2.2.4 高中必修一数学教案《均值不等式及其应用》

高中必修一数学教案
《均值不等式及其应用》
教材分析
本节课的内容是通过情境引入进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义的基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时，在推导论证的基础上，推广公式，并学会应用。

均值不等式是本章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性的作用，有利于学生对后续不等式的证明及前面函数的最值、值域的进一步拓展与研究。

学情分析
1、从学生知识层面看
学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，学生会解决最简单的关于不等式的问题。

2、从学生素质层面看
大部分学生基础较好，学生的理解能力、运算能力、思维能力等方面尚可，学生有学好数学的自信心，有一定的学习积极性。

教学目标
1、从情景中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题，帮助学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题。

2、通过情境提出问题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想，发现定理，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力。

3、通过设置问题与解决，帮助学生理解生活问题数学化，注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦。

教学重点
用均值不等式求解最值问题的思路和方法。

教学难点
合理应用均值不等式。

教学方法
讲授法，讨论法，练习法
教学过程
一、问题导入
称为a，b的算术平均值；
给定两个正数a，b，数a+b
2
数√ab称为a，b的几何平均值。

两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？
二、探究新知
1、尝试与发现
（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；
（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义。

从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。

一般地，我们有如下结论
均值不等式 如果a ，b 都是正数，那么
a+b 2
≥ √ab
当且仅当a = b 时，等号成立。

证明 因为a ，b 都是正数，所以 a+b 2
- √ab =
a+b − 2√ab
2
=
（√a − √b ）
2
2
≥ 0
即
a+b 2 ≥ √ab
而且，等号成立时，当且仅当（√a − √b ）2
= 0，即a = b 。

值得注意的是，均值不等式中的a ，b 可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如
6+72
≥ √42
一定是正确的。

2、均值不等式的几何意义
均值不等式两边平方可得
（
a+b 2
）2≥ab
如果矩形的长和宽分别为a 和b ，那么矩形的面积为ab 。

（
a+b 2
）2 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个
几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。

3、探索研究
如果2-2-7所示的半圆中，AB 为直径，O 为圆心。

已知AC = a ，BC = b ，D 为半圆上一点，且DC ⊥AB ，算出OD 和CD ，给出均值不等式的另一个几何意义。

在Rt △ABC 中，由于DC ⊥AB ，利用射影定理可得CD = √ab ，又CO = a+b 2
，
由图可知CO ≥CD ，所以
a+b 2
≥ √ab ，变形为a+b ≥ 2√ab 。

结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直于该直径的弦。

三、巩固练习
用一段长为lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于l m ），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值。

解：设矩形的宽为x m ，长为（l-2x ）m ，则矩形的面积为[x （l-2x ）]m 2。

[ 2 x +（l−2x ）]2
2
≥ 2x （l −2x ）
当且仅当2x = l-2x 时，矩形面积取得最大值。

即当x = l
4 m 时，长为 l
2 m ，矩形最大面积为l 2
8 m 2。

教学评价
本节课设计了新课导入、探究新知、巩固练习三个环节的内容，根据考试要求和教学的重难点，让学生初步认识均值不等式，对均值不等式进行了细致的梳理与归纳。

针对学生出现的问题，教学设计学生在课中进行探讨，做到全面了解学生，有的放矢。