(徐州专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象与性质课件

3.若抛物线y=-x2+4x+k的最大值为3,则k= -1 .
4. [2018·孝感]如图13-2,抛物线y=ax2 与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),则关于x的方程 ax2=bx+c的解是 .
[答案] x1=-2,x2=1
图13-2
5.若二次函数y=ax2+bx+c的图 象如图13-3所示,则不等式a(x2)2 +b(x-2)+c<0的解集为 .
图13-1
【温馨提示】抛物线的平移需将抛物线对应的函数解析式化成顶点式,再遵循“ 上加下减 ,左加右减”的原则.一般式y=ax2+bx+c的平移,左右平移给自变量x加 减平移单位,上下平移给等号右端整体加减平移单位.
考点五 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的 符号之间的关系
c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即当x=0时,y=c
考点四 二次函数图象的平移 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线 y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图13-1所 示(假设h,k均为正数):
0 1… -6 -11 …
2.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( ) A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3
[答案] D
3. [2019·温州]已知二次函数y=x2-4x+2, [答案] D
A.y轴
B.直线x=2
C.直线x=-2
D.直线x=1
[答案] B [解析]4条抛物线的开口方向分别为 向下、向上、向上、向下,故选项A 错误;4条抛物线的对称轴都是y轴, 故选项B正确;4条抛物线分别有最 高点、最低点、最低点、最高点,故 选项C错误;任意抛物线在对称轴两 侧的增减性都是相反的,故选项D错 误.故选B.
项目 字母
a
b
字母的符号
a>0 a<0 b=0 ab>0(b与a同号) ab<0(b与a异号)
图象的特征
开口向⑫ 上 开口向⑬ 下 对称轴为⑭ y 轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
字母
项目
c
b2-4ac
字母的符号
c=0 c>0 c<0 b2-4ac=0 b2-4ac>0 b2-4ac<0
(续表)
第 13 课时
二次函数的图象与性质
考点聚焦
考点一 二次函数的概念 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中x是自变 量,y是x的函数.
考点二 二次函数的图象及画法
图象
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以
以直线x=①
为对称轴的抛物线
为顶点,
用描点法画抛物线 y=ax2+bx+c的步骤
题组二 易错题
【失分点】对二次函数的意义理解不透,忽略隐含条件;求最值时,易忽略抛物线 顶点的特征.
6.已知函数y=(m+1)+3x,当m= ,它是二次函数.
时 [答案] 1
7.在-2≤x≤4这个范围内,二次函
数y=x2的最大值是
,最
小值是
.
[答案] 16 0 [解析]当-2≤x≤0时,y随x的增大而减小,此时 有y最大=(-2)2=4,y最小=0; 当0≤x≤4时,y随x的增大而增大,此时有y最大 =42=16,y最小=0. 综上所述,在-2≤x≤4这个范围内,函数有最大 值16,最小值0.
【方法点析】求二次函数表达式时,已知三点坐标用一般式;已知顶点及另一个 点的坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交 点式.
| 考向精练 | 1. [2012·徐州24题]二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0). (1)求b,c的值; (2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴; (3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象.
例1(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).求二次函数解析式; 解:(2)由顶点A(-1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a≠0). ∵二次函数的图象过点B(2,-5), ∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1. ∴二次函数的关系式是y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.
图13-3
[答案] x<3或x>5 [解析]由函数图象可知,当x<1或x>3时,函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方, ∴函数y=a(x-2)2+b(x-2)+c的图象与x轴的交 点的横坐标分别为3,5, ∴不等式a(x-2)2+b(x-2)+c<0的解集为x<3或 x>5. 故答案为x<3或x>5.
例1 (3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点.求这个 二次函数的解析式.
解:(3)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3), 把C(0,-3)代入得a×1×(-3)=-3, 解得a=1, 所以这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
考点六 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 判别式b2-4ac的正负 方程ax2+bx+c=0的实数根个数
交点个数
2个
b2-4ac>0
两个⑯ 不相等 的实数根
1个
b2-4ac=0
两个⑰ 相等 的实数根
没有
b2-4ac<0
⑱ 没有 实数根
(1)用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式; (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标; (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
考点三 二次函数的性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
a>0
a<0
图象
开口方向
抛物线开口向② 上 ,并向上 抛物线开口向③ 下 ,并向下
无限延伸
考向四 二次函数的图象特征与a,b,c之间的关系
例4 [2019·成都]如图13-8,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0), 下列说法正确的是 ( )
A.c<0 B.b2-4ac<0
C.a-b+c<0 D.图象的对称轴是直线x=3
wenku.baidu.com
图13-8
[答案] D
【方法点析】解决此类问题的一般步骤: (1)根据抛物线的开口方向判断a的符号:开口向上,则a>0;开口向下,则a<0; (2)根据对称轴的位置和a的符号判断b的符号:对称轴在y轴左侧,则a,b同号;对 称轴在y轴右侧,则a,b异号; (3)由抛物线与y轴的交点位置判断c的符号:交点在y轴正半轴,则c>0;交点在y轴 负半轴,则c<0; (4)根据a,b,c的符号判定ab,bc,ac,abc的符号;
D.有最大值7,有最小值-2
4. [2019·嘉兴]小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的性质时,得出如
下结论:
①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上;
②存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角
形;
③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1<x2,x1+x2>2m,则y1<y2; ④当-1<x<2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m≥2.
x …0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 描点作图如下:
图13-4
2.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上, 且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数表达式为 _____________ ___________________.
2.二次函数与不等式的关系 (1)ax2+bx+c>0的解集 函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围. (2)ax2+bx+c<0的解集 函数y=ax2+bx+c的图象位于⑲ x轴下方 的部分对应的点的横坐标的取值 范围.
对点演练
题组一 必会题
1. [九下P20习题第6(1)题改编]抛物线y=+1的对称轴是 ( C )
关于该函数在-1≤x≤3内的取值,下列说法 [解析]∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2,
正确的是( )
∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内,
A.有最大值-1,有最小值-2
当x=2时,y有最小值-2;当x=-1时,y有
B.有最大值0,有最小值-1
最大值7.故选D.
C.有最大值7,有最小值-1
其中错误结论的序号是 ( )
A.①
B.②
C.③
D.④
[答案] C
考向三 二次函数图象的平移
例3 如图13-6,抛物线y=ax2+c经过点A(0,2)和点B(-1,0). (1)求此抛物线的解析式; (2)将此抛物线平移,使其顶点坐标为(2,1),平移后的抛物线与x轴的两个交点分 别为点C,D(点C在点D的左边),求点C,D的坐标; (3)将此抛物线平移,设其顶点的纵坐标为m,平移 后的抛物线与x轴两个交点之间的距离为n,若 1<m<3,直接写出n的取值范围.
无限延伸
图象
a>0
在对称轴的左侧,即当④
时,
y随x的增大而⑤ 减小 ;在对称轴 增减性
的右侧,即当⑥
时,y随x的
增大而⑦ 增大 ,简记左减右增
(续表)
a<0
增大 减小
图象 最值
对称轴 顶点坐标
a>0 小
(续表)
a<0
大
图象
二次项 系数a 的特性 常数项 c的意义
(续表)
a>0
a<0
|a|的大小决定抛物线的开口大小:|a|越大,抛物线的开口越小; |a|越小,抛物线的开口越大
[答案] C
9.已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1的图象与x轴总有交点,则m
的取值范围是
.
考向一 二次函数的表达式的求法
例1 (1)抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点.试求抛物线的解析式; (2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).求二次函数解析式; (3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点.求这个二 次函数的解析式.
图13-6
例3 如图13-6,抛物线y=ax2+c经过点A(0,2)和点B(-1,0). (2)将此抛物线平移,使其顶点坐标为(2,1),平移后的抛物线与x轴的两个交点分 别为点C,D(点C在点D的左边),求点C,D的坐标;
图13-6
例3 如图13-6,抛物线y=ax2+c经过点A(0,2)和点B(-1,0). (3)将此抛物线平移,设其顶点的纵坐标为m,平移后的抛物线与x轴两个交点之 间的距离为n,若1<m<3,直接写出n的取值范围.
图13-6
| 考向精练 |
图13-7
[答案] D
2. [2019·绍兴]在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物
线y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是 ( )
A.向左平移2个单位
B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位
D.向右平移8个单位
[答案] B [解析]y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,顶点坐标是(-1,-16).y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点 坐标是(1,-16).所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线 y=(x+ 3)(x-5),故选B.
图13-4
1. [2012·徐州24题]二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0). (2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴; 解:(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴该二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),对 称轴为直线x=2.
图13-4
1. [2012·徐州24题]二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0). (3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象. 解:(3)列表如下:
图象的特征 经过⑮ 原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个不同交点 与x轴没有交点
字母
项目
特殊 关系
(续表)
字母的符号
图象的特征
当x=1时,y=a+b+c 当x=-1时,y=a-b+c 若a+b+c>0,则当x=1时,y>0 若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0
图13-5
考向二 二次函数的图象与性质
| 考向精练 | 1. [2013·徐州8题]二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标满足下表:
x … -3 -2 -1 y … -3 -2 -3
则该函数图象的顶点坐标为 ( B )
A.(-3,-3)
B.(-2,-2)
C.(-1,-3)
D.(0,-6)