2015届高三理科数学肇庆一模试卷

2015届高三理科数学肇庆一模试卷
D
高三数学（理科）第 2页共22页
高三数学（理科）第 3页共22页
高三数学（理科）第 4页 共22页
线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式∑∑==---=n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b
1
2
1
)()
)((ˆ，x b y a
ˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满
分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合M ={1，3，5}，则=
M C
U
A ．φ
B ．{1，3，5}
C ．{2，4，6}
D ．{1，2，3，4，5，6}
2．设条件p ：0≥a ；条件q ：02
≥+a a ，那么p 是q
的
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件 3．
=+-i
i
131
A ．i 21+
B ．i
21+- C ．
i
21-
D ．i 21--
开始x=1，z=x+y z≤
是x=y y=z
输结否
4．设c b a,,是非零向量，已知命题p：若0=⋅，0=⋅，
则0=⋅c a；命题q：若b
a//，c
b//，则c
a//. 则下列命题中真命题是
A．q
p∧B．q
p∨C．)
(
)
(q
p⌝
∧
⌝
D．)
(q
p⌝
∨
5．执行如图所示的程序框图输出的结果是
A．55 B．65
C．78 D．89
6．一个几何体的三视图如图所
示，其中正视图和侧视图
是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何
体的外接球的表面积为
A．π3
12 B．π12 C．π34 D．π3
正侧
俯
高三数学（理科）第 5页共22页
高三数学（理科）第 6页 共22页
7．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝
色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且绿色卡片至多1张. 不同取法的种数为 A ．484 B ．472 C ．252
D ．232
8．设，为非零向量，||2||=，两组向量4
3
2
1
,,,x x x x 和
4
321,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成. 若
4
4332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值
为2
||4a ，则与的夹角为
A ．32π
B ．2π
C ．3
π
D ．6
π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.
9．已知)2,1(=a ，),4(k b =，若⊥，则=k ▲ . 10．若复数i
a a a )2()23(2
-++-是纯虚数，则实数a 的值
为 ▲ .
11．6
)2(-x 的展开式中2
x 的系数为 ▲ . 12．不等式5|1||2|≤++-x x 为 ▲ .
高三数学（理科）第 7页 共22页
13．若0>a ，0>b ，且ab
b
a =
+1
1，则3
3
a
+的
最小值为 ▲ .
14．（几何证明选讲）如图，点P
为
圆O 的弦AB 上的一点，
连接PO ，过点P 作PC ⊥OP ，且PC 交圆O 于C . 若AP =4， PC =2，则PB = ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）
为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5 命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
（1）求小李这5天的平均投篮命中率； （2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率.
P
C
B
O
高三数学（理科）第 8页 共22页
16．（本小题满分12分）
如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC ，6=PA ，
2
2=PC ，
10
=PB ，E 是PC 的中点，F 是PB
的
中点.
（1）求证：EF //平面ABC ； （2）求证：EF ⊥平面PAC ；
（3）求PC 与平面ABC 所成角的大小.
17．（本小题满分14分）
某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）估计日销售量的众数； （2）求在未来连续3天里，有连
续2天的
日销售量都不低于100个
且另1
P
A
B
O E
F
501001502002500.002
0.0030.0040.0050.006日销售量个
频率
组距
高三数学（理科）第 9页 共22页
天的日销售量低 于50个的概率；
（3）用X 表示在未来3天里日销售量不低 于100个的天数，求随机变量X 的分布列， 期望E （X ）及方差D （X ）. 18．（本小题满分14分）
某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台. 已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调器
彩电
冰箱
工 时 21 31 41 产值/千元
4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）
高三数学（理科）第 10页 共22页
19．（本小题满分14分）
如图，四棱柱1
1
1
1
D C B A ABCD -中，A A 1
⊥底面
ABCD ，且41
=A A . 梯形ABCD 的面积为6，且
AD //BC ，AD =2BC ，CD =2. 平面DCE A 1
与B B 1
交于点
E .
（1）证明：EC //D A 1
；
（2）求三棱锥AB A C 1-的体
积；
（3）求二面角A DC A --1
的
大
小.
20．（本小题满分14分）
设a 为常数，且1<a . （1）解关于x 的不等式1
)1(2
>--x a a
；
（2）解关于x 的不等式组⎩⎨
⎧≤≤>++-1
00
6)1(322x a x a x .
肇庆市2015届高中毕业班第一次统测
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
高三数学（理科）第 11页 共22页
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题 题
号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B A D B C
二、填空题
9．-2 10．1 11．240 12．[-2，3] 13．24 14．1 三、解答题
15．（本小题满分12分）
证明：（1）小李这5天的平均投篮命中率为
5
.05
4
.06.06.05.04.0=++++=
y . （4分）
（2）小李这5天打篮球的平均时间35
5
43
21=++++=x （小时） （5分）
高三数学（理科）第 12页 共22页
01.02
10)1()2()
1.0(21.011.000)1()1.0()2()()
)((ˆ2
22221
2
1
=+++-+--⨯+⨯+⨯+⨯-+-⨯-=
---=∑∑==n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b
（7分）
47.0301.05.0ˆˆ=⨯-=-=x b y a
（9分） 所以
47.001.0ˆˆˆ+=+=x a x b y
（10分）
当x =6时，53.0ˆ=y
，故预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. （12分）
16．（本小题满分12分）
证明：（1）在∆PBC 中，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点，所以EF //BC . （1分） 又BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以
EF //平面ABC . （3分） （2）因为AB 是⊙O 的直径，所以BC ⊥AC . （4分） 在Rt ∆ABC 中，AB =2，AC =BC ，所以2
=
=BC AC .
（5分）
P
A
B
O E
F
高三数学（理科）第 13页 共22页
因为在∆PCB 中，10
=PB ，22=PC ，2
=BC ，
所
以
2
22BC PC PB +=，
所
以
BC ⊥PC .
（6分） 又PC ∩AC =C ，所以BC ⊥平面PAC .
（7分） 由（1）知EF //BC ，所以EF ⊥平面PAC .
（8分）
（3）解：由（2）知BC ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以PA ⊥BC . （9分）
因为在∆PAC 中，22=PC ，6=PA ，2
=AC ，
所
以
2
22AC PA PC +=，所以PA ⊥AC .
（10分）
又AC ∩BC =C ，所以PA ⊥平面ABC . 所以∠PCA 为PC 与平面ABC 所成角.
（11分）
在Rt PAC 中，3tan ==∠AC PA PAC ，所以∠PCA =3
π，即PC 与平面ABC 所成角的大小为3
π
.
（12分）
高三数学（理科）第 14页 共22页
17．（本小题满分14分）
解：（1）依据日销售量的频率分布直方图可得众
数为1252
150100=+. （3分） （2）记事件A 1：“日销售量不低于100个”， 事件A 2：“日销售量低于50个”，事件B ：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”. 则6
.050)002.0004.0006.0()(1=⨯++=A P ，
（4分）
15
.050003.0)(2=⨯=A P ，
（5分）
108
.0215.06.06.0)(=⨯⨯⨯=B P .
（7分）
（3）X 的可能取值为0，1，2，3.
064
.0)6.01()0(303=-==C X P ，
（8分）
288
.0)6.01(6.0)1(213=-⨯⨯==C X P ，
（9分）
432
.0)6.01(6.0)2(223=-⨯⨯==C X P ，
（10分）
高三数学（理科）第 15页 共22页
216
.06.0)3(33
3=⨯==C X P ，
（11分） 分布列为
X 0 1 2 3 P 0.064
0.288
0.432
0.216
因为X ~B （3，0.6），所以期望8.16.03)(=⨯=X E ，
（12分） 方差
72
.0)6.01(6.03)(=-⨯⨯=X D .
（14分）
18．（本小题满分14分）
解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱y x --120台，产值为z 千元， 则依题意得240
2)120(234++=--++=y x y x y x z ，
（4分） 且x ，y 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧≥≥≥--≤--++.
0,0,20120,40)120(413121
y x y x y x y x 即
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+.
0,0,100,
1203y x y x y x （8
分） 可
行域如
图所示
.
（10分） 120100
100
40
O
x
y
M
y x =100-y x
=120-3
高三数学（理科）第 16页 共22页
解方程组⎩
⎨⎧=+=+,100,1203y x y x 得⎩
⎨
⎧==.
90,
10y x 即M （10，90）. （11分）
让目标函数表示的直线z y x =++2402在可行域上平移，
可得2402++=y x z 在M （10，90）处取得最大值，且
350
24090102max =++⨯=z （千元）. （13分）
答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.
（14分）
19．（本小题满分14分） （1）证明：因为1
//AA BE ，D
AA AA
11
平面⊂， D
AA BE 1平面⊄，所以D AA BE 1
//平面. （1
分）
因为AD BC //，D AA AD 1
平面⊂，
D
AA BC 1平面⊄，所以D AA BC 1
//平面. （2
分）
又B BC BE = ，BCE BE 平面⊂，
BCE
BC 平面⊂，所以1
//ADA BCE 平面平面. （3分）
A
B
C
D
E
A
1
B 1
C 1
D 1
高三数学（理科）第 17页 共22页
又EC BCE DCE A =平面平面 1
，D A AD A DCE A 1
1
1
=平面平面 ，
所以
EC //
D
A 1.
（4分）
（2）解：因为6
=ABCD
S 梯形，BC //AD ，AD =2BC ，所
以23
1
21===
∆∆ABCD ACD ABC
S S S
梯形.
（6分） 所
以
3
8
243131111=⨯⨯==
=∆--ABC ABC A AB A C AS A V V .
（8分）
（3）解法一：如图，在ADC ∆中，作CD AF ⊥于F ，连接F A 1
. （9分）
因为A A 1
⊥底面ABCD ，ABCD CD 底面⊂， 所以A A CD 1
⊥.
又A AF A A = 1
，所以AF A CD 1
面⊥.
又
AF
A F A 11面⊂，所以
F
A CD 1⊥.
（10分）
所以FA A 1
∠为二面角A DC A --1
的平面角. （11分） 由（2）得432
==
∆ABCD ACD
S S 梯形，所以4
2==∆CD
S
AF ACD
. （12
分）
A
B
C
D
E
A
1
B 1
C 1
D 1
F
高三数学（理科）第 18页 共22页
所以
1tan 11==
∠AF
A
A FA A ，
（13分） 所以
4
1π
=
∠FA A ，即二面角
A
DC A --1的大小为
4
π.
（14分）
解法二：如图，以D 为坐标原点，1
,DD DA 分别为x
轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系.
（9分）
设θ=∠CDA ，BC =a ，则AD =2a . 因为6
sin 22
2=⋅+=θa a S
ABCD
梯形，所以
θ
sin 2=
a .
（10分） 所以)0,sin 2,cos 2(θθC ，
)4,0,sin 4(1θ
A ，
所以)0,sin 2,cos 2(θθ=DC ，)4,0,sin 4
(
1
θ
=DA
. （11分）
设平面DC A 1
的一个法向量)1,,(y x =， 由
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41
θθθy x n DC x n DA ，得⎩
⎨
⎧=-=θ
θ
cos sin y x ，所以)1,cos ,sin (θθ-=n .（12分）
又平面ABCD 的一个法向量
)
01,0(=，
A
B
C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
F
x
y
z
高三数学（理科）第 19页 共22页
（13分） 所以2
2,cos =>=
<，所以二面角A DC A --1
的大小
为4π. （14分）
20．（本小题满分14分） 解：（1）令0
12
=--a a ，解得02
5
11
<-=
a
，12
5
12
>+=
a
.
（1分）
①当251-<a 时，解原不等式，得1
12
-->a a x ，即其解
集为}1
1
|{2
-->a a x x ；
（2分）
②当251-=a 时，解原不等式，得无解，即其解集为φ ； （3分） ③当1251<<-a 时，解原不等式，得1
12
--<a a x ，即其
解集为}1
1
|{2
--<a a
x x .
高三数学（理科）第 20页 共22页
（4分） （2）依0
6)1(322
>++-a x a x （*），令0
6)1(322
=++-a x a x
（**），
可得)
3)(13(348)
1(92
--=-+=∆a a a a .
（5分）
①当131<<a 时，0<∆，此时方程（**）无解，解不等式（*），得R x ∈，故原不等式组的解集为}10|{≤≤x x ；
（6分）
②当31=a 时，0=∆， 此时方程（**）有两个相等的实根14
)
1(321
=+=
=a x x
，解不等式（*），得1≠x ，故原不
等式组的解集为}10|{<≤x x ； （7分） ③当31<a 时，0>∆，此时方程（**）有两个不等的实根4
)3)(13(3333
---+=
a a a x
，4
)
3)(13(3334
--++=
a a a x
，且
4
3x x <，解不等式（*），得3
x x <或4
x x >.
（8分）
1
4
31334)248()31(334)3)(13(33324=-++>-+-++=--++=a a a a a a a a x ，
高三数学（理科）第 21页 共22页 （9分）
14334)3)(13(3333<+<---+=a a a a x ，
（10分） 且
a a a a a a a a a x 24)53(33416)53(334)3)(13(333223=--+≥---+=---+=，
（11分）
所以当0>a ，可得03>x
；又当03>x ，可得0>a ，故003>⇔>a x ，（12分） 所以ⅰ）当3
10<<a 时，原不等式组的解集为}4)3)(13(3330|{---+<≤a a a x x ；
（13分）
ⅱ）当0≤a 时，原不等式组的解集为φ . （14分）
综上，当0≤a 时，原不等式组的解集为φ ；当3
1
0<<a 时，原不等式组的解集为}4)3)(13(3330|{---
+<≤a a a x x ；
高三数学（理科）第 22页 共22页 当31=a 时，原不等式组的解集为}10|{<≤x x ；当13
1<<a 时，原不等式组的解集为}10|{≤≤x x .。