高考数学二轮复习微专题6答案

微专题6
1．答案：1
2
.
解析：由a 2＋b 2＝2c 2，得
cos C ＝a2＋b2－c2
2ab
＝
a2＋b24ab ≥2ab 4ab ＝1
2，当且仅当a ＝b 时取等号，所以cos C 的最小值为12
.
2．答案：23.
解析：由余弦定理得cos π3＝b2＋c2－32bc ，整理得b 2
＋c 2＝3＋bc ，则有(b ＋c )2＝3
＋3bc ≤3＋
⎝⎛⎭⎫c ＋b 22，即(b ＋
c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c 时取等号．所以b ＋c 的最大值为23.
3．答案：3
2
.
解析：由sin A sin(B －C )＝
sin B sin C cos A ，得sin A (sin B cos C －cos B sin C )＝sin B sin C cos A ，由正弦定理可得ab cos C －ac cos B ＝bc cos A ，由余弦定理可得ab ·a2＋b2－c2
2ab －ac ·
a2＋c2－b2
2ac
＝
bc ·b2＋c2－a22bc ，化简得a 2＋
b 2＝3
c 2，又因为3c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，可得
ab c2≤32，所以ab c2
的最大值为3
2
.
4．答案：25
5
.
解析：S △ABC ＝1
2ab sin C ＝
1
2ab 1－cos2C ＝ 12
（ab ）2－（a2＋b2－c2）2
4
＝
12
（ab ）2－（8－3c2）2
4
而2ab ≤a 2＋b 2＝8－2c 2ab ≤4－2c 2， 所以S △ABC ≤ 12
（4－c2）2－（8－3c2）2
4
＝
1
4
c2（16－5c2）≤ 14×5c2＋（16－5c2）25＝255，当且仅当a ＝b ，c 2＝85时取等号．
5．答案：52316.
解析：设∠BAP ＝α，∠CAP ＝β，由余弦定理得PB 2＝4－23cos α，PC 2＝4－23cos β.
因为PB 2＋PC 2＝3，所以cos α＋cos β＝
53
6
.设sin α－sin β＝t ，两式平方相加得
cos(α＋β)＝
124＋t 2≥1
24
，当且仅当t ＝0，即sin α＝sin β时
取等号，此时cos A ＝cos(α＋β)的最小值为1
24
，即sin A 的最大值为
52324，所以S △ABC ＝1
2
AB ·AC ×sin A ≤523
16
.
6．答案：100.
解析：由正弦定理得kb 2
＋ac ＞19bc ，则k 大于19bc －ac b2的最大值.19bc －ac
b2＝
（19b －a ）c
b2＜
（19b －a ）（a ＋b ）
b2
＝
－⎝⎛⎭⎫a b －92
＋100≤100.因此k ≥100，即k 的最小值为100.
7．答案：(1)π
3；(2)1.
解析：(1)由正弦定理可得
cosB cosC ＝2a －b c ＝2sinA －sinB
sinC
，可得cos B sin C ＝(2sin A －
sin B )cos C ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，sin A ＝2sin A cos C ，在△ABC 中，sin A ≠0，cos C ＝12，所以C ＝π3
. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4－3ab ，又因为ab ≤
（a ＋b ）2
4
＝1，当且
仅当a ＝b ＝1时等号成立，所
以c 2＝4－3ab ≥1，即c ≥1，故c 的最小值为1.
8．答案：(1)165 m ；
(2)①
80sinθ
sinθ＋2
，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2；②当sin θ＝22－2时，绿化
区域面积之和最大．
解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)直线PB 的方程为y ＝2x ，
半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，
由
⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x2＋y2＝402（y≥0），得y ＝165.所以，点P 到AD 的距离为165 m.
(2)①由题意，得P (40cos θ，40sin θ)．
直线PB 的方程为y ＋80＝sinθ＋2cosθ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得x E ＝80cosθ＋80
sinθ＋2
－40＝
80cosθ－40sinθ
sinθ＋2.直线PC
的方程为y ＋80＝sinθ＋2
cosθ－1(x －
40)，令y ＝0，得x F ＝80cosθ－80sinθ＋2
＋
40
＝
80cosθ＋40sinθ
sinθ＋2
.
所以，EF 的长度为f (θ)＝x F －x E ＝
80sinθ
sinθ＋2
，θ∈
⎝⎛⎭
⎫0，π2. ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝1
2×⎝⎛⎭⎫80－80sinθsinθ＋2×80
＝
6400
sinθ＋2
，区域Ⅱ的面积为
S 2＝
12×EF ×40sin θ＝1
2
×⎝⎛⎭⎫80sinθ
sinθ＋2×40sin θ＝
1600sin2θ
sinθ＋2
，所以S 1＋S 2＝
1600sin2θ＋6400sinθ＋2⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π
2.设
sin θ＋2＝t ，
则2＜t ＜3，S 1＋S 2＝
1600（t －2）2＋6400
t ＝
1600
⎝⎛⎭
⎫t ＋8t －4≥1600(28－4)＝6400(2－1)．
当且仅当t ＝22，即sin
θ＝22－2时“＝”成
立．所以，休闲区域Ⅱ，Ⅳ，Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6400(2－1)m 2.
答：当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ，Ⅲ，Ⅴ的面积之和最大．。