【推荐】专题38 交流电有效值计算(精讲)-2019年高考物理双基突破(二)

1．交变电流有效值的规定：交变电流、恒定电流I 直分别通过同一电阻R ，在相等时间内产生的焦耳热分别为Q 交、Q 直，若Q 交＝Q 直，则交变电流的有效值I ＝I 直（直流有效值也可以这样算）。

2．对有效值的理解：
（1）交流电流表、交流电压表的示数是指有效值；
（2）用电器铭牌上标的值（如额定电压、额定功率等）指的均是有效值； （3）计算热量、电功率及保险丝的熔断电流指的是有效值； （4）没有特别加以说明的，是指有效值；
（5）“交流的最大值是有效值的2倍”仅用于正弦式电流。

正弦式交流电的有效值：I ＝I m 2，U ＝U m
2
，E ＝
E m
2。

3．求交变电流有效值的方法 （1）公式法：利用E ＝
E m 2，U ＝U m 2，I ＝I m
2
计算，只适用于正余弦式交流电。

【题1】电阻R 1、R 2与交流电源按照图甲所示方式连接，R 1＝10 Ω，R 2＝20 Ω。

合上开关S 后，通过电阻R 2的正弦式交变电流i 随时间t 变化的情况如图乙所示。

则
A ．通过R 1的电流有效值是1.2 A
B ．R 1两端的电压有效值是6 V
C ．通过R 2的电流有效值是1.2 2 A
D ．R 2两端的电压最大值是6 2 V 【答案】B
【题2】如图所示，线圈abcd 的面积是0.05 m 2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R 为9 Ω，
匀强磁场的磁感应强度为B ＝1
π
T ，当线圈以300 r/min 的转速匀速旋转时，求：
（1）若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式； （2）线圈转过1
30 s 时电动势的瞬时值多大？
（3）电路中，电压表和电流表的示数各是多少？ （4）从中性面开始计时，经
1
30
s 通过电阻R 的电荷量为多少？ 【答案】（1）e ＝50sin （10πt ）V （2）43.3 V （3）31.86 V 3.54 A （4）1
4π
C
（2）当t ＝130 s 时e ＝50 sin （10π×1
30）＝43.3 V 。

（3）电动势的有效值为E ＝
E m 2＝50
2
V ＝35.4 V ， 电流表示数I ＝E R ＋r ＝35.4
9＋1 A ＝3.54 A ，
电压表示数U ＝IR ＝3.54×9 V ＝31.86 V 。

（4）130 s 内线圈转过的角度θ＝ωt ＝30060×2π×130＝π3。

该过程中，ΔΦ＝BS －BS cos θ＝1
2BS ，
＝q Δt ，＝E R ＋r
，＝n ΔΦ
Δt ，
得q ＝n ΔΦR ＋r ＝nBS 2(R ＋r )＝100×1
π×0.052×(9＋1) C ＝1
4π C 。

（2）利用有效值的定义计算（非正弦式交流电）
在计算有效值“相同时间”至少取一个周期或周期的整数倍。

①计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解。

②分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量。

【题4】如图所示为一交变电流的电压随时间变化的图象，正半轴是正弦曲线的一个部分，则此交变电流的电压的有效值是
A ．34 V
B ．5 V
C ．522 V
D ．3 V
【答案】C
【题5】在如图甲所示电路中，D 为理想二极管（正向电阻为零，反向电阻为无穷大）。

R 1＝30 Ω，R 2＝60 Ω，R 3＝10 Ω。

在MN 间加上如图乙所示的交变电压时，R 3两端电压表的读数大约是
A ．3 V
B ．3.5 V
C ．4 V
D ．5 V 【答案】B
【解析】在0～0.01 s 内，二极管导通，R 1、R 2并联电阻R 12＝R 1·R 2R 1＋R 2＝20 Ω，R 3两端电压U 3＝
R 3R 3＋R 12U m ＝4 V ，在0.01 s ～0.02 s 内，二极管截止，R 3两端电压U 3′＝R 3
R 3＋R 1U m
＝3 V ．根据交流电有效值的定义得U 23R 3×T
2＋U 2′3R 3×T 2＝U 2R 3
×T ，解得电压表示数U ≈3.5 V ，B 正确。

【题6】如图所示，矩形线圈面积为S ，匝数为n ，线圈总电阻为r ，在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕OO ′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R ，当线圈由图示位置转过60°的过程中，下列判断正确的是
A ．当线圈由图示位置转过60°时的电流为nBSω
2(R ＋r )
B ．电压表的读数为
nBSω
2(R ＋r )
C ．通过电阻R 的电荷量为q ＝nBS
2(R ＋r )
D ．电阻R 所产生的焦耳热为Q ＝n 2B 2S 2ωR π
4(R ＋r )2
【答案】C
【解析】线圈由题图所示位置转过60°时的电流为瞬时值，则i ＝
nBSωR ＋r sin ωt ＝nBSωR ＋r sin π3＝3nBSω
2(R ＋r )
，故选项A 错误；线圈在磁场中转动产生了正弦式交流电，其电动势的最大值E m ＝nBSω，电动势的有效值E ＝
nBSω2，电压表的读数等于交流电源的路端电压，且为有效值，则U ＝nBSω
2(R ＋r )
R ，选项B
错误；求通过电阻R 的电荷量要用交变电流的平均电流，则q t ＝n ΔΦR ＋r ＝n (BS －1
2BS )
R ＋r ＝nBS
2(R ＋r )，故选项C 正确；电阻
R 上产生的热量应该用有效值来计算，则电阻R 产生的热量Q ＝I 2
Rt ＝[nBSω2(R ＋r )]2R ·π
3ω＝π2n 2B 2S 2ω6(R ＋r )，故选项
D 错误。

【题7】图是表示一交变电流随时间变化的图象，其中，从t ＝0开始的每个
T
2时间内的图象均为半个周
期的正弦曲线。

求此交变电流的有效值。

【答案】 5 A
设所求交变电流的有效值为I ，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，
由焦耳定律得I 2RT ＝I 21R T 2＋I 22R T
2 即I 2＝（
22）2×12＋（42
）2×1
2。

（3）利用能量关系：当有电能和其他形式的能转化时，可利用能的转化和守恒定律来求有效值。

（4）利用两个公式Q ＝I 2
Rt 和Q ＝U 2
R
t 可分别求得电流有交值和电压有效值。

【题8】如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去，则现在电灯上电压的有效值为
A ．U m
B ．U m 2
C ．U m 3
D ．U m
2
【答案】D
（5）若图象部分是正弦（或余弦）式交变电流，其中的1
4（但必须是从零至最大值或从最大值至零）
和12周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I ＝I m 2、U ＝U m
2
求解。

【题9】（多选）如图1所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图象如图2中曲线a 、b 所示，则
A ．两次t ＝0时刻线圈平面与中性面重合
B ．曲线a 、b 对应的线圈转速之比为2︰3
C ．曲线a 表示的交变电动势频率为25 Hz
D ．曲线b 表示的交变电动势有效值为10 V 【答案】AC
【题10】（多选）如图所示，某玩具电磁驱动发电机可简化为在匀强磁场中的一匝闭合金属线圈，线圈平面与磁感应强度方向垂直，磁场的磁感应强度大小为B ，线圈面积为S ，电阻为R 。

当线圈以右边为轴，以恒定的角速度ω匀速转动时，下列叙述中正确的是
A ．产生的感应电流的有效值为
2BSω
2R
B ．转过30°时，线圈中的电流方向为逆时针
C ．转过90°的过程中，通过线圈导线某一横截面的电荷量为BS R
D ．线圈转动一周产生的热量为2πωB 2S 2
R
【答案】AC
【解析】线圈中产生的感应电动势最大值为E m ＝BSω，电动势有效值为E ＝22E m ＝2
2BSω，则电流
的有效值为I ＝E R ＝2BSω
2R ，选项A 正确；据楞次定律可知转过30°时，线圈中感应电流方向为顺时针，选
项B 错误；由E ＝ΔΦΔt ，I ＝E R ，q ＝I Δt ，得到电荷量q ＝ΔΦR ＝BS
R
，故选项C 正确；线圈转一周的过程
中，产生的热量为Q＝I2Rt＝πωB2S2
R，选项D错误。

4．几种典型的交变电流的有效值
U
【题11】（多选）先后用不同的交流电源给同一盏灯泡供电。

第一次灯泡两端的电压随时间按正弦规律变化，如图甲所示；第二次灯泡两端的电压变化规律如图乙所示。

若图甲、乙中的U0、T所表示的电压、周期值是相等的，则以下说法正确的是
A．第一次灯泡两端的电压有效值是
2
2U0
B．第二次灯泡两端的电压有效值是
3
2U0
C ．第一次和第二次灯泡的电功率之比是2∶9
D ．第一次和第二次灯泡的电功率之比是1∶5 【答案】AD
【解析】第一次所加正弦交流电压的有效值为U 1＝
2
2U 0
，A 项正确；设第二次所加交流电压的有效值为U 2，则根据有效值的定义有U 22
R
T ＝
U 02
R
·T 2＋U 20R ·T
2，解得U 2＝102U 0
，B 项错；根据电功率的定义式P ＝U 2
R
可知，P 1∶P 2＝1∶5，C 项错、D 项正确。

【题12】如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B .电阻为R 、半径为L 、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O 轴以角速度ω匀速转动（O 轴位于磁场边界）。

则线框内产生的感应电流的有效值为
A ．BL 2
ω2R B ．2BL 2ω2R C ．2BL 2ω4R D ．BL 2ω
4R
【答案】D
【题13】如图甲所示，长、宽分别为L 1、L 2的矩形金属线框位于竖直平面内，其匝数为n ，总电阻为r ，可绕其竖直中心轴O 1O 2转动。

线框的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C 、D （集流环）焊接在一起，并通过电刷和定值电阻R 相连。

线框所在空间有水平向右均匀分布的磁场，磁感应强度B 的大小随时间t 的变化关系如图乙所示，其中B 0、B 1和t 1均为已知。

在0～t 1的时间内，线框保持静止，且线框平面和磁场垂直；t 1时刻后线框在外力的驱动下开始绕其竖直中心轴以角速度ω匀速转动。

求：
（1）0～t 1时间内通过电阻R 的电流大小；
（2）线框匀速转动后，在转动一周的过程中电流通过电阻R 产生的热量； （3）线框匀速转动后，从图甲所示位置转过90°的过程中，通过电阻R 的电荷量。

【答案】（1）
nL 1L 2(B 1－B 0)(R ＋r )t 1 （2）πRω（nB 1L 1L 2R ＋r ）2 （3）nB 1L 1L 2
R ＋r
（2）线框产生感应电动势的最大值E m ＝nB 1L 1L 2ω 感应电动势的有效值E ＝
2
2nB 1L 1L 2
ω 通过电阻R 的电流的有效值I ＝2nB 1L 1L 2ω
2(R ＋r )
线框转动一周所需的时间t ＝
2πω
此过程中，电阻R 产生的热量Q ＝I 2Rt ＝πRω（nB 1L 1L 2R ＋r
）2。

（3）线框从图甲所示位置转过90°n ΔΦΔt ＝nB 1L 1L 2
Δt
＝
E
R ＋r ＝nB 1L 1L 2
Δt (R ＋r )
通过电阻R 的电荷量q t ＝nB 1L 1L 2
R ＋r。