中考数学压轴模型-米勒定理（最大张角问题）

中考数学压轴模型-⽶勒定理（最⼤张⾓问题）【模型背景】
①1471年，德国数学家⽶勒向诺德尔教授提了个问题：在地球表⾯的什么部位，⼀根垂直的悬
杆呈现最长？即在什么部位，视⾓最⼤？
此最⼤视⾓问题称之为“⽶勒问题”，其结论称之为“⽶勒定理”。

【问题铺垫】
圆外⾓：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的⾓叫圆外⾓
相关结论：圆外⾓等于这个⾓所夹两条弧的度数差（⼤减⼩）的⼀半
【模型解析】
①⽶勒问题：
已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的⼀动点，则
点P在何处时，∠APB最⼤？
ON→悬杆所在直线，OM→地平⾯，P点→眼睛
②⽶勒定理：
当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最⼤。

【问题解决】
结论：当点P不与AB共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最⼤
证明：在直线l上任取⼀点M（不与P点重合），连接AM、BM,∠AMB即为圆O的圆外⾓。

∴∠APB＞∠AMB，∠APB最⼤
∴当圆与直线l相切时，∠APB最⼤
最⼤张⾓模型⽅法归纳：
问题：
两定点A、B在⼀⾓的⼀条边上，另有⼀个动点P在这个⾓的另⼀条边上，P点在何处∠APB最
⼤（动点成线+动点所对的边为定值.）
解决⽅法：
过A、B两点作圆和另⼀边相切，当P运动到切点时，∠APB最⼤
（动点所成的线与过动点和定长的圆相切∵有切线和弦∴必有弦切⾓→构造母⼦型相似或切割
线定理）
理论依据：
同弧所对的圆周⾓相等，圆外⾓⼩于圆周⾓，圆内⾓⼤于圆周⾓。