理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化

分布荷载专题
已知：三角形分布载荷的 q 、梁长 l 。 求：合力、合力作用线位置。
解： 合力大小： FR
合力作用线位置：
l
0
x 1 qdx ql l 2
设合力作用线距离A点距离为d y
MAห้องสมุดไป่ตู้x
FR x q dx l
x
由合力矩定理，合力对A点之矩与分布 力对A点之矩相等
d
l
x 1 M A (F ) FR d x qdx ql 2 0 l 3 2 解得 d l 3
力对点之矩
（3）力矩矢量的方向
按右手定则
M
O
F
r
M= r F
由于力矩与矩心的位置有关， 所以力矩矢量的始端一定在矩 心O处，是定位矢量。
力对点之矩
（4）力对点之矩的几点结论
MO
O z
y F
d
力对点之矩是一种矢量。 矢量的模（大小） x 矢量方向（右手定则）
r
矢量作用在O点,垂直于r 和F 所在的平面。 注意：由于力对点之矩是矢量，做题目的时候既要求出大 小又要求出方向。
M x (F ) 0
M y (F ) 0
4 M z ( F ) Fd 5
法2：根据力对轴定义 4 M z ( F ) M z ( Fx ) Fd 5
分布荷载专题
分布在较大范围内， 不能看作集中力的荷载 称分布荷载。
F1 F2
q
若分布荷载可以简 化为沿物体中心线分布 的平行力，则称此力系 为平行分布线荷载，简 称线荷载。
F x
结论：力对点之矩在过该点的某一轴上投影等于力对该轴之矩。 <＝>力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影。
合力矩定理
FR Fi
i 1 n
若作用在刚体上的力系存在合力 则有： M O ( FR ) M O (Fi )
n i 1
z
F1
F2
z
rR
O
FR
F2
r2 O
y
力对轴之矩
力对轴之矩：力使物体绕某一轴转动效应的量度。 （1）概念 F
z
Fz
Fxy O Fxy
x
F
Fx F
Fz Fy
-Fx x y
y
Fxy
Fy
o d
M z dFxy xFy yFx
结论：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴 的矩等于零；(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。
设：共点力系 {F1 , F2 , , Fn } 作用在质量为 m 的质点上。 根据牛顿第二定律有 ma Fi FR
n
结论：力系中 Fi 是力作用效应的度量之一。
i 1
n
i 1
F
A
F
A
B
F
A
问题: 如何用数学工 具描述非共点力系对 刚体的作用效应? D
F
B
A
F
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化
j d 3 F 5
k d 0
1 Fd (3i 4 j 7k ) 5
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
例题2
（2）力F对x、y、z轴之矩 法1：先求力对O点之矩
MO (F ) rOB F
dj
F 4 (4i 3 j ) Fd k 5 5
力F对x、y、z轴之矩为：
（3）力对轴之矩与力对点之矩的关系 y MO 力对轴之矩 M x ( F ) yFz zFy O d M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx z r 力对点之矩在各坐标轴上的投影 M Ox yFz zFy M x ( F ) M Ox M Oy zFx xFz M y ( F ) M Oy M Oz xFy yFx M z ( F ) M Oz
空间一般力系的简化
y
F1 M1 Mn A F3 z F
4
F2 x
Fn
力系：两个或两个以上的 力和力偶所组成的系统， （F1，F2，…，Fn ），又 称力的集合。
力系的简化：就是将由若干力和力偶所组成的一般力系， 变为一个力，或一个力偶，或者一个力和一个力偶的简 单的、但是等效的情形。
空间一般力系的简化
M O Fd 2S
力对点之矩
（2）解析表示式 F ＝ Fxi+Fyj+Fzk F r = x i+ y j+ z k
M O F r F x i j y Fy k z Fz
Fy
y
r
Fz Fx
x
Fx
M Ox i M Oy j M Oz k
z
M Ox yFz zFy M Oy zFx xFz M xF yF y x Oz
x
F
a a
F F
a a a
a
A
B
F
a
x
F F
A
F F
B
力偶的性质
性质3 保持力偶矩矢量不变，分别改变力和力偶臂大小 （F，d ），其作用效果不变。
2F′
F
2F
F′
FF 2
A
F
a a a
B
F
F 2
力偶的性质
力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是 力偶作用的唯一量度。下面符号都表示力偶。M为力偶的矩。
力偶性质推论的应用限制
本章中关于力偶性质及其推论，在力系简化以及平衡
问题研究中都是非常重要的。但是，这些推论仅适用于 刚体，不适用于变形体。
弯曲力偶作用在自由端 →全梁发生弯曲变形。
扭转力偶作用在自由端→ 整个杆件发生扭转变形。
弯曲力偶作用在中间→ 梁左端发生弯曲变形， 右端不发生弯曲变形。
MC
FC
MD
力系2
FA
ME
怎样判断不同力系的运动效应是否相同？
力系等效定理 两个力系对刚体运动效应相等的条件是： 主矢相等和对同一点的主矩相等。
2.3 力系的简化
例题3
例题3
由F1、F2组成的空间力系， 已知：F1 = F2 = F。试求力系 的主矢FR以及力系对O、A、E 三点的主矩。 解：1、计算主矢 令i、j、k为x、y、z方向的单位 矢量，则力系中的二力可写成
力系简化在固定端约束力分析中的应用空间约束类型力系简化在固定端约束力分析中的应用几种特殊情形平衡力系还可以进一步简化合力偶与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关合力作用线过简化中心空间力系简化的几种最后结果进一步简化空间力系简化的几种最后结果合力的作用线离简化中心o的距离为此时无法进一步合成这就是简化的最后结果
空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系， 如图。
z O F1 z M2 z F'1 Mn F'2
n
Fn x
y
F2
＝
M1 x
O
y
＝
MO x
n
FR
F'n
O
y
FR ＝ Fi
i 1
n
M O ＝ M O Fi ＝ ri Fi
i 1 i 1
空间一般力系的简化 定义：
1、主矢：空间任意力系中各力的矢量和。
力偶也是一种最基本的力系。
力偶与力偶系 力偶的作用面与力偶臂
F1
力偶臂： 力偶的两力之间 的垂直距离d。 力偶作用面： 力偶所在的 平面。
F2
力偶与力偶系 力偶矩矢量：力偶对刚体的转动效应的量度。
F ' F
B F
M O M O (F ) M O (F ' )
rA F rB F '
力对轴之矩
（2）力对轴之矩符号规定 力矩正负确定方法： F ①从z轴正向向负向看，若力使刚体 z F z 逆时针转则取正号，反之取负。 Fxy ②按右手定则确定其正负号。 F
o d
xy
逆时针＋，顺时针－
M z dFxy
注意：力对轴之矩是标量（代数量），用正负号表示即可。
力对轴之矩
扭转力偶作用在中间→ 杆左端发生扭转变形， 杆右端不发生扭转变形。
力偶系的合成
力偶系：由两个或两个 以上力偶组成的特殊力系。
力偶系的合成
M
任意个在空间分布的力 偶，可以合成一个合力偶， 合力偶矩矢量等于原力偶系 中所有力偶矩矢量之和。即
M Mi
i 1
n
思考
力偶系的合成
思考题 1 刚体上A、 B、 C、D四点组成一个平行四边形， 如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组 成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
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2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩 力对轴之矩 合力矩定理 分布荷载专题
力对点之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。 （1）矢量表示式 F O r
MO
——矩心
——矢径 O z
y F
d
M O F r F
x
r
2l
3
3
q1
q2
l
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化
2.2 力偶与力偶系
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2.2 力偶与力偶系
力偶与力偶系 力偶矩矢量 力偶的性质 力偶系的合成
力偶与力偶系
力偶实例
F1
F2
F1＝－F2
力偶与力偶系
F1
r1 rBA r2
F2
力偶（couple）： 大小 相等,方向相反,且不共线 两个平行力所组成的力系。
例题1
已知：支架受力F 作用, l1, l2 , l3 , 尺寸已知；
求：MO(F)。
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
例题1
MO (F) = F d
?
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
例题1
解：根据“合力矩定理”
M O F M O Fx M O Fy
其中
Fy F cos
Nanjing University of Technology
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理论力学
第一篇 静力学
第一篇 静力学
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
2.2 力偶与力偶系 2.3 力系的简化
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化
n i 1
rn
Fn
y
rR
Fn
x
r1
F1
FR
n
x
rR FR ri Fi
n
n
力对轴之矩： M ( F ) M (F ) M ( F ) M (F ) Ox i Oy R Oy i Ox R
M Oz ( FR ) M Oz (Fi )
i 1
i 1
i 1
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
rBA
d rB A
rA F rB (F ) (rA rB ) F
rBA F
F’
rA
M dF
B F’
O 注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平 面，其大小和方向与矩心选取无关。 力偶矩是自由矢量。 其方向亦可由右手定则确定。
M
rBA
F
A
力偶的性质
性质1 力偶无合力。 {F , F '} 力偶的矢量和FR为零。
n
y MO z O FR x
FR Fi
i 1
2、主矩：空间任意力系中各力对任选简化中心 O 的力矩矢量和， 称为该力系对简化中心 O的主矩。
M O M O Fi
i 1
n
注意： 主矢与简化中心的位置无关；而主矩与简化中心的位置有关。
力系等效定理 如何判断力系等效？
FB
力系1
l
分布荷载专题 线荷载合力及其合力作用线位置
1、均布荷载 FR l/2 q
FR ql
1 FR ql 2
2、三角形荷载
l/2 FR
l
q
3、梯形荷载 可以看作一个三角形荷载和一 个均布荷载的叠加 结论： 1、合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。
F1
r1
rBA r2
F2
{F , F '} {FR }
{F1 , F1'} {F2 , F2' }
因此，力偶不能和一个力等效（平衡） ，但可以和力 偶等效（平衡） 。
力偶的性质
性质2 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意 移动和转动，其对刚体的作用效果不变。
F
F′
F
F′
F
F′
F F
空间力系简化的几种最后结果
力向一点平移定理
思考
O d r A F d
O r
?
F A
在O点作用什么力系才能使二者等效 ?
力向一点平移定理
O d r A
F '' O d r A
MO
O r F'
F'
F
F
A
加减平衡力系( F' , F '' )二者等效 力向一点平移定理： 可以把作用在刚体上点 A的力F平行移 到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点O的矩。——力系简化的基础 点O——简化中心。 注意：力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶 合成一个力。
F1
B
A
F4
D
F2
C
F3
思考
力偶系的合成
思考题 2 从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示 轮子上的力P为什么能与M平衡呢？
M
O R
FO
P
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化
2.3 力系的简化
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2.3 力系的简化
力向一点平移定理 空间一般力系的简化 力系等效定理
力系简化在固定端约束力分析中的应用
则，原式等于
F sin l2 F cos l1 l3
Fx F sin
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
例题2
例题2
试求力F对A点之矩及对x、y、z轴之矩。
解：（1）力F对A点之矩
M A ( F ) r AB F
rAB ?
F ?
i -d 4 F 5