2024年陕西省汉中市中考二模数学试题(含答案)

汉中市2024年初中学业水平考试模拟卷（二）
数学
注意事项：
1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

全卷共6页，总分120分。

考试时间120分钟。

2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B 铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A 或B ）。

3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。

4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。

5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共21分）
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分.每小题只有一个选项是符合题意的）1.
的绝对值是（ ）A.8 B. C.-8 D.2.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A.
B. C. D.3.计算：（ ）A. B. C. D.4.一次函数（b 为常数）的图象关于y 轴对称后经过点（2，-3），则b 的值是（
）A.1 B.-1 C.5 D.-5
5.如图，在等边中，延长BC 到点E ，连接
AE ，若，，则AB 的长为（ ）
A. B. C. D.3
6.如图，内接于
，EF 为的直径，，连接AF
，若，，则的度数为（
）
18
-18-18
()()2324x y
xy -÷=212xy 212xy -22xy -12
xy -2y x b =+ABC △AE =15CAE ∠=︒ABC △O O EF BC ⊥40B ∠=︒60C ∠=︒AFE ∠
A.10°
B.15°
C.20°
D.30°7.二次函数（b 、c 为常数）的图象与x 轴交于，两点，则二次函数的
最小值为（
）A.4 B.-4 D.2 C.-2
第二部分（非选择题 共99分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8.实数，0，1，-2中，最小的数是___________.
9.已知与互余，，则___________°.
10.如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为_________.
11.在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点，点E 为AB 的中点，连接OE.若，则OE 的长为__________cm.
12.如果反比例函数（是常数）的图象在第二、四象限，那么的取值范围是__________.13.如图，在矩形ABCD 中，，点M 是边AB 上的动点，点N 是射线BC 上的动点，且
，连接AN ，CM
，则的最小值为__________.三、解答题（共14小题，计81分.解答应写出过程）
14.（本题满分4分）
解不等式组：15.（本题满分4分）
2y x bx c =++()2,0A m -()2,0B m +1∠2∠155∠=︒2∠=O 6cm AD =34a y x
+=
a a 26AB BC ==2BN AM =12AN CM +20,41.3
6x x x +≥⎧⎪-⎨+<⎪⎩
计算：
16.（本题满分4分）
先化简，再求值：，其中.17.（本题满分4分）
如图，已知，分别延长CA 、CB ，请利用尺规作图法在CA 的延长线上求作一点D ，使得BA 平分∠.（不写作法，保留作图痕迹）
18.（本题满分4分）观察下列各个式子的规律：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
…
请用上述等式反应出的规律解决下列问题：
（1）请直接写出第4个等式____________；
（2）智慧小组的同学猜想第n 个等式是：，请你验证智慧小组同学的猜想是否正确.
19.（本题满分5分）
如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边AD 上，点G 、H 分别在边AB 、CD 上，且，连接HE 、FG 交于点Q ，，求证：.20.（本题满分5分）
一个不透明的盒子里装有3枚黑棋子，2枚白棋子，这些棋子除颜色外都相同.小华和小溪利用这些棋子做游戏，他们设计的游戏规则为：将棋子搅匀，小华先从盒子里随机摸出1枚棋子，记下颜色，放回搅匀，小溪再从盒
)2
1112-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭223111m m m m m ⎛⎫-+-+÷ ⎪⎝⎭
3m =ABC △CBD ∠2151001225=⨯⨯+2251002325=⨯⨯+2
351003425=⨯⨯+()()2105100125n n n +=++AE BG =HE FG ⊥HE FG =
子里随机摸出1枚棋子，记下颜色.摸出黑棋子得1分，摸出白棋子得2分.若他们的得分之和为2，则小华胜，若他们的得分之和为3，则小溪胜，其他情况视为平局.
（1）从盒子中随机摸出1枚棋子，则摸出的这枚棋子是_________棋子的可能性较小；（填“黑”或“白”）
（2）这个游戏规则对小华和小溪双方公平吗?请利用画树状图法或列表法说明理由.
21.（本题满分5分）
《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”.现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?
22.（本题满分6分）
张悦和李玲合作测量天汉楼的高度AB ，如图，张悦在D 处竖立标杆CD ，然后她向后退，恰好退到F 处、此时她的眼睛E 看到点C 和点A 在一条直线上，张悦的眼睛到地面的高度，，；李玲站在H 处，在G 处用测角仪测得点A 的仰角，，.已知点B 、
D 、F 、H 在同一水平线上，，，，，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程及数据求出天汉楼的高度AB .（参考数据：，，）
23.（本题满分7分）
【问题背景】
尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程.
【收集信息】
张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①
.
1.5m EF = 1.6m DF =3m CD =42α=︒ 1.5m GH =3m FH =AB BH ⊥CD BH ⊥EF BH ⊥GH BH ⊥sin 420.67︒≈cos 420.74︒≈tan 420.90︒≈
【建立模型】
张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点.折线表示观光车到终点的路程y （km ）与行驶时间x （h ）之间的关系.
【解决问题】
（1）请求出线段CD 表示的函数表达式；
（2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间.
24.（本题满分7分）
水是人体细胞的主要成分之一.喝水是维持生命体新陈代谢的重要一环，科学饮水很重要.某实践小组想了解全校学生喝水情况，随机抽取该校25位学生调查他们平均每天的饮水量（单位：L ）.
【数据收集】随机抽取的25位学生平均每天的饮水量：
1 1 1.5
2 1 2 1 1.5 2.5 2.5
3 1.5 1.5
2 1.5 2.5 2 2 2 2.5 2 2.5
3 2 1.5
【数据整理】将收集的数据进行整理统计并绘制了如图所示不完整的统计图：
【任务要求】请根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）所抽取学生平均每天饮水量的众数是________L ，中位数是__________L ；
（3）该校共有1200名学生，请你估计这1200名学生平均每天的饮水总量.
25.（本题满分8分）
如图，是的外接圆，AB 是的直径，的弦AD 、CF 交于点G ，于点E ，过点D 作的切线DH 交CF 的延长线于点H ，.
（1）求证：；
（2）若
，，求直径AB 的长.AB BC CD --O ABC △O O CF OA ⊥O AC GC =AC DH ∥3sin 5
H =3AE =
26.（本题满分8分）
已知抛物线：与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作轴交抛物线于另一点D .
（1）求抛物线L 的对称轴及点D 的坐标；
（2）将抛物线L 沿x 轴向右平移得到新抛物线，点A 、B 平移后的对应点分别是E 、F ，是否存在新抛物线使得以点C 、D 、E 、B 为顶点的四边形是平行四边形；若存在，请求出所有符合条件的新抛物线的函数表达式；若不存在，请说明理由.
27.（本题满分10分）
（1）如图①，矩形ABCD 的面积为S ，请在矩形内部找一点E ，并画出点E ，使得
的面积为；（画出一点即可）
（2）如图②，在等腰中，顶角，点D 是BC 的中点，连接AD ，过点D 作于点B ，交AC 于F .求证：；（3）如图③，李师傅有一块形如五边形ABCDE 的钢板，其中，，，
，，，.点P 是钢板内的一动点，的面积为，连接PE ，点M 是PE 的中点，现要从该钢板上切割出一个四边形部件MGEF ，点G 、F 分别在DE 、AE 上，，，切痕分别为MF 、MG ，现要对切痕MF 、MG 进行处理，需要知道切痕的总长，请你帮李师傅求出切痕的长.
L 214433
y x x =-++CD x ∥EAD △4S ABC △30BAC ∠=︒DE AB ⊥DF AB ∥12
DE DF =60BAE ∠=︒AE CD ∥AB ED ∥150ABC ∠=︒2dm AB =3dm BC =4dm CD =PBC △23dm 2
60FMG ∠=︒90MGE ∠=︒MF MG +
汉中市2024年初中学业水平考试模拟卷（二）
数学参考答案及评分标准
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.D
2.C
3.B
4.A
5.C
6.A
7.B
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8. 9.35 10.4 11.3 12.13.【解析】连接DM ，
∵，，∴，∴，∴，延长DA 至点，使，连接，则，
∵，∴当点M 为与AB 的交点时，取最小值.
∴
即的最小值为.三、解答题（共14小题，计81分.
解答应写出过程）14.解：解不等式得，，解不等式得，，∴不等式组的解集为.15.解：原式
43
a <-12
AB BN AD AM ==90ABN DAM ∠=∠=︒ABN DAM ∽△△12DM AD AN AB ==12
AN CM DM CM +=+D 'AD AD '=D M 'DM D M '=DM CM D M CM '+=+CD 'DM CM +CD '=
=12
AN CM +20x +≥2x ≥-4136
x x -+<2x <22x -≤<514=--+=
16.解：原式
.当时，原式.17.解：点D 如图所示.
注：①答案中线条为实线或虚线均不扣分；②没有写出结论不扣分.
18.解：（1）（2）观察智慧小组的同学猜想的等式符合所给的三个等式，
左边，右边，左边=右边，
∴智慧小组的同学猜想正确.
19.证明：在正方形ABCD 中，，，
∴∵，即，∴，∴.
∵，∴，即，
∴，
∴.
20.解：（1）白.
（2）画树状图如下.
由图可得，共有25种等可能的结果，其中得分之和为2的情况有9种，得分之和为3的情况有12种，∴P （小华胜），P （小溪胜），∵，∴这个游戏规则对小华和小溪双方不公平.
21.解：设母鸡有x 只，则公鸡有只，小鸡有（只），
()()()22213111111
m m m m m m m m m m m m m --++--=÷=⋅=+-+3m =31213142
-===+2
451004525
=⨯⨯+()2210510010025n n n =+=++()210012510010025n n n n =++=++AD AB =90A D ∠=∠=︒90HED EHD ∠+∠=︒
HE FG ⊥90EQF ∠=︒90HED AFG ∠+∠=︒EHD AFG ∠=∠AE BG =AD AE AB BG -=-DE AG =()AAS HDE FAG ≌△△HE FG =925=
1225=9122525
≠3x 10031004x x x --=-
根据题意列方程为：.
解得，
∴，，
∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只.
22.解：过点G 作于点，交CD 于点P ，
由题可得，点E 在上，，，，，
，
在中，，
∴，∴.
，，
∴
，∴，即，解得，
∴.
∴天汉楼的高度AB 为69米.
23.解：（1）设线段CD 表示的函数表达式为，
把点（3，24），（4.5，0）代入，得
解得∴线段CD 表示的函数表达式为.
（2）由图可得，当时，，解得，
10043531003x
x x -+⨯+=4x =312x =100484x -=GO AB ⊥O OG 1.5OB PD EF GH ====3EG FH == 1.6PE DF ==OE BF =1.5CP CD PD =-=Rt AOG △tan AO
AGO OG ∠=tan 420.9AO
AO
OG =≈︒30.9AO
OE OG EG =-=-90AOE CPE ∠=∠=︒AEO CEP ∠=∠AOE CPE ∽△△AO
OE
CP PE =3
0.91.5 1.6AO
AO -=67.5AO =69AB AO OB =+=y kx b =+y kx b =+324,4.50.k b k b +=⎧⎨+=⎩16,
72.
k b =-⎧⎨=⎩1672y x =-+40y =167240x -+=2x =
∴2-1=1（小时），
∴观光车在景点甲停留了1小时.
24.解：（1）补全条形统计图如图：
（2）2 2
（3）所抽取学生平均每天饮水量的平均数为
∴估计这1200
名学生平均每天的饮水总量为
.25.（1）证明：连接OD ，∵DH 是的切线∴，即，
∴.
∵于点E ，即，∴.∵，∴，∴.
∵，∴，∴，∴.
（2）解：∵.∴.∴，∵，∴.
∵AB 是的直径，∴，
∴，
∴，∴.26.解：（1）抛物线的对称轴为直线，当时，，∴，
由题意可得，点C 、D 关于抛物线的对称轴对称，
()14 1.5628 2.5532 1.9L 25
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=O OD DH ⊥90ODH ∠=︒90ODA GDH ∠+∠=︒CF OA ⊥90GEA ∠=︒90OAD EGA ∠+∠=︒OA OD =ODA OAD ∠=∠GDH CGA ∠=∠AC GC =CGA CAG ∠=∠CAG GDH ∠=∠AC DH ∥AC DH ∥ACG H ∠=∠3sin sin 5AE H ACG AC =∠==3AE =5AC =O 90ACB CEA ∠=∠=︒90B BAC ACG BAC ∠+∠=∠+∠=︒3sin sin 5AC B ACG AB =∠==253
AB =4
32123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
0x =4y =()0,4C
∴.
（2）∵，∴，
∵点B 、E 都在x 轴上，∴，
∴当时，以点C 、D 、E 、B 为顶点的四边形是平行四边形.
令，则，解得，，∴，，∴，
将抛物线L 化为顶点式为，当点E 在点B 的左侧时，，∴将抛物线L 向右平移4个单位长度时，以点C 、D 、E 、B 为顶点的四边形是平行四边形，
此时平移后的抛物线为
.当点E 在点B 的右侧时，，∴将抛物线L 向右平移12个单位长度时，以点C 、D 、E 、B 为顶点的四边形是平行四边形，
此时平移后的抛物线为.综上，存在新抛物线使得以点C 、D 、E 、B 为顶点的四边形是平行四边形，新抛物线的函数表达式为或.27.解：（1）连接AC 、BD 交于点E ，点E 即为所求.过点E 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于点F 、G ，如图①，点E 在FG 上任意一点均正确，端点除外.
（2）证明：如图②，过点D 作于点H ，
()4,4D ()4,4D 4CD =CD BE ∥4CD BE ==0y =2144033
x x -++=12x =-26x =()2,0A -()6,0B 8AB =()2214116423333
y x x x =-
++=--+4AE AB BE =-=()()221161162463333
y x x =-
--+=--+12AE AB BE ''=+=()()22116116212143333
y x x =---+=--+()2116633y x =--+()21161433
y x =--+DH AC ⊥
∵，D 是BC 的中点，∴AD 平分，
∵，，∴.
∵，，∴，
∴，∴.（3）延长AB 、DC 交于点S ，如图③，
∵，，
∴四边形ASD E 是平行四边形，∴，，
在四边形MGEF 中，过点P 作于点H ，于点N ，
∴，，
由点M 是PE 的中点，易得，.设点P 到BC 的距离为h ，
∵
的面积为
，，∴，∴.∴点P 到BC 所在直线的距离为1.
过点A 作BC 的平行线交CD 于点R ，过点B 作于点Q ，过点P 作AB 的垂线交AB 的延长线于点T ，
AB AC =BAC ∠DE AB ⊥DH AC ⊥DE DH =DF AB ∥30BAC ∠=︒30DFH BAC ∠=∠=︒12DH DF =12
DE DF =AE CD ∥AB ED ∥120AED ASD ∠=∠=︒
60FMG ∠=︒90MGE ∠=︒36090MFE FMG MGE AED ∠=︒-∠-∠-∠=︒
PH AE ⊥PN DE ⊥PH MF ∥PN MG ∥12MF PH =
12MG PN =PBC △323BC =133222
PBC S BC h h =⋅==△1h =BQ AR ⊥
则，
∴，∴.
在中，，∴点P 在AR 上运动.∴.∵，，，∵点T 、P 、N 在一条直线上，且TN 的长为平行线AS 与DE 之间的距离.在中，，，，易得，
∴.
过点D 作交AS 的延长线于点，则，
在中，，
∴
∴的长为.
18030BAR ABC ∠=︒-∠=︒30RAE BAE BAR BAR ∠=∠-∠=︒=∠
PH PT =Rt ABQ △112
BQ AB =
=()1111122222
MF MG PH PN PT PN PT PN +=
+=+=+AS DE ∥PT AS ⊥PN DE ⊥BSC △120BSC ∠=︒30CBS BCS ∠=∠=︒3BC =BS CS ==4DS CD CS =+=+DO AS ⊥O TN DO =Rt SDO △60OSD ∠=︒(sin 604TN OD SD ==︒=+=MF MG +dm。