形ABCD 折叠，连接BD，所得三棱锥D﹣ABC正视图与俯视图如下图，那么三棱锥D﹣ABC侧视图面积为〔〕
A．B．C．D．
【考点】简单空间图形三视图．
【分析】由题意知平面ABD⊥平面BCD，三棱锥A﹣BCD侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过B与D向AC所做垂线，求出直角边长度，即可得侧视图面积．
【解答】解：由正视图与俯视图可知平面ABD⊥平面BCD，
三棱锥A﹣BCD侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过A 与C向BD所做垂线，
由面积相等可得直角边长为=，
∴侧视图面积为S△=×=．
应选：C．
10．如图，F1，F2是双曲线下，上焦点，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径圆切线，P为切点，假设切线段PF2被一条渐近线平分，那么双曲线离心率为〔〕
A．3 B．2 C． D．
【考点】双曲线简单性质．
【分析】由F2〔0，c〕，直线PF2：y﹣c=﹣，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径圆方程为x2+〔y+c〕2=c2，联立，求出P，从而求出M，由此能求出双曲线离心率．
【解答】解：∵F1，F2是双曲线下，上焦点，过F2点作以F1为圆心，
|OF1|为半径圆切线，P为切点，假设切线段PF2被一条渐近线平分，∴F2〔0，c〕，|F1F2|=2c，|PF1|=c，∴直线PF2斜率k=﹣，∴直线PF2：y﹣c=﹣，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径圆方程为x2+〔y+c〕2=c2，
联立，得P〔，﹣c〕，
∴M〔，〕，
∵切线段PF2被一条渐近线平分，∴M〔，〕在渐近线y=上，∴，∴b=，∴c2=a2+b2=4a2，c=2a，
∴双曲线离心率为e=．
应选：B．
11．在△ABC中，A，B，C对边分别为a，b，c，a=10，，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，那么c=〔〕
A．15 B．5 C．3 D．25
【考点】余弦定理应用；三角形中几何计算．
【分析】先根据等差数列性质，以及正弦定理与两角与正弦公式求出B=60°，再根据余弦定理即可求出c值．
【解答】解、∵acosC、bcosB、ccosA成等差数列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
由正弦定理==，
∴2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin〔A+C〕=sinB，
∵A，B，C为△ABC内角，
∴sinB≠0，
∴cosB=，
∴B=60°，
由余弦定理，可得b2=a2+c2﹣2accosB，a=10，，
∴c2﹣10c﹣15=0，
解得c=15，
应选：A．
12．椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕右焦点为F，短轴一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，假设|AF|+|BF|=4，点M到直线l距离不小于，那么椭圆E离心率取值范围是〔〕A．〔0，] B．〔0，] C．[，1〕D．[，1〕
【考点】直线与圆锥曲线关系．
【分析】如下图，设F′为椭圆左焦点，连接AF′，BF′，那么四边形AFBF′是平行四边形，可得
4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M〔0，b〕，由点M到直线l距离不小于，可得，解得b≥1．再利用离心率计算公式e==即可得出．
【解答】解：如下图，设F′为椭圆左焦点，连接AF′，BF′，那么四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M〔0，b〕，∵点M到直线l距离不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．
∴椭圆E离心率取值范围是．
应选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13．设随机变量X服从正态分布N〔1，σ2〕，且P〔X≤a2﹣1〕=P 〔X＞a﹣3〕，那么正数a= ﹣3或2 ．
【考点】正态分布曲线特点及曲线所表示意义．
【分析】根据正态曲线关于x=1对称，得到两个概率相等区间关于x=1对称，得到关于a方程，解方程即可．
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N〔1，σ2〕，且P〔X≤a2﹣1〕=P〔X＞a﹣3〕，
∴a2﹣1+a﹣3=2，
∴a=﹣3或2，
故答案为：﹣3或2．
14．设a＞0，a≠1，那么“函数f〔x〕=a x在R上是减函数〞，是“函数g〔x〕=〔2﹣a〕x3在R上是增函数〞充分不必要条件．〔在“充分不必要条件〞、“必要不充分〞、“充分必要〞、“既不充分有不必要〞中选一个填写〕
【考点】必要条件、充分条件与充要条件判断．
【分析】根据函数f〔x〕=a x在R上是减函数求出a范围，代入函数g〔x〕=〔2﹣a〕x3，分析函数增减性，然后根据函数g〔x〕=〔2﹣a〕x3在R上是增函数，求出a范围，判断函数f〔x〕=a x在R上是否为减函数．
【解答】解：由函数f〔x〕=a x在R上是减函数，知0＜a＜1，此时2﹣a＞0，所以函数g〔x〕=〔2﹣a〕x3在R上是增函数，
反之由g〔x〕=〔2﹣a〕x3在R上是增函数，那么2﹣a＞0，所以a＜2，此时函数f〔x〕=a x在R上可能是减函数，也可能是增函数，故“函数f〔x〕=a x在R上是减函数〞是“函数g〔x〕=〔2﹣a〕x3在R上是增函数〞充分不必要条件．
故答案为充分不必要．
15．数列{a n}满足，a1=1，S n是数列{a n}前n 项与，那么S2021 = ﹣1 ．
【考点】数列递推式．
【分析】由数列{a n}满足，a1=1，可得a4k﹣3=1，a4k﹣2=﹣1，a4k﹣1=﹣1，a4k=1，k∈N*．即可得出．
【解答】解：∵数列{a n}满足，a1=1，
∴a2=﹣1，a3=﹣1，a4=1，a5=1…，
∴a4k﹣3=1，a4k﹣2=﹣1，a4k﹣1=﹣1，a4k=1，k∈N*．即数列各项值呈周期性出现
∴S2021 =503×〔1﹣1﹣1+1〕+〔1﹣1﹣1〕=﹣1．
故答案为：﹣1．
16．函数f〔x〕=cos〔2x+φ〕〔|φ|＜〕图象向左平移个单位后关于原点对称，那么当函数f〔x〕在[0，]上取得最小值时，x= ．
【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕图象变换．
【分析】由条件根据函数y=Acos〔ωx+φ〕图象变换规律，余弦函数图象对称性可得+φ=kπ+，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ值．得到函数解析式即可得解．
【解答】解：函数f〔x〕=cos〔2x+φ〕〔|φ|＜〕图象向左平移
个单位后得到函数解析式是：y=cos[2〔x+〕+φ]=cos〔2x++φ〕，∵函数图象关于原点对称，
∴可得+φ=kπ+，k∈z，
∵|φ|＜，
∴可解得：φ=，即有：f〔x〕=cos〔2x+〕．
由题意x∈[0，]，得2x+∈[，]，
∴cos〔2x+〕∈[﹣1，]，即有当2x+=π即x=时，函数f 〔x〕=cos〔2x+〕在区间[0，]取最小值为﹣1．
故答案为：．
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．{a n}是一个单调递增等差数列，且满足是a2，a4等比中项，a1+a5=10．数列{b n}满足．
〔1〕求数列{a n}通项公式a n；
〔2〕求数列{b n}前n项与T n．
【考点】数列求与．
【分析】〔1〕设等差数列{a n}公差为d，运用等比数列中项性质与等差数列通项公式即可得出；
〔2〕利用数列求与方法：“错位相减法〞与等比数列前n项与公式即可得出．
【解答】解：〔1〕设等差数列{a n}公差为d，那么依题知d＞0．
由2a3=a1+a5=10，又可得a3=5．
由是a2，a4等比中项，可得a2a4=21，
得〔5﹣d〕〔5+d〕=21，可得d=2．
∴a1=a3﹣2d=1．可得a n=2n﹣1〔n∈N*〕；
〔2〕由〔1〕得=〔2n﹣1〕•〔〕n，
∴T n=1•+3•+5•+…+〔2n﹣1〕•〔〕n，①
∴T n=1•+3•+5•+…+〔2n﹣1〕•〔〕n+1，②
①﹣②得，T n=+2〔++…+〔〕n〕﹣〔2n﹣1〕•〔〕n+1 =+2•﹣〔2n﹣1〕•〔〕n+1，
∴T n=3﹣．
18．某市为了了解本市高中学生汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如下图，其中样本数据分组区间为[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，[90，100]．
〔Ⅰ〕试估计全市学生参加汉字听写考试平均成绩；
〔Ⅱ〕如果从参加本次考试同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上〔含80分〕概率；
〔Ⅲ〕如果从参加本次考试同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上〔含80分〕人数记为X，求X分布列及数学期望．〔注：频率可以视为相应概率〕
【考点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量期望与方差．
【分析】〔Ⅰ〕根据频率分布直方图，计算数据平均数即可；〔Ⅱ〕计算被抽到同学考试成绩在80〔分〕以上概率；
〔Ⅲ〕得出X可能取值，求出X分布列与期望E〔X〕．
【解答】解：〔Ⅰ〕估计全市学生参加汉字听写考试平均成绩为：
×55+×65+×75+×85+×95=76.5；…
〔Ⅱ〕设被抽到这名同学考试成绩在80〔分〕以上为事件A．
×10+×10=0.4；
∴被抽到这名同学考试成绩在80〔分〕以上概率为0.4；…〔Ⅲ〕从参加考试同学中随机抽取1名同学成绩在80〔分〕以上概率为P=；
X可能取值是0，1，2，3；
∴P〔X=0〕=••=；
P〔X=1〕=•=；P〔X=2〕=••=；
P〔X=3〕=••=；
∴X分布列为：
X0123
P
所以E〔X〕=0×+1×+2×+3×=；…
〔或X～B〔3，〕，
∴E〔X〕=np=3×=．
19．如下图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2AP=2CD=2，E是棱PC上一点，且CE=2PE．
〔1〕求证：AE⊥平面PBC；
〔2〕求二面角A﹣PC﹣D大小．
【考点】二面角平面角及求法；直线与平面垂直判定．
【分析】〔1〕先证BC⊥平面PAC，可得AE⊥BC，再用勾股定理逆定理证AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PBC．
〔2〕设AC中点为O，CE中点为M，连DO，OM，DM，由三垂线逆定理知DM⊥PC，∠OMD为二面角A﹣PC﹣D平面角，由此能求出二面角A﹣PC﹣D大小．
【解答】证明：〔1〕∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC ⊥PA，
∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，
AB=2AD=2AP=2CD=2，
∴AC=BC==，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，∴AE⊥BC，
PC==，
∵E是棱PC上一点，且CE=2PE，
∴PE=，CE=，
∴PA2﹣PE2=AC2﹣CE2，∴AE⊥PC，
∵BC∩PC=C，∴AE⊥平面PBC．
解：〔2〕设AC中点为O，CE中点为M，连DO，OM，DM，
那么OM∥AE，DO⊥平面PAC，由〔1〕知AE⊥PC，∴OM⊥PC，由三垂线逆定理知DM⊥PC，∠OMD为二面角A﹣PC﹣D平面角，∴∠OMD=60°，
∴二面角A﹣PC﹣D大小60°．
20．如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x焦点F．〔Ⅰ〕假设点O到直线l距离为，求直线l方程；
〔Ⅱ〕设点A是直线l与抛物线C在第一象限交点．点B是以点F 为圆心，|FA|为半径圆与x轴负半轴交点．试判断直线AB与抛物线C位置关系，并给出证明．
【考点】直线与圆锥曲线关系；抛物线标准方程．
【分析】法一：〔Ⅰ〕抛物线焦点F〔1，0〕，当直线l斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y=k〔x ﹣1〕，所以，由此能求出直线l方程．
〔Ⅱ〕直线AB与抛物线相切．设A〔x0，y0〕，那么．因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B〔﹣x0，0〕，由此能够证明直线AB与抛物线相切．
法二：〔Ⅰ〕同解法一．
〔Ⅱ〕直线AB与抛物线相切，设A〔x0，y0〕，那么
．设圆方程为：由此能够证明直线AB与抛物线相切．
【解答】解法一：〔Ⅰ〕抛物线焦点F〔1，0〕，…
当直线l斜率不存在时，即x=1不符合题意．…
当直线l斜率存在时，
设直线l方程为：y=k〔x﹣1〕，即kx﹣y﹣k=0．…
所以，，解得：．…
故直线l方程为：，即．…
〔Ⅱ〕直线AB与抛物线相切，证明如下：…
〔法一〕：设A〔x0，y0〕，那么．…
因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B〔﹣x0，0〕．…
所以直线AB方程为：，
整理得： (1)
把方程〔1〕代入y2=4x得：，…
所以直线AB与抛物线相切．…
解法二：〔Ⅰ〕同解法一．
〔Ⅱ〕直线AB与抛物线相切，证明如下：…
设A〔x0，y0〕，那么．…
设圆方程为：，…
当y=0时，得x=1±〔x0+1〕，
因为点B在x轴负半轴，所以B〔﹣x0，0〕．…
所以直线AB方程为，
整理得： (1)
把方程〔1〕代入y2=4x得：，…
所以直线AB与抛物线相切．…
21．函数f〔x〕=lnx﹣ax+，其中a为常数．
〔Ⅰ〕假设f〔x〕图象在x=1处切线经过点〔3，4〕，求a值；〔Ⅱ〕假设0＜a＜1，求证：；
〔Ⅲ〕当函数f〔x〕存在三个不同零点时，求a取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点判定定理；利用导数研究函数单调性．
【分析】〔Ⅰ〕求出原函数导函数，得到f'〔1〕=1﹣2a，又，得1﹣2a=2，求得a=；
〔Ⅱ〕求出，构造函数
，由导数求得得答案；〔Ⅲ〕求出原函数导函数，然后分a≤0，a，0三种情况讨论f〔x〕零点个数．
【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕=lnx﹣ax+，∴，∴f'〔1〕=1﹣2a，
又，∴1﹣2a=2，a=；
令，
那么，
∴x∈〔0，1〕时，g'〔x〕＜0，g〔x〕单调递减，
故x∈〔0，1〕时，，
∴当0＜a＜1时，；
①当a≤0时，在〔0，+∞〕上，f'〔x〕＞0，f〔x〕递增，
∴f〔x〕至多只有一个零点，不合题意；
②当a时，在〔0，+∞〕上，f′〔x〕≤0，f〔x〕递减，
∴f〔x〕至多只有一个零点，不合题意；
③当0时，令f′〔x〕=0，得，
此时，f〔x〕在〔0，x1〕上递减，〔x1，x2〕上递增，〔x2，+∞〕上递减，
∴f〔x〕至多有三个零点．
∵f〔x〕在〔x1，1〕递增，∴f〔x1〕＜f〔1〕=0，
又∵，
∴，使得f〔x0〕=0，
又，
∴恰有三个不同零点：，
∴函数f〔x〕存在三个不同零点时，a取值范围是．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，那么按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号前方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如下图，PA为圆O切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC角平分线与BC与圆O分别交于点D与E．
〔1〕求证：．
〔2〕求AD•AE值．
【考点】与圆有关比例线段．
【分析】〔1〕由弦切角定理推导出△PAB～△PCA，由此能证明．
〔2〕由切割线定理得PA2=PB•PC，由AE是∠BAC角平分线，得△AEC～△ABD，由此能求出AD•AE值．
【解答】证明：〔1〕∵PA为圆O切线，∴∠PAB=∠ACP，
又∠P为公共角，∴△PAB～△PCA，
解：〔2〕∵PA为圆O切线，BC是过点O割线，
∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，
又∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，
又由〔1〕知，∴，，
∵AE是∠BAC角平分线，且∠AEC=∠ABD，∴△AEC～△ABD，[选修4-4：极坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xoy中，曲线C1参数方程为，〔α为参数〕，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为．
〔Ⅰ〕求曲线C1普通方程与曲线C2直角坐标方程；
〔Ⅱ〕设P为曲线C1上动点，求点P到C2上点距离最小值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线极坐标方程．
【分析】〔I〕利用cos2α+sin2α=1消参数得到C1普通方程，将极坐标方程左侧展开即可得到直角坐标方程；
〔II〕利用C1参数方程求出P到C2距离，根据三角函数性质求出距离最小值．
【解答】解：〔I〕由得cosα=，sinα=y．∴曲线C1普通方程是．∵，∴ρsinθ+ρcosθ=8．即x+y﹣8=0．∴曲线C2直角坐标方程时x+y﹣8=0．
〔II〕设P点坐标〔，sinα〕，∴P到直线C2距离
d==，
∴当sin〔α+〕=1时，d取得最小值=3．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f〔x〕=|2x﹣a|．
〔1〕当a=3时，解不等式，f〔x〕＜|x﹣2|．
〔2〕假设f〔x〕≤1解集为[0，1]，+=a〔m＞0，n＞0〕，求证：m+2n≥4．
【考点】不等式证明．
【分析】〔1〕对不等式两边平方、整理，再由二次不等式解法即可得到；
〔2〕求出f〔x〕≤1解集，由题意解得a=1，即，再运用乘1法与根本不等式即可得证．
【解答】解：〔1〕当a=3时，不等式变形为|2x﹣3|＜|x﹣2|，两边平方整理得3x2﹣8x+5＜0，解得，
所以不等式解集为
〔2〕证明：由f〔x〕≤1得，
由f〔x〕≤1解集为[0，1]，
可得=0，=1，
解得a=1，那么，
所以，
当且仅当m=2n=2，取得等号．。