大学物理上海交通大学第四版-下册课后题全部答案

习题11
11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷C
10
8.19
1
-
⨯
=
q，B点上有电荷C
10
8.49
2
-
⨯
-
=
q，试求C点的电场强度(设0.04m
BC=，0.03m
AC=)。

解：1q在C点产生的场强：
1
12
4
AC
q
E i
r
πε
=
，
2
q在C点产生的场强：
2
22
4
BC
q
E j
r
=
，
∴C点的电场强度：44
12
2.710 1.810
E E E i j
=+=⨯
+⨯；
C点的合场强：4
3.2410V
E m
==⨯，
方向如图：
1.8
arctan33.73342'
2.7
α===。

11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm
50的圆环，两端间空隙为cm
2，电量为C
10
12
.39-
⨯
和方向。

解：∵棒长为2 3.12
l r d m
π
=-=，
∴电荷线密度：91
1.010
q C m
l
λ--
==⨯⋅
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m
d02
.0
=
长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。

解法1：利用微元积分：
2
1
cos
4
O x
Rd
dE
R
λθ
θ
πε
=⋅
，
∴2
000
cos2sin2
444
O
d
E d
R R R
α
α
λλλ
θθαα
πεπεπε
-
==⋅≈⋅=
⎰1
0.72V m-
=⋅；
解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于d r
<<，该小段可看成点电荷：11
2.010
q d C
λ-
'==⨯，
则圆心处场强：
11
91
22
2.010
9.0100.72
4(0.5)
O
q
E V m
R
πε
-
-
'⨯
==⨯⨯=⋅。

方向由圆心指向缝隙处。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆
i
x
心O 点的场强。

解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。

①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：
有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强： 有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：
20
00
2000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π
π
λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=--⎩⎰⎰
∴总场强：
04O x E R λπε=
，04O y E R λπε=，得：0()
4O E i j R λ
πε=+。

或写成场强：0E ==
，方向45。

11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。

解：电荷元dq 产生的场为：
204d q
d E R πε=
； 根据对称性有：0
y
d E
=⎰，则：
20
0sin sin 4x R d E dE d E R π
λθθθπε===⎰⎰⎰
02R λ
πε=
，
方向沿x 轴正向。

即：
02E i R λ
πε=。

11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度 为0sin λλϕ=，式中0λ为一常数，ϕ为半径R 与x 轴 所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。

解：如图，
02
00sin 44d dl
dE R R λϕϕλπεπε==，
λ
x
y
E
cos sin x y dE dE dE dE ϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩考虑到对称性，有：0=x E ；
∴
200000000sin (1cos 2)sin 4428y d d E dE dE R R R π
πλϕϕλλϕϕ
ϕπεπεε-=====
⎰⎰⎰
⎰，
方向沿y 轴负向。

11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。

解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。

利用例11-3结论，有：
3
32
2
2
0024()
4x dq r xdl
d E x r σππεπε⋅=
=
+∴
3
2
2202cos sin 4[(sin )(cos )]R R Rd dE R R σπθθθ
πεθθ⋅⋅⋅=
+，
化简计算得：
2
001sin 2224E d πσσθθεε=
=
⎰
，∴
04E σ
ε=。

11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。

求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面，
当2d x ≤
时，由12S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q x S ρ=∆∑， 有：0x E ρε=
； 当2d x >时，由2
2S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q d S ρ=∆∑， 有：
02d E ρε=。

图像见右。

11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图所示)，
平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量.
解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。

x
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r ，有
球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin
dS r rd πθθ=⋅ ∴球冠面的面积：
200
cos 2sin 2cos d r
S r rd r θ
θπθθπθ
=
=⋅=⎰
22(1)
d
r r π=-】
∵球面面积为：2
4S r π=球面，通过闭合球面的电通量为：
0q
εΦ=
闭合球面，
由：S S Φ=
Φ球冠
球面
球面球冠
，∴
001(1)(122d q q r εεΦ=-⋅=球冠。

11-9．在半径为R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E ~r 关系曲线。

解：由高斯定律
1
i
S
S E dS q
ε⋅=
∑⎰⎰内
，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r ，
长为l 的高斯面。

（1）当r R <时，
202r l r l E ρππε⋅=，有02E r
ρε=
； （2）当r R >时，202R l r l E ρππε⋅=，则：E =
即：02
0()2()2r
r R E R r R r ρερε⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩；
图见右。

11-10．半径为1R 和2R （21R R <）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和λ-，试求：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >处各点的场强。

解：利用高斯定律：
1
i
S
S E dS q
ε⋅=
∑⎰⎰内。

（1）1r R <时，高斯面内不包括电荷，所以：10E =； （2）12R r R <<时，利用高斯定律及对称性，有：
202l
r l E λπε=
，则：
202E r λ
πε=
；
O
θr
（3）2r R >时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE π=，则：30E =；
即：
11202
ˆ20E r R E r R r R r E r R E λπε⎧=<⎪
⎪
=<<⎨⎪
⎪==>⎩。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离d O O =，如图所示。

求：
（1）在球形空腔内，球心O '处的电场强度0E ；
（2）在球体内P 点处的电场强度E ，设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。

解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为ρ的大球和带有电荷体密度为ρ-的小球的合成。

（1）以O 为圆心，过O '点作一个半径为d 的高斯面，根据高斯定理有：
1
3043S E d S d ρπε⋅=
⋅⎰
⇒
003d E ρε=，方向从O 指向O '； （2）过P 点以O 为圆心，作一个半径为d 的高斯面。

根据高斯定
理有：
1
3043S E d S d ρπε⋅=
⋅⎰
⇒
103P d E ρε=，方向从O 指向P ， 过P 点以O '为圆心，作一个半径为d 2的高斯面。

根据高斯定
理有：
2
3
043S E d S r
ρπε⋅=-⋅⎰
⇒
32203P r E d ρε=-， ∴
1
2
3
20()
34P P r E E E d d ρε=+=-，方向从O 指向P 。

11-12．设真空中静电场E 的分布为E cxi =，式中c 为常量，求空间电
荷的分布。

解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，有：0S
E d S cx S
⋅=⋅∆⎰⎰
由高斯定理：
1
S
S E d S q
ε⋅=
∑⎰⎰内
，
设空间电荷的密度为()x ρ，有：
()x x Sd x cx S ρε∆⋅∆=
⎰
∴0
00
0()x x x d x cd x
ρε=
⎰⎰，可见()x ρ为常数⇒0c ρε=。

11-13．如图所示，一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为1R 和2R ，
在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势．(以无穷远处为电势零点)
解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x 轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：
t a n
2r x θ
=，环面圆宽：
cos
2d x d l θ
=
22tan 2cos 2d x
dS r d l x θππθ
=⋅=⋅⋅
，
利用带电量为q 的圆环在垂直环轴线上0x 处电势的表达式：
14U πε=
环，
有：002tan 2cos 1tan 422d x
x dU d x θσπθ
σθπεε⋅⋅
==⋅，
考虑到圆台上底的坐标为：
11cot 2x R θ=，22cot
2x R θ
=， ∴U =
2
1
0tan 22x x d x σθε⋅⎰
21cot 2cot 02tan 22R R d x θθσθε=
⋅⎰210
()
2R R σε-=。

11-14．电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处（r R <）P 点的电势。

解：利用高斯定律：
01
S
S E dS q
ε⋅=
∑⎰⎰内
（1）r R <时，32
3
04Q r r E R πε=⋅内；有：3
04Q r
E R πε=内（2）r R >时，
204Q r E πε=外；有：204Q
E r πε=
外； x cos
2
dx θ
离球心r 处（r R <）的电势：R r r R U E dr E dr ∞
=⋅+⋅⎰⎰外内，即：
320044R r r
R Q r Q
U dr dr R r πεπε∞=⋅+⋅⎰
⎰230
0388Q Q r R R πεπε=
-。

11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表面
半径为1R ，外表面半径为2R ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。

解：当1r R <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =，
当12R r R <<时，有：
203132
031323)(4)
(3
4r R r r R r E ερπεπρ-=
-=
，
当2r R >时，有：
2
0313
22
0313
233)(4)
(3
4r R R r R R E ερπεπρ-=
-=
，
以无穷远处为电势零点，有：
2
1
2
23R R R U E d r E d r ∞
=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰∞-+-=2
R dr r R R dr r R r R R
203
1
32203133)(3)(2
1
ερερ)(221220R R -=ερ。

11-16．电荷以相同的面密度σ 分布在半径为110r cm =和220r cm =的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V 3000=U 。

（1）求电荷面密度σ；
（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度σ'为多少？
（2
12120m N C 1085.8---⋅⨯=ε）
解：（1）当1r r <时，因高斯面内不包围电荷，有：
E 当1
2r r r <<时，利用高斯定理可求得：2
1220r E r σε=
， 当
2r r >时，可求得：2212320()r r E r σε+=
， ∴
2
1
2
023r r r U E d r E d r ∞
=⋅+⋅⎰⎰2
1
2
222
1122200()
r r r r r r d r d r r r σσεε∞+=+⎰⎰)(210
r r +=εσ
那么：2
9312210
01085.810303001085.8m
C r r U ---⨯=⨯⨯⨯=+=εσ
（2）设外球面上放电后电荷密度'σ，则有：
0120'(')/0U r r σσε=+=，∴
1
2
'r σσ
σ=-
=-
则应放掉电荷为：
2'2
22
34()42
q r r πσσσπ∆=-=⋅124 3.148.85103000.2-=⨯⨯⨯⨯⨯96.6710C -=⨯。

11-17．如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，细线左端离球心距离为0r 。

设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的
电势为零）。

解：（1）以O 点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x 轴，
均匀带电球面在球面外的场强分布为：
2
04q E r πε=
（r R >）。

取细线上的微元：dq dl dr λλ==，有：d F E dq =， ∴
00
2
0000ˆ44()r l r q
ql r
F dr x r r l λλπεπε+==+⎰
（ˆr 为r 方向上的单位矢量） （2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：
04q
U r πε=
（r R >，∞
为电势零点）。

对细线上的微元dq dr λ=，所具有的电势能为：
04q dW d r
r
λπε=⋅，
∴00
00
0ln
44r l
r r l q dr
q W r r λλ
πεπε++=
=
⎰。

11-18. 一电偶极子的电矩为p ，放在场强为E 的匀强电场中，
p 与E 之间夹角为θ，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p 、E 平
面的轴转 180，外力需作功多少？ 解：由功的表示式：d A Md θ=
考虑到：M p E =⨯，有：sin 2cos A pE d pE πθ
θθθθ
+=
=⎰。

11-19．如图所示，一个半径为R 的均匀带电圆板，其电荷面密度为σ(＞0)今有一质量为m ，电荷为q -的粒子(q ＞0)沿圆板轴线(x 轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O （也是x 轴原点）为b 的位置上时，
粒子的速度为0v ，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。

解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上0x 处产生的电势为：
00
)2U x σε=
，那么，
(2Ob O b U U U R b σ
ε=-=
+，
由能量守恒定律，222000
111()(2222Ob q m v mv qU mv R b σε=--=++，
有：)(220
2
0b R b R m q v v +-++
=εσ
思考题11
11-1．两个点电荷分别带电q 和q 2，相距l ，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?
答：由22
00244()qQ qQ
x l x πεπε=-
，解得：1)x l =，即离点电荷q 的距离
为1)l 。

11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？
（A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；
（B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；
（C ）场强方向可由q /F E =定出，其中q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电荷所受的电场力； （D ）以上说法都不正确。

答：（C ）
11-3．真空中一半径为R 的的均匀带电球面,总电量为q (q ＜0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积S ∆(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去S ∆后球心处的电场强度大小和方向. 答：题意可知：
204q
R σπε=
，利用补偿法，将挖去部分
看成点电荷， 有：204S
E R σπε∆=
，方向指向小面积元。

11-4．三个点电荷1q 、2q 和3q -在一直线上，相距均为R 2，以1q 与2q 的中心O 作一半径为R 2的球面，A 为球面与直线的一个交点，如图。

求：
(1)通过该球面的电通量⎰⎰⋅S E d ； (2)A 点的场强A E 。

解：(1)
12
S
q q E dS ε+⋅=
⎰⎰
；(2)
203202
20144)3(4R πεq R πεq R πεq E A -
+=。

11-5．有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O 点2/a 处，
有一电荷为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量
为多少？
解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q 围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为：0/q εΦ=闭合，那么，
通过该平面的电场强度通量为：
06q
εΦ=。

11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？
(A )如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；
(B )如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C )如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D )如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。

答：(A )
11-7．由真空中静电场的高斯定理
1
S
E d S q
ε⋅=
∑⎰可知
(A )闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为
零；
(B )闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；
(C )闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；
(D )闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。

答：(C )
11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的
r E ~关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。

(A )半径为R 的均匀带电球面； (B )半径为R 的均匀带电球体；
(C )半径为R 、电荷体密度Ar =ρ(A 为常数）的非均匀带电球体； (D )半径为R 、电荷体密度r A /=ρ(A 为常数)的非均匀带电球体。

答：(D )
11-9．如图，在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心、R 为半径的球面上一点P 处作电势零点，则与点电荷q 距离为r 的P'点的电势为
(A )r q
04επ (B )⎪
⎭⎫ ⎝⎛-πR r q 1140ε
(C )()R r q
-π04ε (D )⎪⎭⎫ ⎝⎛-πr R q 1140ε
答：(B )
11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r 、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为12U ．当电势差增加到412U 时，半径为2r 的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？
解：g r πρq d U 31234⋅=┄①，g
r πρq d U 312)2(34
4⋅='┄②
∴①②联立有：e q q 42=='。

11-11．设无穷远处电势为零，则半径为R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的0U 和b 皆为常量)：
答：(C )
11-12．无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。

见书中例11-12。

大学物理第12章课后习题
12-1．一半径为10.0米的孤立导体球，已知其电势为V 100(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。

解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：00
4Q R
U R
σπεε=
=
， 则：129208.85101008.85100.1
U
C m R εσ--⨯⨯===⨯。

12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为cm 0.61=r ，cm 0.122=r ，都带有C 1038
-⨯的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。

解：半径分别为1r 的电量为1q ，2r 电量为2q ， 由题意，有：
1201
02
44q q r r πεπε=
┄①，821106-⨯=+q q ┄②，
①②联立，有：81210q C -=⨯，82410q C -=⨯。

12-3．有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势．
解：由高斯定理，可求出场强分布：
132322032141
2004024E r R q E R r R r E R r R q E r R r πεπε=<⎧⎪⎪=
<<⎪⎪⎨
=<<⎪⎪=
>⎪⎪⎩
∴32
1
3
2
1
012340R R R R R R U E d r E d r E d r E d r ∞
=
⋅+⋅+⋅+⋅⎰
⎰⎰⎰
2
3
1
2
2
00244R R R q q dr dr r r
πεπε∞
=+⎰
⎰
321
112
(
)4q R R R πε=-+。

12-4．一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为1R 、2R ．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出r E ~和r V ~曲线. 解：由高斯定理，可求出场强分布：
112
021232
200404q E r R r E R r R q E r R r πεπε⎧=<<⎪⎪⎪
=<<⎨⎪
⎪=
>⎪⎩
∴电势的分布为： 当10r R <≤时，12
12
2
0044R r
R q q U dr
r
r
πεπε∞
=
+⎰
⎰012
111
()4q
r R R πε=
-+； 当12R r R <≤时，2
22
002
44R q q U dr r R πεπε∞
=
=
⎰
；
r
r
12
当2R r ≥时，32
0044r
q q U dr r r
πεπε∞=
=
⎰。

12-5．半径10.05,R m =，带电量8310C q -=⨯的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8210C Q -=-⨯。

试求距球心r 处的P 点的场强与电势。

（1）0.10r m =（2）0.06r m =（3）0.03r m =。

解：由高斯定理，可求出场强分布：
112122032343
2
00404E r R q E R r R r E R r R Q q E r R r πεπε=<⎧⎪⎪=
<<⎪⎪⎨
=<<⎪⎪+=>⎪⎪⎩
∴电势的分布为： 当1r R ≤时，21
312200
44R R R q Q q U dr dr r
r πεπε∞
+=
+⎰
⎰0120311()44q Q q
R R R πεπε+=-+
， 当12R r R <≤时，2322
20044R r R q
Q q U dr dr r
r πεπε∞
+=+⎰
⎰0203
11()44q Q q
r R R πεπε+=-+
， 当23R r R <≤时，332
04R Q q U dr r πε∞
+=⎰03
4Q q
R πε+=， 当3r R >时，42
0044r Q q Q q
U dr r r
πεπε∞
++=
=⎰， ∴（1）0.10r m =，适用于3r R >情况，有：
3
420910N 4Q q E r πε+==⨯，4
0900V 4Q q U r
πε+==； （2）0.06r m =，适用于12R r R <<情况，有： 422
07.510N 4q E r πε=
=⨯，320203
11
() 1.6410V 44q
Q q U r R R πεπε+=
-+=⨯； （3）0.03r m =，适用于1r R <情况，有：
10E =，310
1203
11
(
) 2.5410V 44q Q q U R R R πεπε+=
-+=⨯。

12-6．两块带有异号电荷的金属板A 和B ，相距mm 0.5，两板面积都是2
cm 150，电量分别为C 1066.28
-⨯±，A 板接地，略去边缘效应，求：（1）B 板的电势；（2）AB 间离A 板mm 0.1处的电势。

解：（1）由0E σε=有：0q
E S
ε=，
则：0AB qd
U Ed S
ε==
，而0A U =， ∴83
122
2.661051010008.8510 1.510
B U V ----⨯⨯⨯=-=-⨯⨯⨯，
B
5mm
离A 板mm 0.1处的电势：31
(10)2005
P U V =
⨯-=-
12-7．平板电容器极板间的距离为d ，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。

若插入厚度为t (t <d )的金属板，求无金属板时和插入金属板后极板间电势差的比；如果保持两极板的电压不变，求无金属板时和插入金属板后极板上的电荷的比。

解：（1）设极板带电量为0Q ，面电荷密度为0σ。

无金属板时电势差为：0100
U E d d σ
ε=⋅=，
有金属板时电势差为：0200
()()U E d t d t σ
ε=⋅-=-，
电势差比为：0
01020
()d U d
U d t
d t σεσε==--；
（2）设无金属板时极板带电量为0Q ，面电荷密度为0σ， 有金属板时极板带电量为Q ，面电荷密度为σ。

由于12U U =，有0()E d E d t ⋅=⋅-，即000
()d d t σσ
εε⋅=-
∴00Q d t Q d
σσ-==。

解法二：
无金属板时的电容为：00S
C d
ε=
，有金属板时的电容为：00S
C d t
ε=
-。

那么：
（1）当极板电荷保持不变时，利用Q C U =
知：12U d
U d t
=-； （2）当极板电压保持不变时，利用Q C U =知：0Q d t
Q d
-=。

12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E 垂直于地面向下，大小约为V/m 130.在离地面km 5.1的高空的场强也是垂直向下，大小约为5V/m 2. （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到km 5.1高空的空气中的平均电荷密度．
解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用00
E σ
ε=考察，选竖直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为0130E V =-，所以：
129208.8510(130) 1.1510E C m σε--==⨯⨯-=-⨯；
（2）如图，由高斯定理
01
i
S
S E dS q ε⋅=
∑⎰⎰
内
，有：
00
'()h S
E S E S ρε∆∆+-∆=，则：3121.51025(130)8.8510ρ-⨯⨯---=⨯，
得：133
6.210
C m ρ-=⨯。

+
U
km
'25
E =-
12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴为r 处(1R <r <2R )的电势。

解：∵1R <r <2R 处电场强度为：02E r
λ
πε=，
∴内外圆柱间电势差为：2
1
212001
ln 22R R R V V dr r R λλ
πεπε-==⎰
则：
12021()2ln()
V V R R λ
πε-= 同理，r 处的电势为：2
2200ln 22R r r
R U V dr r r
λλ
πεπε-=
=⎰
（*） ∴220ln 2r R U V r λ
πε=+212221ln()()ln()
R r V V V R R =-+。

【注：上式也可以变形为：r U =111221ln()
()ln()
r R V V V R R =--，与书后答案相同，或将（*）
式用：1
1001
ln 22r
r R r
V U dr r R λλπεπε-=
=⎰
计算，结果如上】
12-10．半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求：
（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。

解：（1）首先考虑a 和b 的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：
0044a
b
a
b
q q r r πεπε=
┄①，再由系统电荷为Q ，有：a b q q Q +=┄②
两式联立得：a Qa q a b =
+，b Qb
q a b
=+； （2）根据电容的定义：0a Q Q C U q πε==（或0b
Q Q C U q πε==），将（1）结论代入， 有：04()C a b πε=+。

12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。

解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：2
04Q
E r
πε=
，
而电势差：20
044b b a a Q Q b a
U E d r d r r ab πεπε-=⋅==⋅
⎰⎰， ∴04Q Uab
b a
πε=
-，那么，场强表达式可写为：2a b U E b a r =⋅-。

因为要考察内球表面附近的场强，可令a r =，有：()a bU
E b a a
=-，
将a 看成自变量，若有0a dE da =时，出现极值，那么：22(2)0()
bU
b a ab a --=-
2
得：2b a =
，此时：min 4a U E b
=。

12-12．一空气平板电容器，极板B 、A 的面积都是S ，极板间距离为d ．接上电源后，A 板电势V U =A ，B 板电势0B =U ．现将一带有电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片C 平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C 的电势。

解：由题意，22AB BC d d V E E =⋅
+⋅，而：0A AB E σε=，0
A BC E σσε+= 且q S σ=，∴002A d q d V S σεε=+，则：0
0()2A q d V S d
εσε=-。

导体片C 的电势：022
A C C
B CB d d
U U E σσε+==⋅=⋅，
∴01()22C q
U V d S
ε=+。

12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球1r R =，大球24r R =，两球各自带有电量为q ，有： 接触之前的电势能：22000444q q W R
R
πεπε=
+
；
（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为1q ，大金属球带电为2q ， 有：
1201
02
44q q R R πεπε=
┄①和122q q q +=┄②，①②联立解得：125q q =
，285
q q =。

那么，电势能为：22
2
21
2
0000046416252544444425
q q q q W W R R R R πεπεπεπε=
+=+=。

思考题12
12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有q +和q -的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。

答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，
两板的电场线接近板面时应该垂直板面。

12-2．在“无限大”均匀带电平面A 附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为σ+，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？ 答：2
1σ
σ-
=，2
2σ
σ=。

12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 之间的关系是怎样的？
答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的 距离为d 处(d <R )，固定一点电荷q +，如图所示，用导线把球壳 接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电 势为多少？ 答：R
πεq
d πεq U 00044-+
=
12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A 内，放一 带有电荷为Q +的带电导体B ，如图所示，则比较空腔导体A 的 电势A U 和导体B 的电势B U 时，可得什么结论？ 答：A U 和B U 都是等势体，3
04R Q U A πε=
；
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+
=
2103
01144R R Q R Q U B πεπε 习题13
13-1．如图为半径为R 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P (沿x 轴)。

（1）0P P =；（2）
R x
P P 0
=。

解：可利用公式'cos S S q P d S P d S
θ=-⋅=-⎰⎰⎰⎰算出极化电荷。

首先考虑一个球的环形面元，有：2sin ()d S R Rd πθθ=，
（1）0P P =时，由'cos P σθ=知10'cos P σθ=，
22
100
'cos 2sin sin 220
2
R P q P R d d π
π
πθπθθθθ=-⋅=-
=⎰⎰
；
（2）
R x P P 0
=时，22000cos 'cos cos cos x R P P P R R θ
σθθθ
===，
22222000
'cos 2sin 2cos cos q P R d R P d π
π
θπθθπθθ
=-⋅=⎰⎰
2230
00
24cos 3
3R P R P πππθ
==-。

13-2．平行板电容器，板面积为2cm 100，带电量C 109.87-⨯±，在两板间充满电介质后，其场强为V/m 104.16⨯，试求：（1）介质的相对介电常数r ε；(2)介质表面上的极化电荷密度。

解：（1）由0r E σ
εε=，有：18.710100104.11085.8109.84
61270=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---ES Q r εε
（2）52
0'(1)7.6610r P E C m σεε-==-=⨯
P
sin θ
13-3．面积为S 的平行板电容器，两板间距为d ，求：（1）插入厚度
为3d ，相对介电常数为r ε的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）
插入厚度为3d
的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？
解：（1）电介质外的场强为：
00E σ
ε=
，
而电介质内的场强为：
0r r E σ
εε=
， 所以，两板间电势差为：
00233r d U d σσεεε=⋅+⋅
， 那么，03(21)r r S Q S C U U d εεσε===+，而
00S C d ε=
，∴0321r r C C εε=+； （2）插入厚度为3d
的导电板，可看成是两个电容的串联，
有：
00
123/3S S C C d d εε===， ∴
0021212323C d S C C C C C ==+=ε⇒03
2C C =。

13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为0σ与σ'(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E ；（2）相对介电常数r ε。

解：（1）由：
1
(')
S
E d S q q ε⋅=
+∑⎰⎰，有：
00'
E σσε-=
（∵'σ给出的是绝对值）
（2）又由
00r E σεε=，有：0000
0000''r E σσεσεεεσσσσ==⋅=
--。

13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。

若
导体内表面的自由电荷面密度为σ，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为r ε) 解：由
'S
q P d S
=-⋅⎰⎰，考虑到0(1)r P E εε=-，
有：0'
(1)S
r q E d S εε⋅=-
-⎰⎰
， 与
'
S
q q E d S ε+⋅=
⎰⎰
联立，有：00
''
(
1)
r q
q q εεε+-
=
-，
3
d
3d
3
d
σ
+σ-
得：(1)'r r
q
q εε-=-
，∴
1
'r r
εσσε-=-。

13-6．如图所示，半径为0R 的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率为r ε，求：介
质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。

解：利用介质中的高斯定理
i
S
S D dS q ⋅=∑⎰⎰内。

（1）导体内外的电位移为：0r R >，
24Q
D r π=
；0r R <，
0D =。

（2）由于
0r D
E εε=
，所以介质内外的电场强度为：
0r R <时，10E =；10R r R >>时，
220
04D
Q
E r επε=
=
；
21R r R >>时，
320
04r r D
Q
E r εεπεε=
=
；2r R >时，420
04D Q E r επε==。

13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为cm 4，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为0200/E kV m =，试求该电容器可能承受的最高电压。

解：由介质中的高斯定理，有：
02r E r λ
πεε=
，
∴
00ln
22R
R
r r r r r R
U E d r d r r r λλπεεπεε=⋅==⎰⎰， ∵击穿场强为0E ，∴002r r E λπεε=，则
0ln
r R U r E r =， 令0
r
r r dU d r
==，有：
000ln
0R E E r -=，∴0
ln 1R r =⇒e R r =0， ∴
max 000ln
147R E R U r E KV r e ===。

13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为1d 和2d 的电介质，它们的相对介电常数为1r ε和2r ε，极板面积为S ，求电容量。

解：∵12D D σ==，∴
101r E σ
εε=
，
202r E σεε=
，
而：
12
11220102r r d d U E d E d σσεεεε=+=
+
， 有：0012
12211212r r r r r r S S Q
C d d U d d εεεεεεεε===++。

13-9．利用电场能量密度2
12e w E ε=计算均匀带电球体的静电能，设球
体半径为R ，带电量为Q 。

解：首先求出场强分布：
13022044Q r E r R
E R Q E r R
r πεπε⎧=<⎪⎪⎨
⎪=>⎩=⎪
∴
222
22
032
00(
)4(
)42
2
42
4R
R
Q r Q W E dV r d r r d r R r
εεεπππεπε∞
==
+
⎰⎰⎰
⎰
⎰
2
0320Q R πε=。

13-10．半径为cm 0.2的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为cm 0.4和cm 0.5，当内球带电量为C 100.38-⨯时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布：
112122032333
200
404E r R q E R r R r E R r R q E r E r R πεπε=<⎧⎪⎪=
<<⎪
⎨
=<<⎪⎪=
⎩
=>⎪
考虑到电场能量密度2
12e w E ε=，有：球与球壳之间的电能：
2
1
22
22
12
00
1211
(
)4(
)
2
2
48R R q q W E dV r dr r R R εεππεπε==
=-⎰⎰⎰
⎰
41.0110J -=⨯
球壳外部空间的电能：
3
2
2
22
22
003(
)42
248R q q W E dV r dr r
R εεππεπε∞
==
=
⎰⎰⎰
⎰
58.110J -=⨯，
∴系统储存的电能：4
12 1.8210W W W J -=+=⨯；
（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0
，
所以1'0W =
而外表面所带电荷不变，那么：
5
2'8.110W W J -==⨯。

13-11．球形电容器内外半径分别为1R 和2R ，充有电量Q 。

（1）求电
容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按
C Q W 2
e 21=
算得的电容器所储电能值相等。

解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：
204Q
E r πε=
，（12R r R <<）
利用电场能量密度2
1
2e w E ε=，有电容器内电场的能量：
2
1
222
2
2
2120012012()11()4()2
2
488R R Q R R Q
Q W E dV r d r r R R R R εεππεπεπε-==
=-=⎰⎰⎰
⎰
； （2）由
2
121
212
00
12012()11
(
)444R R R R Q R R Q Q U dr r
R R R R πεπεπε-==-=⎰
，
则球形电容器的电容为：
12
120
214R R R R Q C U R R πε=
=-，
那么，2221012()
128e Q R R Q W C R R πε-==。

（与前面结果一样）
13-12．一平行板电容器的板面积为S ，两板间距离为d ，板间充满相对介电常数为r ε的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U 不变而把介质取出。

解：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变，有介质时：
22
01001122r r Sd W E Sd σεεεε==
， （0r D E εε=，0D σ=）
取出介质后：
22
02001122Sd W E Sd σεε==
， 外力所做的功等于静电场能量的增加：
2
021011
(1)
2r Sd W W W σεε∆=-=-； （2）维持两板上电压U 不变，有介质时：2
0212121U
d S CU W r εε==，
取出介质后：20222121U d S CU W ε==
，
∴02
211(1)
r S W W W U εε∆=-=
-。

思考题13
13-1．介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？ 答：θP σcos ='。

13-2．不同介质交界面处的极化电荷分布如何？
答：1σ'=⋅1
1n P e ，2
σ'=⋅2
2n P e ()P σ=-⋅12n P P e 即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两
种介质的极化强度的法向分量之差。

13-3．介质边界两侧的静电场中D 及E 的关系如何？
答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。

电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。

13-4．真空中两点电荷A q 、B q 在空间产生的合场强为B A E E E +=.系统的电场能为
τετεd 21
d 21020
e 00E E ⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
V V E W
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅++=0
00d d 21d 21B A 02
B 02A 0V V V E E τ
ετετεE E .
（1）说明等式后面三项能量的意义；
（2）B A 、两电荷之间的相互作用能是指哪些项？
（3）将B A 、两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？
答：第一项表示点电荷A 所形成的电场的能量，第二项是点电荷B 所
形成的电场的能量，第三项是两个点电荷的相互作用能。

大学物理第14章课后习题
14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。

解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I I
B R R
μθμπ=
=，方向：；
直导线在O
点的磁感应强度：0000
20
[sin 60sin(60)]4cos60
2I
I B R R
μππ=
--=
，方向：⊗；
∴总场强：01
(
)23
I
B R
μπ=-，方向⊗。

14-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。

（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；
（2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。

解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2
032
22
2()
I R B R z μ=+。

（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2
013222
2[()]
2P I R B a R x μ=
++，
右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2
02
3222
2[()]2
P I R B a
R x μ=+-，
1P B 和2P B 方向一致，均沿轴线水平向右，
∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=23302
22222
[()][()]2
22I R a a R x R x μ--⎧
⎫++++-⎨⎬⎩⎭
；
（2）因为P B 随x 变化，变化率为
d B
d x
，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。

对B 求一阶导数：
d B d x 25502222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--⎧⎫=-++++-+-⎨⎬⎩⎭
当0x =时，
0d B
d x
=，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。

对B 求二阶导数：
22()d d B d B d x d x d x
== 222
057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ⎧⎫
+-⎪⎪⎪⎪--+-⎨⎬⎪⎪
+++++-+-⎪⎪⎩⎭
当0x =时，
202
x d B
d x ==22
2
07
222
3[()]2
a R I R a R μ-+， 可见，当a R >时，20
20x d B
d x
=>，O 点的磁感应强度B 有极小值， 当a R <时，
20
20x d B
d x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值，
当a R =时，
20
2
0x d B
d x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀
强磁场。

【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N 匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】
14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。

解：∵a 段对O 点的磁感应强度可用0S
B d l I μ⋅=∑⎰
求得，
有：04a I B R μπ=
，∴04a I
B j R
μπ=-
b 段的延长线过O 点，0b B =，
c 段产生的磁感应强度为：0044c I I B R R μμππ=⋅=，∴04c I
B k R μ=
则：O 点的总场强：0044O I I
B j k R R
μμπ=-
+，方向如图。

14-4．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈均匀覆盖住半个球面。

设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I ，求球心O 的磁感强度。

解：从O 点引出一根半径线，与水平方向呈θ角，则有水平投影： cos x R θ=，圆环半径：sin r R θ=，取微元dl Rd θ=， 有环形电流：2N I
d I d θπ
=，
利用：B 2
02
232
2()
I R R x μ=
+，有：
dB 2022322()r dI
r x μ=+220222232
sin (sin cos )
N IR d R R μθθ
πθθ=+20sin N I d R μθθπ=， ∴B 0220sin N I d R πμθθπ=⎰02
01cos 22N I d R π
μθθπ-=⎰04N I R
μ=。

14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线平行，间距为a ，若导体内的电流密度均匀为j ，j 的方向平行于轴线。

求腔内任意点的磁感应强度B 。