材料力学答案第二章

第二章 拉伸、压缩与剪切
第二章答案
2.1 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。

40kN 50kN 25kN
（a ）
4
4F R
F N
4
40kN 3
F N
3
25kN 2F N
2
20kN
11
F N
1
解：
F R =5kN F N 4
=F R =5 kN
F N 3
=F R +40=45 kN
F N 2
=-25+20=-5 kN
F N 1
=20kN
45kN 5kN
20kN
5kN
（b）
1
10kN
6kN
F N
1
=10 kN
F N
2
=10-10=0
F N
3
=6 kN
1—1截面：
2—2截面：
3—3截面：10kN
F N
1
1
1
10kN
10kN
2
2
F N
2
6kN
3
3
F N
3
2.2 图示一面积为100mm 200mm的矩形截面杆，受拉力F = 20kN的作用，试求：（1）
6
π
=
θ的斜截面m-m 上的应力；（2）最大正应力max σ和最大剪应力max τ的大小及其作用面的方位角。

解：
320101MPa
0.10.2
P A σ⨯===⨯2
303cos 14
σσα==⨯=3013sin600.433MPa 2
22
σ
τ=
=
⨯=max 1MPa
σσ==max 0.5MPa
2
σ
τ=
=F
2.3 图示一正方形截面的阶梯形混凝土柱。

设重力加速度g = 9.8m/s 2, 混凝土的密度为
33m /kg 1004.2⨯=ρ，F = 100kN ，许用应力[]MPa 2=σ。

试根据强度条件选择截面宽度a
和b 。

b
a
解：
2
4,
a
ρ⋅3
42
2.0410ρ=⨯⨯11
[]
a
σσ=0.228m
a ≥
=
=22
342424431001021040.2282104a b b ρρ=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2[],
b
σσ≥0.398m 398mm
b ≥
==
2.4 在图示杆系中，AC 和BC 两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[]σ。

BC 杆保持水平，长度为l ，AC 杆的长度可随θ角的大小而变。

为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。

F F N F
θθsin ,0sin ,022F F F F F N N Y =
=-=∑F F F F F N N N X
θ
θ
cos ,0cos ,01
12=
=
-=∑1
A =2A A 2A 1解：
[])
sin cos cos sin 1(cos 1221θθ
θθσθ
+=+=
+=Fl l A l A V V V []
)
cot 2(tan θθσ+=
Fl
)cot tan cos sin cos sin cos sin 1(22θθθθθ
θθθ+=+=θθθθθ22sin 1
)(,cos 1)(tan ,0-=
'='=ctg d d 由V 0sin 2cos 1)2(tan 22=-=+θ
θθθθctg d d 0
cos 2sin ,0cos sin cos 2sin 222222=θ-θ=θ
θθ-θ
44.54,
2tan ,2tan 2==
=θθθ
2.5 图示桁架ABC ，在节点C 承受集中载荷F 作用。

杆1与杆2的弹性模量均为E ，横截面面积分别为A 1 = 2580 mm 2, A 2 = 320 mm 2。

试问在节点B 与C 的位置保持不变的条件下，为
使节点C 的铅垂位移最小，θ应取何值(即确定节点A 的最佳位置)。

F F F
N 2
F N 1C θ
1l ∆2
l
∆θ
θ
θsin /,cot 21F F F F N N ==解：1
1111cot EA l
F EA l F l N ⋅==
∆θθ
θcos sin 22222EA l
F EA l F l N ⋅==
∆⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+=∆+∆=∆θθθθθθtan cot cos sin 1tan sin 12212A A E Fl l l C V 0=∆θ
d C d V
0cos sin cos 823=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+θθθθd d o
7.55=θ
2.6图示杆的横截面面积为A ，弹性模量为E 。

求杆的最大正应力及伸长。

EA
Fl EA Fl EA Fl dx EA x l F EA l
F l A
F l
=+=+⋅=
∆=
⎰2220σ
2.7 图示硬铝试样，厚度mm 2=δ，试验段板宽b = 20 mm ，标距l = 70 mm ，在轴向拉力F = 6kN 的作用下，测得试验段伸长mm 150.l =∆，板宽缩短mm 0140.b =∆，试计算硬铝的弹性模量E 与泊松比μ。

解：
15.022070
6000=⨯⨯==
∆E EA l F l N MPa
E 70000=μ=∆∆l
l b b /327.07015
.0/20014.0==
μ
2.8 图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E=200GPa ，截面面积A I =300mm 2，A II =250mm 2,A III =200mm 2。

试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长。

解：
1
30kN ,
N =11100MPa 30010
σ==⨯63
1
19
100100.5100.05%20010
E σε-⨯===⨯=⨯31110.51010.05mm
l l ε-∆==⨯⨯=F N1
215kN
,
N =3
26
21510
60MPa 25010
σ-⨯==⨯632
29
60100.3100.03%20010
E σε-⨯===⨯=⨯32220.310 1.50.45mm
l l ε-∆==⨯⨯=325kN ,
N =336
32510125MPa 20010
σ-⨯=⨯63
3
39
125100.625100.0625%20010
E σε-⨯===⨯=⨯33330.625102 1.25mm
l l ε-∆==⨯⨯=31230.50.45 1.25 2.2mm
l l l l ∆=∆+∆+∆=++=F N2F N3
2.9 图示一三角架，在结点A 受铅垂力F = 20kN 的作用。

设杆AB 为圆截面钢杆，直径d = 8mm ，杆AC 为空心圆管，横截面面积为26m 1040-⨯,二杆的E = 200GPa 。

试求：结点A 的位移值及其方向。

1.5m C
F
A
B
2.5m
解：
5
25kN ,4
AB N P =
=3
15kN 4
AC
N P ==32
96
2510 2.5
6.22mm 820010104
AB AB
AB AB
N l l EA π-⨯⨯∆=
==⨯⨯⨯⨯3
96
1510 1.5
2.81mm 200104010
AC AC
AC AC
N l l EA -⨯⨯∆=
=
=⨯⨯⨯2.81mm
A AC x l =-∆=-53
9.88mm
44
A A
B A
C y l l =∆+∆=F
A F N AB
F N AC
A
A ′
AC
l ∆AB
l ∆F N AC F N AB F=F=F N AB F N AC mm
AA 3.10'=
2.10 图示一刚性杆AB,由两根弹性杆AC 和BD 悬吊。

已知：F,l,a,E 1A 1和E 2A 2，求：当横杆AB 保持水平时x 等于多少？
解：
A
1x
N P l
=
2()l x N P l
-=
12,
l l ∆=∆11
22,
1122
l l E A E A 221122
E A l x E A E A =
+F N 2F N 10
1=-Fx l F N 0
)(2=--x l F l F N
2.11 一刚性杆AB,由三根长度相等的弹性杆悬吊。

○1、○2、○3杆的拉压刚度分别为E 1A 1、E 2A 2和E 3A 3,结构受力如图所示。

已知F 、a 、l ，试求三杆内力。

132
2l l l +=ΔΔΔl
②E 2A 2
E 3A 3
A
B ①
E 1A 1
③a
a
F
解：
A
B
F
F N 1F N
2
F N 3
∆l 1
∆l 3
∆l 2
0321=-++=∑F F F F F N N N Y 0
2012=+=∑N N B F F M 2
22
3331112A E l
F A E l F A E l F N N N =+
1
1
1
11
33
22
22
N P N N E A E A E A ++
=-33
1
112233
,141P E A N E A E A E A =-++
33
2112233
2141
P
E A N E A E A E A =
++
1122
3
112233
14141E A E A N E A E A E A +
=++
F F 2F F N1F N1F N1F N1=F N2=F N3=F
2.12 横截面面积为A=1000mm 2的钢杆，其两端固定，荷载如图所示。

试求钢杆各段内的应力。

解：123
:l l l +=几ΔΔΔF R A + F R B –100 –150 = 0
F N 1=F R A ，F N 2=F R A -100，F N 3=F R B
04
.03.0)100(5.0=⨯-⨯-+⨯EA
F EA F EA F RB RA RA 0.5(100)0.30.40,A A B R R R ⨯+-⨯-⨯=F R A F N 1
F R B
F N 3
F N 2
F R B =2F R A -75
F R A F R A F
R B
F R A + F R B =250，F R A = 108.3 kN ，
F R B = 250-F R A = 141.7 kN
3
14
108.3
10108.31010
σ-⨯=⨯MPa
324
8.3108.31010
σ-⨯==⨯MPa 334
141.710141.71010
σ-⨯=⨯MPa F N 1=F R A =108.3 kN （拉力）
F N 2
=F R A -100=108.3-100=8.3 kN （拉力）
F N 3=F R B =141.7 kN （压力）
2.13 木制短柱的四角用四个44040⨯⨯的等边角钢加固。

已知角钢的许用应力
[]MPa 160＝钢σ,钢E ＝200GPa ；木材的许用应力[]
MPa 12＝木
σ,MPa E 12＝木。

试求许可荷
载F 。

+
E
12
1010
F
F N
m
+ F N
G
=F
,
m m g g
=g 解：△L m= △L G
m
N=
[]
1
g g g
m m
g g
N A
E A
σ
==
1
[][](1)
m m
g g
g g
A
P A
E A
σ
=+
9
64
94
100.250.25
1604 3.086(1)798kN
200104 3.08610
-
-
⨯⨯⨯
=⨯⨯⨯⨯+=
⨯⨯⨯⨯
F Ng
Nm
F
,
g g
g m
m m
E A
N N
E A
=
[]
1
m m m
g g
m m
N A
E A
σ
==
+
2
[][](1)
g g
m m
m m
E A
P A
E A
σ
=+
94
6
9
200104 3.08610
121040.250.25(1)997kN
12100.250.25
-
⨯⨯⨯⨯
=⨯⨯⨯⨯+⨯=
⨯⨯⨯
1
[][]798kN
P P
==
F Ng
F Nm
F Nm
F
F F
2-14 在图示结构中，1、2两杆的抗拉刚度同为E 1A 1,3杆的抗拉刚度为E 3A 3,长为l 。

在节点处受集中力F 。

试求将杆1、2和3的内力。

1
B
D
C
αα
32
A
F
l
1
B
D C
αα
⊿l 3
⊿l 1
32
F N 3
F N 1
F N 2F
αα
解：0
cos cos ,00
sin sin ,031212=-++=∑=-=∑F F F F F F F F N N N y N N X ααααα
cos 321l l l ∆=∆=∆3
31
3311111cos ,A E l F l A E l F l N N α
=∆=∆3233111cos N N F A E A E F ⋅=∴α1cos 2
cos 2cos 33
31
1331
13
322
1+=
+⋅=
=∴αααA E A E F
F A E A E F F F N N N 3
1cos 2N N F F F -=∴α
2.15 求图示联接螺栓所需的直径d 。

已知P=200kN ，t=20mm 。

螺栓材料的[τ]=80Mpa,[σbs ]=200MPa 。

F
解：
[],
d ττ=
≤[],
bs bs bs σσF/2F/2
140mm
d ≥
==3
262001050mm []0.0220010
bs P d t σ⨯≥==⨯⨯250mm
d d ==F
2.16 图示元截面拉杆，承受轴向拉力F, 已知[][]σ=τ6.0，试求拉杆直径d 与端头高度h 之间的合理比值。

2.17图示元截面拉杆，承受轴向拉力。

设拉杆直径为d ，已知[][]σ=τ6.0，试求与端头直径为D,高度为h ，试从强度考虑，建立三者之间的合理比值。

，已知[]MPa 90=τ
[]MPa 120=σ，[]MPa 240=bs σ试求拉杆直径d 与端头高度h 之间的合理比值。

解：[]0.6[]
V
τ
τσ==
==2
4[]
L
P
d
σσπ=
=
==0.6[]4[]d h τσσσ== 2.4d
h
=F
[]2230,1204d F d F
πσπσ====
[]dh
F dh
F πτπτ90,90====[])(60,2404
)
(222
2d D F d D F
bs bs -===-=
πσπσ230d π∴dh
π90=3
/=∴h d 230d π∴)
(6022d D -=π3
2/=
∴D d 2
33
:3:1::=∴D d h 解：。