(浙江)中考数学总复习 第六章 图形的性质(二)第26讲 几何作图

4．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； (2)作三角形的内切圆； (3)作圆的内接正方形和正六边形． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型．
1．两种画图方法 对于一个既不属于尺规基本作图，又不属于已知条件为边角边、角边角 、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，可以分析图形中是 否有属于上述情况的三角形，先把它作出来，再发展成整个图形，这种 思考方法，称为三角形奠基法；也可以按求作图形的要求，一步一步地 直接画出图形，这时，关键的点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定，称 为交会法．事实上，往往把三角形奠基法和交会法结合使用． 2．三点注意 (1)一般的几何作图，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤， 完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中要注意作图语句的规范 和最后的作图结论． (2)根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图形，再 寻找图形的性质，然后作图或设计方案． (3)实际问题要理解题意，将实际问题转化为数学问题．
4．(深圳)如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取 一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是( ) D
,A) ,C)
,B) ,D)
解：(1)共9种：(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，3，4)，(2，4， 4)，(3，3，3)，(3，3，4)，(3，4，4)，(4，4，4)． (2)由(1)可知，只 有(2，3，4)，即a＝2，b＝3，c＝4时满足a＜b＜c.如图的△ABC即为满 足条件的三角形．
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第26讲 几何作图
1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺． 2．基本作图 (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过一点作已知直线的垂线． 3．利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
正解 如图，(1)作∠EAF＝∠α (2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取 AD＝a (3)过D作MN⊥AG，MN与AE，AF分别交于B，C.则△ABC即 为所求作的等腰三角形．
试题 尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：∠α，线段a. 求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a.
错解 如图，(1)作∠EAF＝∠α； (2)作 AG 平分∠EAF，并在 AG 上截取 AD＝a； (3)过 D 画直线 MN 分别交 AE，AF 于 C，B，△ABC 为所求作的等腰 三角形． 剖析 上述画法考虑 AD 平分∠BAC，等腰三角形顶角的平分线与底边 上的高重合，但是画法(3)没有注意到要使 AD⊥BC，也难以使 AB＝AC.
∠AOF＝∠COE，在△AOF 和△COE 中，∠OAF＝AOO＝C，∠ECO，∴△AOF ∠AOF＝∠COE，
≌△COE(ASA), ∴OF＝OE，即 AC 和 EF 互相垂直平分，∴四边形 AECF
的形状为菱形．
通过画图确定圆心
︵ 【例 3】 (2015·孝感)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)．
km，解得 CD＝2 km.∴点 C 到公路 ME 的距离为 2 km.
解：如图所示，四边形 AECF 的形状为菱形．理由如下：∵AB＝AC，∴
∠ABC＝∠ACB，∵AM 平分∠DAC，∴∠DAM＝∠CAM，而∠DAC＝
∠ABC＋∠ACB，∴∠CAM＝∠ACB，∵EF 垂直平分 AC，∴OA＝OC，
解：(1)如图．
(2)作 CD⊥MN 于点 D，由题意得：
∠CMN＝30°，∠CND＝45°，∵在 Rt△CMD 中，MCDD＝tan∠CMN，
∴MD＝CD3 ＝ 3CD；∵在 Rt△CND 中，DCDN＝tan∠CNM，∴ND＝C1D＝
3
CD；∵MN＝2( 3＋1) km，∴MN＝MD＋DN＝ 3CD＋CD＝2( 3＋1)
︵ (1)用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心 O；(要求保留作图痕迹，不写作
法)
︵
︵
(2)若AB的中点 C 到弦 AB 的距离为 20 m，AB＝80 m，求AB所在圆的
半径．
解：(1)如图①，点 O 为所求 ︵
(2)连结 OA，OC，OC 交 AB 于 D，如图②，∵C 为AB的中点，∴OC⊥
AB，∴AD＝BD＝12AB＝40(m)，设⊙O 的半径为 r m，则 OA＝r，OD＝ OC－CD＝r－20，在 Rt△OAD 中，∵OA2＝OD2＋AD2，∴r2质画图 【例2】 两个城镇A，B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME 是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发 射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也 必须相等，且在∠FME的内部．
(1)那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点 C.(不 写已知、求作、作法，只保留作图痕迹) (2)设 AB 的垂直平分线交 ME 于点 N，且 MN＝2( 3＋1) km，在 M 处测 得点 C 位于点 M 的北偏东 60°方向，在 N 处测得点 C 位于点 N 的北偏 西 45°方向，求点 C 到公路 ME 的距离．
3．六个步骤 尺规作图的基本步骤： (1)已知：写出已知的线段和角，画出图形； (2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化； (3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程， 但图中必须保留基本作图的痕迹； (4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知 的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设 条件； (5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况 下，问题有一个解、多个解或者没有解； (6)结论：对所作图形下结论．
︵ ＋402，解得 r＝50，即AB所在圆的半径是 50 m.
【点评】 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，在上另找一 点C，分别画弦AC，BC的垂直平分线，交点即为圆心O.
解：①作∠ACB 的平分线 CD
②在 CD 上截取 CO＝a. ③作 OE⊥CA 于 E，以 O 为圆心，OE 长为半径作圆 如图所示：⊙O 即为所求．