格林函数()

§2.4 格林函数法 解的积分公式

在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。

格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法

为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。

设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分

⎰⎰∑

⋅∇S

d v u ϖ

化成体积积分

.

)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑

T

T

T

vdV u vdV u dV v u S d v u ϖ

（12-1-1）

这叫作第一格林公式。同理，又有

.

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑

T

T

vdV u udV v S d u v ϖ

（12-1-2）

（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得

,

)()(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⋅∇-∇∑

T

dV u v v u S d u v v u ϖ

亦即

.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n v

u

（12-1-3）

n ∂∂

表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。

现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是

)( ),(T r r f u ∈=∆ϖ

ϖ

（12-1-4）

第一、第二、第三类边界条件可统一地表为

),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑

（12-1-5）

其中 ϕ（M ）是区域边界 ∑ 上的给定函数。α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。

为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 δ 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0）表示位于r 0点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0）应满足方程

).() ,(00r r r r v ϖϖϖϖ-=∆δ

（12-1-6）

现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4），u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得

.

)( )(0⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=∆-∆T

T

T

dV r r u vfdV dV

v u u v ϖ

ϖδ （12-1-7）

应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0点，∆v 具有δ 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0的小体积，例如半径为 ε 的小球K ε（图12-1），∑ε 的边界面为∑ε 。对于剩下的体积，格林公式成立，

.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∆-∆ε

ε

dS n v u n

u

v dS n v u n u v dV v u u v K T （12-1-8） 把（12-1-8）代入挖去K ε 的（12-1-7），并注意r ≠r 0，故 δ（r －r 0）＝0，于是

.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ε

ε

K

T vfdV dS n v u n u

v dS n v u n u v （12-1-9）

当10<<-r r ϖϖ，方程（12-1-6）的解 v （r ，r 0）—→ 位于点r 0而电量为 －ε 0 的点电荷的静电场中的电势，即－1／4π0r r ϖ

ϖ-。令 ε →0，得

（12-1-9）右边—→

,

⎰⎰⎰T

vfdV

左边的0 4141 0

2→∂∂-=Ω∂∂-=Ω⎪⎭⎫ ⎝

⎛-∂∂=∂∂=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r n u

d n

u d n u dS n u v ε

εε

επε

εεπ

左边的).( 141

141022r u d r r u

dS r r u dS n v u

ϖ

-=Ω⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑

∑ε

ε

ε

ππ

（12-1-10）

这样，（12-1-7）成为

. ) ,( )( )( ) ,( )() ,()(0000⎰⎰⎰⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣

⎡∂∂-∂∂-=dS n r r v r u n r u r r v dV

r f r r v r u T

ϖϖϖϖ

ϖ

ϖϖ

ϖϖϖ （12-1-11） （12-1-11）称为泊松方程的基本积分公式。

（12-1-11）将（12-1-4）的解u 用区域 T 上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。那么，能否用（12-1-11）来解决边值问题呢？我们看到，（12-1-11）中需

要同时知道u 及 n u

∂∂ 在边界 ∑ 上的值，但是，在第一边值问题中，已知的只是 u 在边界 ∑ 上的值；在第二边值问题中，已知的只是 n u

∂∂ 在边界∑上的值。在第三