薄板的屈曲

115
第六章 薄板的屈曲
钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。

因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。

板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。

设板的最小宽度为b ，厚度为t 。

当t /b >1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。

当1/80~1/100<t /b <1/5~1/8时称为薄板，此时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。

当板极薄，t /b <1/80~1/100时，称为薄膜，薄膜没有抗弯刚度，靠薄膜拉力与横向荷载平衡。

平分板的厚度且与板的两个面平行的平面称为中面。

本章只介绍等厚度薄板中面内受力的板的弹性失稳。

与前面所介绍过的失稳问题比较，板的失稳有如下几个特点： ⑴作用于板中面的外力，不论是一个方向作用有外力还是在两个方向同时作用有外力，屈曲时板产生的都是出平面的凸曲现象，产生双向弯曲变形，因此在板的任何一点的弯矩x M 、y M 和扭矩xy M 以及板的挠度w 都与此点的坐标（x ，y ）有关。

⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。

可以用能量法（如瑞利—里兹法，伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。

⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳。

对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜应变，从而产生薄膜应力。

如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后强度。

⑷按照小挠度理论分析只能得到板的分岔屈曲荷载，而按照有限挠度理论，或称为大挠度理论分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。

6.1 小挠度理论板的弹性曲面微分方程
等厚度薄板的坐标系如图6.1(a)所示，板厚1／2平面，即xy 平面为板的中面。

从板中任取一微元体dxdydz ，在每一个面上作用的正应力和剪应力见图6.1（b ）。

图6.1 薄板的坐标系及微元体上的应力
116
6.1.1 采用小挠度理论的三个假定
（1）垂直于中面方向的正应变z ε极微小，可以忽略。

取0=z ε，由0=∂∂=
z
z ω
ε得 ()y x ,ωω=
上式说明板的任何一点的挠度ω只与坐标x 和y 有关，即在中面的任何一根法线上，薄板全厚度内的所有各点具有相同的挠度。

（2）应力分量z σ、zx τ和zy τ远小于x σ、y σ和xy τ，因此可以忽略不计它们产生的正应变
z ε、剪应变zx γ和zy γ。

因为不计zx τ、zy τ引起的剪应变，则
0=∂∂+∂∂=
z u
x zx ωγ 0=∂∂+∂∂=z
v y zy
ωγ 从而得
x
z u ∂∂-
=∂∂ω，y z v ∂∂-=∂∂ω 因为不计z σ引起的正应变，则由物理方程有
()y x x E μσσε-=
1
()x y y E
μσσε-=1
()xy xy E
τμγ+=12 由上式可见，薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同，即薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应力问题。

（3）薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变，即
00
=∂∂=
=x
u
z x
ε，00
=∂∂=
=y
v
z y ε，00
=∂∂+∂∂=
=y
u x v z xy γ 说明中面的任意一部分虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy 平面上的投影形状保持不变。

6.1.2 弹性曲面微分方程
薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解，薄板的挠度ω为基本未知函数，根据几何方程，物理方程和力的平衡关系，将其它物理量都用ω表示，就可以建立小挠度理论板的弹性曲面微分方程[22]。

就图6.2所示微面元dxdy ，可以得到
22222442244422y N y x N x N y y x x D y xy x ∂∂+∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂ωωωωωω （6.1） 式中
()
2
3
112μ
-=Et D ——板的抗弯刚度；
117
图6.2 微面元的中面力分布
x N 、y N ——板中面沿x 、y 轴方向单位长度上的应力； xy N ——板中面单位长度上的剪力。

板在各种中面力（x N 、y N 和xy N ）作用下，其失稳为分岔失稳。

板的弹性曲面微分方程属二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想的矩形板可以直接求出其分岔失稳荷载外，对其他受力条件和边界条件的板用平衡法很难直接求解，经常采用能量法或数值法求解。

6.1.3 单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
图6.3所示单向（x 向）均匀受压四边简支板，0==xy y N N ，式（6.1）变为
022********=∂∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂x N y y x x D x ωωωω 边界条件
当0=x 、a x =时，0=ω，022=∂∂x ω
当0=y 、b y =时，0=ω，02
2=∂∂y
ω
符合这些边界条件的板的挠曲面可用二重三角级数表示
∑∑∞=∞
==11
sin sin
m n mn b
y
n a x m A ππω （6.2）
118
图6.3 均匀受压简支板
式中m 、n 分别为板失稳时在x 和y 方向的半波数，N m ∈，N n ∈，而mn A 为待定常数。

将式（6.2）代入式（6.1）得到
∑∑∞
=∞
==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-++11222444224224440sin sin 2m n x mn b y n a x m a m D N b n b a n m a
m A ππππππ （6.3） 满足式（6.3）无穷项之和恒为零的唯一条件是每一项系数中括弧内的式子为零，即板的失稳条
件为
0222
2444224224
44=⨯-++a
m D N b n b a n m a m x ππππ （6.4） 或
2
2222
222⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=b n a m m D a N x π （6.5） 由于临界荷载应是板保持微弯状态的最小荷载，因而取1=n ，则
2
222
2
22,1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
b a m m D a N cr x π 2
2b
D
k
π= （6.6）
式中k 为屈曲系数，且
2
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=m m k ββ （6.7）
其中
b a =β
由
0=dm dk ，即0122=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m m ββββ解出β=m ，代入式（6.7）得4min =k ，k 与β之间关系见图6.4，由式（6.6）可得最小临界荷载
2
2,4
min b
D
N cr x π= （6.8）
当b a m =是整数，代入式（6.6）才可得到式（6.8）；如果b a 不是整数，则计算屈曲荷载的m 应取与比值b a 接近且使cr x N ,较小的整数。

根据式（6.6）可求板的屈曲应力
119
()
()
2
22,,112t b E
k t
N cr x cr x πμσ-==
（6.9） 图6.4 板件屈曲系数（四边简支板）
由式（6.9）可知，均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比()t b 的平方成反比，而与板的长度
无关。

这与轴心受压构件的屈曲应力是不同的，它与构件长细比λ的平方成反比，当构件截面尺寸一定时，它与构件长度的平方成反比。

6.2 能量法计算板的弹性失稳荷载
板在微弯状态时的总势能Π是板的应变能U 和外力势能V 之和，即
Π = U + V
式中
()⎰⎰⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂⨯∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=a b y x y x y x y x D U 002222222
2222d d 122ωωωμωω （6.10） ⎰⎰⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡∂∂⨯∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=a b xy y x y x y x N y N x N V 002
d d 221ωωωω （6.11）
6.2.1 瑞利—里兹法
瑞利—里兹法求解板的失稳荷载时要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。

假定挠曲面函数为
()∑∑∞=∞
==11
,m n mn y x A ϕω （6.12）
将式（6.12）代入板总势能Π的计算公式，积分后利用势能驻值原理，建立线性代数方程组
120
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∏
∂=∂∏∂=∂∏∂00
012
11
mn
A A A （6.13） 方程组（6.13）有非零解的条件是系数行列式为零，则得到板的屈曲方程，可求出板的屈曲
荷载。

【例题6.1】 用瑞利—里兹法求解图6.5所示单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。

板的两个加 载边和一个非加载边简支，另一非加载边自由。

[解]：
图6.5 均匀受压三边简支一边自由板
因为0==xy
y p p ，则由式（6.10）、式（6.11）可得板的总势能表达式
()⎰⎰⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂⨯∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∏a b x a b y x x p y x y x y x y x D 002
002222222
2222d d 21d d 122ωωωωμωω ⑴
假定板的挠曲面函数
a
x
m Ay πωsin
= ⑵ 可验证符合几何边界条件：
当0=x 、a 时，0=ω
当0=y 时，0=ω ⑶
当b y =时，0≠ω
将式（2）代入式（1），积分后得
()3
2
2222222222212162ab a m A p ab a b m a m A D x ⨯-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=∏πμππ ⑷ 由势能驻值原理
0d d =∏
A
，得
121
()013222
22222=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+a b m p a b m a b Dm A x πμππ ⑸ 因为0≠A ，所以
()22
32216b D
a b m p x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=μπ ⑹ 令1=m ,可得x p 的最小值
2
2,b
D
k
p cr x π= ⑺
式中屈曲系数()2
22216πμπ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=a b k ，若3.0=μ代入，则
2
2425.0a b k += ⑻
当b a >>时
425.0=k
通过计算可知，在x 和y 方向该板都是以一个半波发生凸曲。

6.2.2 迦辽金法
已知板的平衡偏微分方程为
()0=ωL (6.14)
若符合板的几何和自然边界条件的挠曲面函数为
()∑==
n
i i
i y x A 1
,ϕω (6.15)
则可建立迦辽金方程组
()()()()()()⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰⎰⎰⎰0
d d ,0d d ,0
d d ,00002001
a b n a b a b y x y x L y x y x L y x y x L ϕωϕωϕω (6.16)
方程组（6.16）积分后，可以得到对1A ,2A ……n A 的线性方程组，为保证i A 有非零解，系数行列式必为零，则得到板的屈曲方程，由此解出屈曲荷载。

【例题6.2】 用迦辽金方法求解图6.6所示单向均匀受压板的屈曲荷载。

板的两加载边简支，两非加载边固定。

[解]：
板的平衡微分方程
()022********=∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂=x p y y x x D L x ω
ωωωω ⑴
假定挠曲面函数
b
y
a x m A ππω2sin sin
= ⑵ 可以验证此函数符合几何边界条件
122
当0=x 、a 时，0=ω
当0=y 、b 时，0=ω，
0=∂∂y
ω
也符合力学边界条件
当0=x 、a 时，0222
2=∂∂=∂∂y
x ω
ω 则建立迦辽金方程
()0d d sin sin
2=⎰⎰
a b
y x b
y
a x m L ππω ⑶ 积分后得到
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++=
22222
22
231638b m a a b m b
D p x π ⑷ 由0d d 2=m p x 得到222
34b
a m =
，代入式（4），得到x p 的最小值 2
2,283
.7b D
p cr x π= ⑸
与精确解2
2,97.6b
D
p cr x π=只相差4%，如果ω由一项增加为两项，就可以提高解的精度。

图6.6 均匀受压两边简支两边固定板
通过对不同边界条件的单向均匀受压矩形板的屈曲分析，可以得到屈曲系数k 与b a =β的变化规律（图 6.7）。

从图中可以看出，对单向均匀受压的狭长板，用横向加劲肋减小β值以提高屈曲函数k 效果并不明显，且横向加劲肋间距小于b 2很不经济。

对于很宽的薄板，采用纵向加劲肋以减小t b 的比值是有效的。

123
图6.7屈曲系数k 与β的关系
6.3 不同面内荷载作用下板的弹性失稳
轴心受力时，构成轴心受压柱截面的各板件趋于均匀受压，而对偏心受压或纯弯矩作用下的构件，其腹板可能处于图6.8的受力状态，梁受纯剪力作用的截面，腹板受力状态如图6.10。

因此为了分析组成构件的各板件的局部屈曲性质，不但要确定板件均匀受压时的屈曲荷载，而且要分析非均匀受压及纯剪应力状态下板件的临界荷载，这样才能进行板件局部稳定设计。

6.3.1 单向非均匀受压板的弹性失稳
图6.8所示为四边简支单向非均匀受压板，在均匀压力和弯矩的共同作用下，板截面的应力为线性分布，最大压应力为1σ，下边缘的应力为2σ，若规定压应力取正值，拉应力为负值，并以1
2
10σσσα-=
为应力梯度，则距上边缘y 处的应力为 ()b y 011ασσ-= (6.17)
式中，当00=α时为均匀受压，而当20=α时为纯弯矩作用。

用里兹法求解屈曲荷载时，设符合简支边界条件的挠曲面函数为
∑∑∞=∞
==11
min sin sin
m n b
y
n a x m A ππω
124
图6.8 非均匀受压简支板
作用于板中面的单位长度的荷载()()b y p b y t p x x 010111αασ-=-=，其中t p x 11σ=，板的屈曲荷载将以此边缘荷载1x p 为准。

此处0==xy y p p ，由总势能公式得到
()⎰⎰⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂⨯∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∏a b x a b y x x p y x y x y x y x D 002
002222222
2222d d 21d d 122ωωωωμωω
∑∑∞
=∞
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=112
2222
24
8m n mn b n a m A Dab π ()∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞
=∞=∞=∞=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡--+-1
2
222
11
2
2
1
222
21022211218448n mn
m n n mn x m n mn x n m A mn
b A b a m b a p a m A ab p ππαπ (6.18) 为了便于得到近似解，取二重三角级数的前三项，且1=m ，即此四边简支板屈曲时在x 方
向只形成一个半波，代入式（6.18）得到∏，由势能驻值条件011=∂∏∂A ，012=∂∏∂A ，013=∂∏
∂A 则
得到线性方程组
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛+022912548025482241916091622111322012224122
01132
01122201222411201122
011122012
224A a p b a D A a p A a p A a p b a D A a p A a p A a p b a D x x x x x x x παπααπαπααπαπ (6.19) 由系数行列式为零，即可求出1x p ，其中的最小值即为屈曲荷载。

当20=α时，如令b a =α，则纯弯曲板的屈曲荷载为
125
2
2,1b
D k p cr
x π= 临界应力表达式为
()2
22112⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b t E k cr
μπσ (6.20)
式中屈曲函数
()()()
()()
81
916259132914112
22
222222α
α
ααααπ++⨯++++=
k (6.21)
当32=α时，可以得到9.23min =k ；当32<α时，1=m ，屈曲系数的近似值为
226.887.187.15αα++=k (6.22)
图6.9给出了纯弯板的α-k 曲线，实线为四边简之板，9.23min =k ，虚线为非加载边固定板，6.39min =k 。

图6.9 纯弯板的屈曲系数
6.3.2 均匀受剪板的弹性失稳
图6.10所示均匀受剪的四边简支扳，在对角线方向因受压而屈曲，板屈曲的波长与另一对角线方向的拉力有关，对于长板，屈曲时的半波长度约为板宽的1.25倍。

用能量法求解矩形板剪切屈曲荷载时，可以利用均匀受剪四边剪支正方形板的屈曲荷载近似表示，板的挠曲面函数可以选用二重三角级数。

用迦辽金法求解时，板的中面力yx xy yx xy p p N N ===，而0==y x N N ，则板的平衡微分方程
126
图6.10 均匀受剪四边简支扳屈曲
()022********=∂∂∂-∂∂+∂∂∂+∂∂=y x D p y
y x x L xy ωωωωω (6.23)
设满足几何和自然边界条件的挠曲面函数为
a
y
a x A a
y
a
x
A ππππω2sin
2sin
sin
sin
21+= (6.24) 则迦辽金方程组为
()()⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰⎰⎰a a
a a
y
x a y a x
L y x a y a x L 00
00
d d 2sin 2sin d d sin sin ππωππω (6.25) 积分后得到
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-0
169320932224
12124
A a A D
p A D p A a xy xy ππ 板的屈曲方程
0169329322
42
4
=--a D
p D p a xy
xy ππ
解得
127
222
4,1.1189a
D a D p cr
xy ππ== (6.26) 与剪切屈曲的精确解2
2,34.9a D
p cr xy π=相差19%，如果增加挠曲面函数项数，可提高解的精确
度[23]。

对矩形板精确分析后得到
2
2,b
D
k p s
cr xy π= (6.27)
临界应力表达式为
()2
22112⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b t E k s cr μπτ (6.28)
式中s k 为剪切屈曲系数，取值见表6.1。

剪切屈曲系数s k 与b a 的变化规律见图6.11。

表6.1 剪切屈曲系数s k 计算公式
边界条件
s k 公式
四边简支
b a ≥时
()2
0.434.5a b k s +=
b a ≤时 ()2
34.50.4a b k s +=
四边固定
b a ≥时
()2
6.598.8a b k s +=
b a ≤时
()2
98.86.5a b k s +=
图6.11 均匀受剪板屈曲系数s k 变化规律
6.3.3 一个边缘受压的四边简支板的临界应力
128
实际工程中往往会遇到矩形板在一个边缘受压的情况，例如吊车梁的腹板，受到由轨道上的轮压在腹板边缘产生的非均匀分布压应力[图6.12（a ）]作用，此时临界应力的表达形式为
()2
22,112⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b t E k cr
c μπσ (6.29)
式中k 为屈曲系数，一般采用理论分析和试验相结合的方法确定。

（1） 当压应力非均匀分布时[图6.12（a ）] ，四边简支板k 的近似值为
5.15.0≤≤b a 时，()
25
.44.7b a b a k +=
(6.30a ) 0.25.1≤<b a 时，()
2
9
.00.11b a b a k -=
(6.30b ) 设计中还要考虑翼缘对腹板边缘的弹性约束作用，对k 修正。

（2） 当压力均匀分布时[图6.12（b ）]，四边简支板k 的近似值为
()
2
4
2b a k +
= (6.31) 如果板件是吊车梁的腹板，则
()2
4
5.5b a k +
= (6.32)
图6.12 单侧受压板
6.4 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件
前面介绍的是矩形板在各种边缘荷载单独作用下的情况，实际上钢构件的腹板通常处于两种或两种以上荷载的共同作用。

如简支梁的腹板，在靠近支座处主要受剪，在跨度中央处主要受弯，但是在其它部位，腹板同时受弯和受剪，因此必须考虑这两种力的共同作用对板件稳定的影响。

梁通常采用横向、纵向加劲肋将腹板分为小的区格，下面讨论不同加劲肋设置情况下腹板失
129
稳的临界条件。

6.4.1 用横向加劲肋加强的梁腹板
梁腹板在二横向加劲肋之间的板段（图6.13），同时受弯曲正应力σ，均布剪应力τ，可能还有边缘压应力c σ的共同作用。

当这些应力达到某种组合的一定值时，腹板将由平板稳定状态转变为微曲的平衡状态。

此临界状态的相关方程为
1,2
2≤+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛cr c c cr cr
σσττσσ （6.33） 图6.13 用横向加劲肋加强的梁腹板
式中
σ——所计算腹板区格内，由平均弯矩产生的腹板计算高度边缘的弯曲正应力；
τ——所计算腹板区格内，由平均剪力产生的腹板平均剪应力，()w t h V 0=τ； c σ——腹板边缘的局部压应力，()z w c l t F =σ。

cr σ、cr τ和cr c ,σ分别为各种应力单独作用下的临界应力，可按下列公式计算：
1）cr σ计算公式
当85.0≤b λ时， f cr =σ （6.34a ）
当25.185.0≤<b λ时， ()[]f b cr 85.075.01--=λσ （6.34b ） 当25.1>b λ时， 2/1.1b cr f λσ= （6.34c ） 式中b λ为用于腹板受弯计算时的通用高厚比，可按如下情况考虑：
梁受压翼缘扭转受到约束（如有刚性铺板、制动板连牢或焊有钢轨）时，
235
177
2y w c b f t h =
λ （6.35）
梁受压翼缘扭转未受到约束时，
235
1532y w
c b f t h =
λ （6.36）
其中c h 为梁腹板弯曲受压区高度，对双轴对称截面02h h c =.
2）cr τ计算公式
当80.0≤s λ时， v cr f =τ （6.37a ） 当20.180.0≤<s λ时， ()[]v s cr f 80.059.01--=λτ （6.37b ）
当20.1>s λ时， 2/1.1s v cr f λτ= （6.37c ） 式中s λ为用于腹板受剪计算时的通用高厚比，可按如下情况考虑：
130
当0.10≤h a 时， ()
235/34.5441/2
00y w
s f a h t h +=
λ （6.38）
当0.10>h a 时， ()
235
/434.541/200y w
s f a h t h +=
λ （6.39）
3）cr c ,σ计算公式
当90.0≤c λ时， f cr c =,σ （6.40a ） 当20.190.0≤<c λ时， ()[]f c cr c 90.079.01,--=λσ （6.40b ） 当20.1>c λ时， 2,/1.1c cr c f λσ= （6.40c ） 式中c λ为用于腹板抗局部压力计算时的通用高厚比：
当5.15.00≤≤h a 时， ()
235
/83.14.139.1028/3
00y w
c f h a t h -+=λ （6.41）
当0.25.10≤<h a 时， 235
/59.1828/0
0y w
c f h a t h -=
λ （6.42）
6.4.2 同时用横向加劲肋和纵向加劲肋加强的梁腹板
同时用横向加劲肋和纵向加劲肋加强的梁腹板，纵向加劲肋将腹板分为两个区格，即区格Ⅰ和区格Ⅱ（图6.14）。

图6.14 同时用横向加劲肋和纵向加劲肋加强的梁腹板
1. 受压翼缘与纵向加劲肋之间的区格Ⅰ 保证区格板Ⅰ局部稳定应满足
0.12
11,1≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++cr cr c c cr ττσσσσ
（6.43） 式中σ、c σ、τ为图6.14b 所示的实际计算应力；1cr σ、1,cr c σ和1cr τ分别按下列方法计算： 1）1cr σ按式（6.34）计算，但式中的b λ改为下列1b λ代替：
梁受压翼缘扭转受到约束时，
131
235
335
1y w
c b f t h =λ （6.44）
梁受压翼缘扭转未受到约束时，
235
2831y w
c b f t h =
λ （6.45）
2）1,cr c σ亦按式（6.34）计算，但式中的b λ改为下列1c λ代替：
梁受压翼缘扭转受到约束时，
235
56
11y w c f t h =
λ （6.46）
梁受压翼缘扭转未受到约束时，
235
4011y w
c f t h =λ （6.47）
3）1cr τ按式（6.37）计算，将式中的0h 改为1h （1h 为纵向加劲肋至腹板计算高度受压边缘的距离）。

2. 受压翼缘与纵向加劲肋之间的区格Ⅱ 保证区格板Ⅱ局部稳定应满足
0.12
2
2,22
2
2≤⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛cr cr c cr cr ττσσσσ （6.48） 式中
2σ——所计算区格内腹板在纵向加劲肋处压应力的平均值； 2c σ——腹板在纵向加劲肋处的横向压应力，c c σσ3.02=。

2cr σ、2,cr c σ和2cr τ分别按下列公式计算：
1）2cr σ按式（6.34）计算，但式中的b λ改为下列2b λ代替：
235
25002y w
b f t h =
λ （6.49）
2）2,cr c σ按式（6.40）计算，但式中的0h 改为2h ，当22>h a 时，取22=h a 。

3）2cr τ按式（6.37）计算，将式中的0h 改为2h ，102h h h -=.
6.4.3 同时用横向加劲肋、受压区纵向加劲肋及短加劲肋加强的梁腹板（图6.15）
受压翼缘与加劲肋之间的区格Ⅰ，按式（6.43）计算，但应以1a 代替a ；受拉翼缘与加劲肋之间的区格Ⅱ，按式（6.48）计算。

图6.15同时用横向、受压区纵向及短加劲肋加强的梁腹板
132
6.4.4 偏心受压柱的腹板
轴心受压柱的腹板一般只考虑纵向压应力的作用，忽略影响很小的剪应力，属简单受荷情况，无各种荷载共同作用问题。

偏心受压柱的腹板，往往不能忽略剪应力的影响，因此应按承受单向线性分布压应力和均匀分布剪应力共同作用的薄板考虑（图6.16）。

根据弹性理论确定的稳定临界状态的相关方程为
0.12212
211501150≤⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-cr cr cr ττσσασσα （6.50）
图6.16偏心受压柱的腹板
式中
0α——应力梯度，1
2
10σσσα-=。

当20=α时，式（6.50）即为0=c σ时的梁腹板稳定相关公式（6.33）；
各应力单独作用的临界应力中，1cr σ按式（6.9）计算，cr τ按公式（6.28）计算，通常都不考虑翼缘对腹板边缘的弹性约束作用。

6.5 组成构件的板件间的相互约束
前面分析的是独立板件的弹性失稳问题，然而实际构件中的板件都是连接在一起，在失稳时相互影响，因此有必要分析这种相互约束作用。

6.5.1 轴心受压杆板件间的约束
构件中板件稳定性的分析不能简单地沿用单块板件的分析方法，应将板件集合体作为研究对象。

1. 矩形管截面板件间的约束作用
图6.17所示壁厚为t 的矩形管截面钢构件沿轴线均匀受压时，较宽的壁板AB 和CD 趋向于比较窄的壁板AD 和BC 早失稳。

但是，由于窄板对宽板的约束作用，宽板的屈曲被推迟。

当荷载增大到一定程度时，四块壁板同时失稳，屈曲变形如图6.17中虚线所示。

失稳后，壁板间的夹角保持直角，且壁板的交线仍保持直线。

由于窄壁板的约束作用，较宽板AB 、CD 的临界力公式可以提高到
()
2
221124⎪⎭
⎫
⎝⎛-=b t E x cr μπσ (6.51)
式中x 常称为嵌固系数。

图6.17中给出了d b k -曲线，其中4⋅=x k ，即4k x =。

例如，当5.0=d b 时，2.5=k ，则3.142.5==x ，构件发生局部失稳时的临界应力为
133
()2
221122.5⎪⎭
⎫
⎝⎛-=b t E cr
μπσ 图6.17 矩形管轴心压杆的板件失稳
若d b 2=，则有
()2
221123.1⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b t E cr μπσ 其中325.043.1==x ，这是窄板的x 系数。

当0.1<x 时，说明窄板由于对宽板提供约束，它本身的临界应力下降到低于四边简支板的
临界应力。

2. 工形、H 形截面板件的约束作用
工形和H 形截面的轴心压杆，板件之间也有相互约束作用，失稳时的变形如图6.18所示。

图6.18 H 形截面轴心压杆的板件失稳
究竟是腹板约束翼缘还是翼缘约束腹板要根据二者的宽厚比确定。

它们的临界应力为
134
腹板 ()2
022,112⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=h t E k w
w w
cr μπσ 翼缘 ()2
122,112⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=b t E k f f f cr μπσ 当不考虑两者约束时，可以将腹板看作四边简支板，而翼缘为三边简支一边自由板，则它们的临界应力分别为
()2
022,1124⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=h t E w
w
cr μπσ ()2
1
22,1125.0⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b t E f f
cr μπσ 其中翼缘的屈曲系数5.0=f k 而不是取0.425，是考虑翼缘和腹板同时失稳的结果，如果
f cr w cr ,,σσ>
亦即
1
0354.0b t h t f w
> 则腹板对翼缘起约束作用，此时4<w k ；相反，则翼缘对腹板起约束作用，4>w k 。

图6.18给出了w k 随01h b 和f w t t 变化的曲线，由于通常情况5.001≤h b ，且0.1<f w t ，一般H 形截面柱0.4>w k ，亦即翼缘常对腹板起约束作用。

6.5.2 梁中翼缘和腹板之间的约束
工形截面梁翼缘和腹板之间的约束比轴心压杆的复杂，因为约束程度不仅涉及到板件的宽厚比，还与应力状态有关。

在梁的纯弯曲段，翼缘和腹板作为一个整体分析，受压翼缘和腹板的屈曲变形如图6.19所示，受拉翼缘不屈曲，并对腹板起约束作用，翼缘和腹板的临界应力分别为
()
2
122,112⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=b t E k f f f
cr μπσ (
)
2
02
2,112⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
h t E
k w w w
cr μπσ 对常用的工形截面梁，[]2.0,1.001∈h b ，5.1≥w f
t t ，从图6.19可以看出，这时总是翼
缘对腹板起约束作用。

例如当1.001=h b ,0.2=w f t 时,08.0=f k ，即
135
()
2
122
,11208
.0⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b t E f f cr μπσ 而
()
2
022
,11232
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=h t E w w cr μπσ 腹板的嵌固系数34.19.2332==x 。

如果w f t t 再增大，或梁受压翼缘上有刚度较大的钢筋混凝土板阻止其屈曲，则腹板可以达到两纵边嵌固的程度，此时6.39=w k ，66.1=x 。

图6.19 受弯梁段局部失稳
6.5.3 钢结构设计规范规定的嵌固系数
从上面的分析中可知，嵌固系数x 随板件集合体中各部分尺寸关系而变化，为了便于设计，规范采用固定的x 值，即
工形截面轴心压杆的腹板：3.1=x 梁腹板的受弯板：61.1=x 梁腹板的受剪板：23.1=x
板件集合体中，如果甲板的抗屈曲能力高于乙板的，并对乙板提供约束，乙板就不可能反过来对甲板提供约束了。

也就是说当甲板1>x ，乙板必然1<x 。

工形截面轴心压杆的翼缘和梁的翼缘都是起约束作用的板件，它们的f k 均应小于0.5。

6.6板稳定理论在钢构件设计中的应用
构件都是由一些板件组成的，一般板件的厚度与板的宽度相比较小，当板件发生局部失稳后，虽然构件还可能继续维持整体的平衡状态，但由于部分板件屈曲后退出工作，减少了构件有效截面，会加速构件整体失稳而丧失承载能力，因此有必要考虑构件局部失稳。

6.6.1轴心受压构件中板件的局部稳定设计
图6.20为一工字形截面轴心受压构件发生局部失稳时的变形形态示意，图6.20（a ）和图6.20
136
（b ）分别表示腹板和翼缘失稳时的变形。

图6.20 轴心受压构件的局部失稳
由前面6.5节的分析，考虑组成构件的板件间相互约束作用，可以得到板件临界应力一般公式
()2
22112⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b t E xk cr
μπησ (6.52) 式中
k ——屈曲系数。

x ——板边缘的弹性约束系数。

如图6.20所示轴心受压柱的腹板可以认为是两非加载侧边
支承于翼缘的均匀受压板，翼缘对腹板存在一定的弹性约束作用。

η——弹性模量折减系数。

当按照弹性屈曲计算得到板的屈曲应力超过了材料的比例极限后，板将在弹塑性状态屈曲，应考虑弹性模量的折减，引入系数E E t =η。

根据轴心受压构件局部稳定的试验结果[24]，可取
()E f E f y y 220248.011013.0λλη-= (6.53)
局部失稳验算考虑要保证板件的局部失稳临界力不小于构件整体稳定的临界应力()y f ϕ，即
()y f b t E xk ϕμπη≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2
2112 (6.54)
式中ϕ为轴心受压柱的整体稳定系数。

1. 工字形截面翼缘宽厚比t b
由于工字形截面的腹板一般较翼缘板薄，腹板对翼缘板几乎没有嵌固作用，因此翼缘可视为三边简支一边自由的均匀受压板，屈曲系数425.0=k ，弹性约束系数0.1=x ，由式(6.54)可以得到翼缘板悬伸部分的宽厚比t b 与长细比λ的关系曲线，为了便于应用，采用下列简单的直线关系
()
y
f t b 235
1.010λ+≤ (6.55) 式中λ为构件两个方向长细比的较大值。

当30<λ时，取30=λ；当100>λ时，取100=λ.
2. 工字形截面腹板高厚比w t h 0
腹板可视为四边支承板，屈曲系数4=k 。

当腹板发生屈曲时，翼缘板作为腹板纵向边的支承，对腹板起一定的弹性嵌固作用，这种嵌固作用可以提高腹板的临界应力。

根据试验，可取弹性约束系数3.1=x ，仍由式(6.54)，经简化后得到腹板高厚比w t h 0的限值公式
137
()
y
w f t h 235
5.0250λ+≤ (
6.56) 式中λ为构件两个方向长细比的较大值，取值规定与翼缘的相同。

其他截面构件的板件宽厚比限值的确定方法类似，具体公式可见表6.2。

表6.2 轴心受压构件板件宽厚比限值
6.6.2 受弯构件中板件的局部稳定设计
组合梁一般由翼缘和腹板等板件组成，如果这些板件不适当地减薄加宽，板中压应力或剪应力达到某一数值后，腹板或受压翼缘有可能偏离其平面位置，出现波形鼓曲（图6.21），这种现象称为梁局部失稳。

图6.21 梁局部失稳
热轧型钢由于轧制条件，其板件宽厚比较小，都能满足局部稳定要求，不需要计算。

对冷弯薄壁型钢梁的受压或受弯板件，宽厚比不超过规定的限值时，认为板件全部有效；当超过此限值时，则只考虑一部分宽度有效（称为有效宽度），应按现行《冷弯薄壁型钢结构技术规范》计算。

138
本小节主要介绍一般钢结构组合梁中翼缘和腹板的局部稳定。

1. 受压翼缘的局部稳定设计
梁的受压翼缘板主要受均布压应力作用（图6.22）。

为了充分发挥材料强度，翼缘的合理设计是采用一定厚度的钢板，让其临界应力cr σ不低于钢材的屈服强度y f ，从而保证翼缘不先丧失稳定。

一般采用限制宽厚比的办法来保证受压翼缘板的稳定性。

图6.22 梁的受压翼缘板
由式(6.52)，板件临界应力一般公式
()222112⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=b t E xk cr
μπησ (6.57) 梁的受压翼缘板悬伸部分，为三边简支板而板长a 趋于无穷大的情况，屈曲系数425.0=k 。

支承翼缘板的腹板一般较薄，对翼缘板没有什么约束作用，因此取弹性约束系数0.1=x 。

如取系数25.0==E E t η，并将25mm /N 1006.2⨯=E 和3.0=μ代入式(6.57)，由条件y cr f ≥σ得
y cr
f b t ≥⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯=2
10025.00.1425.06.18σ
则
y
f t b 235
13
≤ (6.58) 当梁在绕强轴的弯矩x M 作用下的强度按弹性设计（即取0.1=x γ）时，宽厚比可放宽为
y
f t b 235
15
≤ (6.59) 箱形梁翼缘板（图6.22b ）在两腹板之间的部分，相当于四边简支单向均匀受压板，屈曲系
数0.4=k 。

在式(6.57)中，令弹性约束系数0.1=x ，系数25.0=η，由条件y cr f ≥σ得。