2019-2020人教B版数学选修2-1第3章 3.2 3.2.3 直线与平面的夹角课件PPT

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因为C→M·S→N＝－21＋12＋0＝0， 所以 CM⊥SN. (2)N→C＝－12，1，0， 设 a＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量． 由 a·C→M＝0，a·N→C＝0，得
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x－y＋12z＝0，

－12x＋y＝0，
令 x＝2，得 a＝(2,1，－2)，
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2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？
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[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的 夹角为 0；
②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为π2； ③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为 O，在 直线上任取异于 O 点的另一点 P，过 P 作平面的垂线 PA，A 为垂足， 则 OA 即为直线在平面内的投影，∠AOP 即为直线与平面的夹角， 然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．
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[解] 如图，设 PA＝1，以 A 为原点，直线 AB， AC，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系．
则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M1，0，12， N21，0，0，S1，12，0.
(1)证明：C→M＝1，－1，21， S→N＝－12，－12，0，
π
π
A.6
B.3
π
wenku.baidu.com
5π
C.2
D. 6
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B [以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正 方向建立空间直角坐标系(图略)，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， E0，1，12，
所以D→B＝(1,1,0)，D→E＝0，1，12，
→→
则 sin θ＝||AA→PP|·|AA→CC||＝
2 2＋m2·
＝ 2
2 2＋m2.
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cos θ＝ 1－sin2θ＝ 2＋m m2， 依题意 m2＝3 2，解得 m＝31， 故当 m＝13时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2.
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用定义法解决直线与平面的夹角问题 [探究问题] 1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？ [提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投 影．
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易得平面 BDE 的法向量 n＝(1，－1,2)，而B→A1＝(0，－1,1)， ∴cos〈n，B→A1〉＝12＋32＝ 23， ∴〈n，B→A1〉＝π6. ∴直线 A1B 与平面 BDE 所成角为π2－π6＝π3.]
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合作探究 提素养
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用向量求直线与平面所成的角
若 cos〈m，n〉＝－21，则直线 l 与平面 α 所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
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A [由 cos〈m，n〉＝－12，得〈m，n〉＝120°， ∴直线 l 与平面 α 所成的角为|90°－120°|＝30°.]
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3．如图所示，在棱长为 1 的正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，则直线 A1B 与平面 BDE 所成的角为( )
∵|cos〈a，S→N〉|＝－3×1－2212＝ 22， ∴SN 与平面 CMN 所成角为 45°.
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用向量法求线面角的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量A→B； (3)求平面的法向量 n； (4)计算：设线面角为 θ，则 sin θ＝||nn|··A|→A→BB||.
第三章 空间向量与立体几何
3．2 空间向量在立体几何中的应用 3．2.3 直线与平面的夹角
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学习目标
核心素养
1.理解斜线和平面所成的角的定
义，体会夹角定义的唯一性、合理 通过空间线面角提升学生的数
性. 学运算、逻辑推理素养.
2.会求直线与平面的夹角．(重点、
难点)
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自主预习 探新知
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【例 1】 已知三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC， AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N 为 AB 上一点，AB ＝4AN，M，S 分别是 PB，BC 的中点．
(1)证明：CM⊥SN； (2)求 SN 与平面 CMN 所成的角的大小．
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[思路探究] 建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的 坐标，计算C→M，S→N的数量积，证明(1)；求出平面 CMN 的法向量， 求线面角的余弦，求得线面角．
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【例 2】 如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平 面 ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.
直线 l 与平面 α 所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
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C [设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos 120°|＝12， 又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°.]
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2．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，
D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 所以B→D＝(－1，－1,0)， B→B1＝(0,0,1)， A→P＝(－1,1，m)，A→C＝(－1,1,0)，
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又由A→C·B→D＝0，A→C·B→B1＝0，
知A→C为平面 BB1D1D 的一个法向量，
设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ.
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1．如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上的一点，CP＝m，试确定 m，使 直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2.
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[解] 建立如图所示的空间直角坐标系． 则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，
1．直线和平面所成的角
90° 0° 射影
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思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线 和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为π2－〈s，n〉.
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2．最小角定理
cos θ= cos θ1﹒cos θ2
射影
最小的角
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1．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则