求异面直线间距离的几种常用方法

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异面直线之间的距离的常见求法

异面直线之间的距离的常见求法
作者：华腾飞高长军
来源：《中学生数理化·高一版》2015年第10期
求异面直线之间的距离，由于涉及线与线、线与面、面与面的关系，因此难度较大，求解过程烦琐。

若能根据题意，灵活运用各种不同的解题方法，则可化难为易、化繁为简，快速获解。

一、线面平行法
解题思路：若直线a，b为异面直线，过a作平面a，使得b∥a，则b到a的距离为异面直线a，b之间的距离。

二、垂面法
解题思路：若直线a和b是异面直线，过b（或过a）作平面a，使得a（或b）⊥a，垂足为P。

在平面a内过P作直线b（或a）的垂线，垂足为Q，则PQ就是异面直线a和b之间的距离。

三、转化法
解题思路：求异面直线之间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求解。

四、函数法
解题思路：若直线a，b为异面直线，在a上的动点P到b的距离的最小值即为两条异面直线a与b之间的距离。

空间向量求异面直线的距离方法

空间向量求异面直线的距离方法1. 直接法！嘿，你看，就像你要直接找到两个异面直线之间最短的那条线一样，非常直白地去求啊。

比如正方体里的两条异面棱，你就直观地去找到它们之间最短距离的那个线段。

2. 转化法呀！哎呀，这就像你走不通一条路，那咱就换条路走嘛。

把异面直线的距离转化成别的容易求的距离呀。

比如在三棱锥里，把异面直线的距离转化成求某个面到另一条线的距离。

3. 向量法呗！哇塞，这可厉害啦。

利用向量来搞定异面直线的距离。

就像有了个神奇的工具！比如在一个复杂的几何体中，用向量来算算异面直线的距离，超酷的好不好！4. 定义法呢！这不就跟你找东西按照规定的方法去找一样嘛。

按照异面直线距离的定义去求解呀。

就像找一个特定的宝藏，按照线索去找。

比如在一个棱柱里，根据定义慢慢找异面直线的距离。

5. 等体积法呀！嘿呀，这就好像不同的方法可以解决同一个问题一样。

通过等体积来求出异面直线的距离哟。

比如在一个四面体中，通过等体积的巧妙变换来求出需要的距离。

6. 最值法啦！想想看呀，就跟我们追求最好的结果一样。

找到某个关联量的最值来得到异面直线的距离。

像在一个特殊的图形中，通过巧妙地找最值来求出异面直线的距离。

7. 射影法哟！哇，这就像影子一样，通过它来找到距离呢。

比如在一个有特点的几何体中，利用射影的原理来求异面直线的距离。

8. 公式法咯！简单直接啊，用专门的公式来算。

就好像有个现成的答案等你用一样。

比如在某些典型的模型中，用适用的公式快速求出异面直线的距离。

9. 拼凑法呀！哈哈，就像是把零碎的东西拼凑起来一样。

通过巧妙地拼凑来找到异面直线的距离呢。

比如在一个不规则的几何体中，一点点拼凑出求解异面直线距离的条件。

我的观点结论是：这些方法各有特点，我们要根据具体情况灵活运用，总能找到异面直线的距离呀！。

求异面直线间距离的几种常用方法

求异面直线间距离的几种常用方法1 辅助平面法(1)线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况．若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度．例1 如图1所示正三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧棱为b，求AB与VC的距离．解：在正三棱锥V－ABC中，△AVC≌△BVC，作BE⊥VC，连AE，则AE⊥VC，且AE＝BE，∴VC⊥平面AEB∴VC⊥AB取AB中点D，连DE，则DE⊥AB，又VC⊥DE．∴DE是异面直线AB与VC的公垂线．分析：这样求异面直线间距离就化为平面几何中求点到直线的距离了．作VF⊥BC，则有(2)线面平行法，用于一般情况．其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离．例2 如图2所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BB1＝a，BC＝b，试求异面直线AB与A1C之间的距离．解：∵AB∥AB，∴AB∥平面ABC，于是AB与平面ABC间的距离即为异面直线AB与AC之间的距离．(3)面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面(2)介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离．例3 如图3所示，夹在两平行平面α和β间的异面直线AB、CD，在平面β的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差是45°，求AC与BD之间的距离．∴平面α与平面β的距离为AC与BD间的距离，设此距离为xcm，即AA'＝CC'＝xcm，过D点作DE＝AB且DE∥AB交平面α于E，则ABDE是一个平行四边形．解得x1＝4，x2＝6．故异面直线AC与BD之间的距离是4cm或6cm．2 等积法在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为(1)一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离．(2)分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离．上述两种距离总是通过直线上(或平面上)一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等积计算再求高的办法来求得的．例4 如图4所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求AC与BC1的距离．解：连接A1C1，A1B，C1A，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1BC1，则求AC与BC1的距离转化为求AC与其平行平面A1BC1的距离．也就是三棱锥A－A1BC1的高h．由上可知，等积法与作辅助平面法紧密相连，它是以辅助平面为底，与平面平行的另一条异面直线上某一点到该平面的距离为高组成一个三棱锥，若改变三棱锥的底面易于求得三棱锥的体积，便可利用等积法求出以辅助平面为底的三棱锥的高，即异面直线间的距离．3 极值法运用极值法求异面直线a、b的距离是先在a(或b)上取点A，过A点作AB⊥b，设某一线段为x，列出AB关于x的函数表达式AB＝f(x)，求出AB的最小值，就是所求异面直线间的距离．其理论依据是两异面直线间的距离是连接两直线中最短线段的长．例5 如图5所示，圆锥底面半径为R，母线长为2R，AC为轴截面SAB的底角A的平分线，又BD为底面的一条弦，它和AB成30°的角，求AC与DB之间的距离．解：在AC上任取一点E，作EF⊥AB，垂足为F，则EF⊥底面．设EF＝x∵△SAB是正三角形(AB＝SA＝SB＝2R)4 定义法用定义法的关键要会作出直线的公垂线，对于简单的(如若两异面直线互相垂直，则宜于用此法求，前面线面垂直法已介绍过)，但在一般情形下，由于不易作出两异面直线的公垂线，所以稍难一点就不用此法，而用极值法来解决．此外，还有用射影法、公式法来求两异面直线间的距离，因不常用，故不再举例．。

高中数学：求异面直线的距离的若干方法

高中数学：求异面直线的距离的若干方法在解某些求异面直线距离的问题时，可从不同的角度对题目进行分析研究，从而得到若干不同的解法，再从中选出某些巧妙的解法，即可简便快捷的将题目解出。

已知正方体ABCD的棱长为1，求异面直线与AC的距离。

一、直接利用定义求解如图1，取AD中点M，连、MB分别交、AC 于E、F，连，由平面几何知识，易证，，，则。

由，得⊥平面，则，同理AC⊥，所以，EF⊥，EF⊥AC，即EF为异面直线与AC的距离，故有EF=。

此法的关键是作出异面直线的公垂线段。

二、转化为线面距离求解如图2，连、，则AC∥平面。

设AC、BD 交于O，、交于，连，作OE⊥于E，由⊥平面知，故OE⊥平面。

所以OE为异面直线与AC的距离。

在△中，，则。

所以异面直线与AC的距离为。

此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解，合理、恰当地转化是解决问题的关键。

三、转化为面面距离求解如图3，连、、、、，易知平面，则异面直线与AC的距离就是平面与平面的距离，易证⊥、⊥平面，且被平面和平面三等分，又。

所以异面直线与AC的距离为。

此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解，巧妙的转化常能收到事半功倍的奇特效果。

四、构造函数求解如图4，在上任取一点E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，连EF，则∠EMF=。

设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则所以，当且仅当时，EF取最小值。

所以异面直线与AC的距离为。

选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。

五、利用体积变换求解如图5，连、、，则∥平面，设异面直线与AC的距离为，则D到平面的距离也为。

易知，。

由，得。

所以，则。

所以异面直线与AC的距离为。

此法是将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。

六、利用向量求解如图6，AB为异面直线、的公垂线段，为直线AB 的方向向量，E、F分别为直线、上的任意一点，则。

证明：显然=，，。

所以，所以，所以，即，所以。

异面直线之间距离的测量计算方法

异面直线之间距离的测量计算方法
异面直线代表着在一个空间之中平行的两个直线，它们的距离表示的是它们之间的关系紧密程度，因此测量异面直线之间的距离十分重要。

测量异面直线之间的距离，可以采用四线定位法，四线定位法通过在一条平行直线上编写两个点，点与点之间绘制一条连线，然后计算一条直线上的第三点，并将其与另一条直线的第三点连接，这样就可以计算出它们之间的距离。

此外，使用三角计算法也是测量异面直线之间距离的有效方法。

首先，在异面直线两端绘制一个点，然后在连接两条直线的点上绘制另一个点，接着绘制斜线，将两个点连接起来，最后根据直角三角形的定义，运用三角计算原理计算出异面直线之间的距离。

此外，使用夹角原理也是另一种测量异面直线之间距离的有效方法。

首先，在异面直线的两端确定一个点，然后绘制一条斜线，连接两点，两条斜线得到夹角，运用夹角原理计算出异面直线之间的距离。

总的来说，测量异面直线之间距离的有效方法有以上三种，即，四线定位法、三角计算法和夹角原理。

四线定位法相对比较简单，但精度有限；三角计算法依赖于相似三角形定义，可以测量出更精确的距离；该原理相对比较复杂，但能够精确测量出异面直线之间的距离。

异面直线间的距离

异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。

常用方法有：1、定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例 1 已知：边长 a 为的两个正方形ABCD 和 CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与 AE 间的距离。

思路分析：由四边形ABCD 和 CDEF 是正方形，得CD ⊥ AD， CD⊥DE，即 CD⊥平面 ADE，过 D 作 DH⊥ AE 于 H，可得 DH⊥ AE， DH⊥ CD，所以 DH是异面直线 AE、 CD的公垂A B HD C0a E F线。

在⊿ ADE 中，∠ ADE=120， AD=DE=a， DH= 。

即异面2直线 CD 与 AE 间的距离为a。

22 垂直平面法：转化为线面距离，若a、 b 是两条异面直线，过 b 上一点 A 作 a 的平行线a/，记 a/与 b 确定的平面α。

从而，异面直线a、 b 间的距离等于线面a、α间的距离。

例 1 如图， BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线 BF、 AE间的距离。

F C P 思路分析： BF、 AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两A G βB个面内，∠ EAB= α，∠ FAB= β， AB=d，在平面 Q内，过 B 作 BH‖αAE，将异面直线 BF、AE间的距离转化为 AE 与平面 BCD 间的距离，Q E H D即为 A 到平面 BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过 A 作AC ⊥ AB 交 BF 于 C，即 AC ⊥平面 ABD，过 A 作 AD⊥BD 交于 D，连结 CD 。

异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题).doc

v1.0可编辑可修改异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

例 1 已知：边长 a 为的两个正方形ABCD和 CDEF成 1200A B 的二面角，求异面直线CD与 AE间的距离。

H 思路分析：由四边形ABCD和 CDEF是正方形，得D C CD⊥ AD， CD⊥ DE，即 CD⊥平面 ADE，过 D 作 DH⊥ AE 于 H， E F可得 DH⊥ AE， DH⊥ CD，所以 DH是异面直线AE、 CD的公垂0 a线。

在⊿ ADE中，∠ ADE=120， AD=DE=a， DH= 。

即异面直2线 CD与 AE间的距离为a。

22 垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记 a/与 b 确定的平面α。

从而，异面直线a、b 间的距离等于线面a、α间的距离。

1v1.0可编辑可修改例 1 如图， BF、 AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、 AE间的距离。

F C PA Gβ Bα思路分析： BF、 AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两Q E HD 个面内，∠ EAB=α，∠ FAB=β， AB=d，在平面 Q内，过 B 作 BH‖ AE，将异面直线 BF、AE间的距离转化为AE 与平面 BCD间的距离，即为 A 到平面 BCD间的距离，又因二面角 P-AB-Q 是直二面角，过 A 作AC⊥ AB交 BF 于 C，即 AC⊥平面 ABD，过 A 作 AD⊥ BD交于 D，连结 CD。

两异面直线之间的距离公式

两异面直线之间的距离公式
两异面直线的距离公式是d=【AB*n】/【n】（AB表示异面直线任意2点的连线，n表示法向量）。

异面直线的距离，确定和计算两条异面直线间的距离,关键在于实现两个转化：
一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离。

二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。

拓展资料
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段。

两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离。

定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。

定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。

求异面直线距离的几种方法

求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进展转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这局部知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路假设能找到一条直线c，使c与异面直线a和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，那么c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC 和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，那么AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.〔请同学们完成〕二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α作OP⊥b于P，那么OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，那么O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C 的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG. ∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，那么异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，假设AB和CD 所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD，那么异面直线AB与CD之间的距离d=6VA-BCDAB?CDsin θ.图5图6公式2平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.那么异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，那么∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?12a2=16a3.d=6VP-ABCAC?BPsinθ=6×a362a?5a2?31010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.〔提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a〕.〔收稿日期：2021 -07-09〕。

异面直线之间的距离的常见求法

点，求异面直线ＡＣ与ＤＭ之间的距离。
解：延长ＢＣ到点
Ｎ，使ＢｌＣｌ —ＣｌＮ，连接
ＤＮ、ＭＮ、ＣＮ。
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直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点
到平面的距离常用体积法来求解。
侧了如图３，已知正
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异面直线之闻的距离的常
方体ＡＢＣＤ—Ａ１ＢＣ１Ｄ１的棱长为ａ，Ｍ是ＢＣ的中

求异面直线之间距离的四个技巧

异面直线是既不平行也不相交的两条直线.这组直线的空间位置关系较为特殊，我们往往很难直接求得异面直线之间的距离，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等体积法、构造函数法等，才能使问题获解.下面结合实例，谈一谈求异面直线之间距离的四个技巧.一、平移法求异面直线之间的距离，要首先把握异面直线之间距离的定义和两直线之间的位置关系.异面直线之间的距离是指这两直线之间的公垂线的长，而公垂线必须同时垂直于两条异面直线.可采用平移法，通过平移其中的一条直线a ，使其与另一条直线b 相交，这样便构造出一个平面，过直线a 上的一点作这个平面的垂线，该线即为两条异面直线的公垂线，求得公垂线的长即可求得两条异面直线之间的距离.例1.如图1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线A 1D 和AC 之间的距离.解：连接BD 1、BD 、AD 1，设BD 与AC 的交点为M ，AN 与A 1D 的交点为F ，根据三垂线定理可知：BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，因为N 为DD 1的中点，由三角形中位线的性质可知BD 1∥MN ,MN ∥EF ,即BD 1∥EF ，可知EF 即为异面直线A 1D 和AC 的公垂线，因为BD 1=3a ，所以MN.又因为N 为DD 1的中点，且AA 1∥DN ，则△AA 1F ∽△NDF ，所以AF NF =AA 1ND=2，AF NF =23.因为EF ∥MN ，则EF MN =AF AN =23，可知EF =23MN=，因此异面直线A 1D 和AC之间的距离为.采用平移法解题，需仔细观察立体几何图形中的点、线、面之间的位置关系，尤其要关注线和面之间的垂直、平行关系，通过平移直线将原本看起来毫无联系的两条异面直线关联起来，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式、三角形中位线的性质等来求公垂线的长.图1图2二、向量法对于易于建立空间直角坐标系的立体几何问题，可采用向量法来求解.在求异面直线之间的距离时，可分别求得两条直线的方向向量a 、b ，并设出两条异面的公垂线，然后根据向量之间的垂直关系建立方程组，通过解方程求得公垂线的方向向量，最后求其模长，即可求得异面直线之间的距离.例2.如图2所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，其对角线为AC ′，点M 、N 分别为棱BB ′和B ′C ′的中点，MN 的中点为P ，求异面直线DP 与AC ′之间的距离.解：如图2所示，以D ′为原点，D ′C ′为x 轴、D ′A ′为y 轴、D ′D 为z 轴建立空间直角坐标系，设DP 与AC ′的公垂线为QR ，分别与DP 、AC ′相交于点Q 、R ，根据定比分点公式可得 OR =sOA +(1-s ) OC ′， OQ =t OP +(1-s ) OD ，0<s <1，0<t <1，则A (0,1,1)，C ′(1,0,0)，P (1,34,14)，D (0,0,1)，则R (1-s ,s ,s )，Q (t ,34t ,1-34t ).因为 RQ ⊥AC ′且 RQ ⊥ DP ，所以ìíîïï3s +t -2=0,178t +s -74=0,解得ìíîïïs =4086,s =5286,可得R (4686,4086,4086)，Q (5286,3986,4786)，则RQ 的模长为，即异面直线DP 与AC ′之间的距离为.相较于常规方法，向量法更加简单.在运用向量法解题时，同学们需熟记一些向量的运算法则，如向量的加法、减法，向量的数量积公式、模的公式.探索探索与与研研究究49三、等体积法等体积法一般适用于求解三棱锥问题，是指转换三棱锥的底面和高，根据同一个三棱锥或两个三棱锥的体积相等建立关系式，求得问题的答案.在求异面直线之间的距离时，可将异面直线置于三棱锥中，采用等体积法求三棱锥的高，进而求得两条异面的公垂线的长.在解题时，同学们要善于寻找体积相等的三棱锥，或易于计算体积的三棱锥的底面和高，建立等价关系式.例3.如图3所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为BC 的中点，求直线ED 1与直线CC1之间的距离.图3图4解：如图4所示，过点E 作EE 1∥CC 1，连接D 1E 1.已知点E 为BC 的中点，则点E 1为B 1C 1的中点，所以B 1E 1=E 1C 1.因为EE 1⊂平面D 1EE 1，EE 1∥CC 1，则CC 1∥平面D 1EE 1，则异面直线ED 1与CC 1之间的距离即为直线CC 1到平面D 1EE 1的距离，也就是点C 1到平面D 1EE 1的距离.设点C 1到平面D 1EE 1的距离为a ，由V C 1-D 1EE 1=V E -C 1D 1E 1可得：13S △D 1EE 1·a =13S △C 1D 1E1·EE 1.因为CC 1⊥A 1B 1C 1D 1，EE 1⊥A 1B 1C 1D 1，且D 1E 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EE 1⊥D 1E 1，S △D 1EE 1=12×EE 1×D 1E 1=5.因为正方体的棱长为2，则S △C 1D 1E 1=1，EE 1=2，故C 1到平面D 1EE 1的距离a =S △C 1D 1E 1·EE 1S △D 1EE1=1×25=则直线ED 1与直线CC1之间的距离为.运用该等体积法求异面直线之间的距离，可省去找公垂线的麻烦，且简化了运算的过程.四、函数构造法我们知道，公垂线是两条异面直线之间的最小距离.若很容易找到异面之间的公垂线，但无法快速求得公垂线的长，或无法找到公垂线，可根据勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式等求得公垂线的表达式，或两异面直线上任意两点之间的距离的表达式，然后将其构造成函数模型，通过研究函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得异面直线之间的距离.例4.如图5所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，A 1B 和D 1B 1为正方形ABA 1B 1和正方形A 1B 1C 1D 1的对角线，求异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离.解：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1于点P ，作NP ⊥A 1B 1于点P ，与D 1B 1交于点N .根据三垂线定理可知MN ⊥D 1B 1.设A 1M =x ，在等腰△A 1PM 中，MP =A 1P ，因为A 1B 1=a ，PB 1=a -，PN =(a )sin 45°=12(2a -x )，由于平面ABA 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以PN ⊥PM ，在Rt△PMN 中，MN =PM 2+PN 2=函数y =为复合函数，与二次函数y =3(x -)2+43a 2的单调性一致，由二次函数的性质可知当x 时，函数的最小值为，所以异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离为.通过添加辅助线，构造出垂直于D 1B 1的平面PNM ，只要在平面PNM 中找到一条直线垂直于A 1B ，那么该直线即是异面直线A 1B 和D 1B 1的公垂线.在Rt△PMN 中，根据勾股定理建立关于x 的关系式，求得公垂线的表达式，然后将其看作关于x 的函数式，通过分析函数的单调性求得函数的最小值，即可解题.可见，求异面直线之间的距离，关键是根据几何图形的特点和性质，以及点、线、面的位置关系找到异面直线的公垂线，并求得其长度.同学们可根据题目的条件，灵活选用上述四种方法.（作者单位：江苏省昆山文峰高级中学）图5探索探索与与研研究究50。

求异面直线之间的距离的方法

求异面直线之间的距离的方法宝子，今天咱来唠唠求异面直线之间距离的方法呀。

有一种方法呢，叫定义法。

啥是定义法呢？就是直接根据异面直线距离的定义来求呗。

异面直线的距离就是公垂线段的长度呀。

这就像是在两条异面直线之间找一座最短的桥，这座桥得和两条直线都垂直呢。

不过这方法有时候不太好找这个公垂线段，就像在一堆乱麻里找一根特定的线一样麻烦。

再来说说向量法吧。

向量可是个很神奇的东西呢。

我们可以先找到两条异面直线的方向向量，再找一个向量，这个向量能和这两个方向向量都垂直。

就像给这两条异面直线找一个共同的“好朋友”向量。

然后呢，在两条异面直线上分别找个点，构成一个向量。

用这个向量和那个共同的“好朋友”向量做点积，再除以“好朋友”向量的模长，就有可能得到距离啦。

这就像是通过这个特殊的向量关系来算出两条异面直线之间的“小秘密”距离。

还有一种等体积法呢。

想象一下，把两条异面直线放到一个几何体里，比如说三棱锥。

然后利用三棱锥的体积不变这个特性。

我们可以换不同的底面和高来表示这个三棱锥的体积。

当我们巧妙地选择底面和高的时候，就可以通过体积的等式来求出异面直线之间的距离啦。

这就像是给三棱锥玩了个变身游戏，从不同的角度算出体积，然后揪出异面直线的距离这个小调皮。

宝子呀，这些方法各有各的妙处，在不同的题目里就像不同的小工具。

有时候可能一个方法就轻松搞定，有时候可能得试试好几个方法才能找到最合适的那一个。

多做做题目，你就会对这些方法越来越熟悉啦，就像和它们成了好朋友一样，一看到求异面直线距离的题，就能马上想到用哪个小妙招啦。

异面直线距离的求解方法

异面直线距离的求解方法摘要：在数学教学中，充分运用数学知识的解题功能，有利于学生的全面发展，培养学生分析问题解决问题的能力，从而挖掘学生更深层次的学习潜能。

本文从四个方面探讨了如何根据各种情形运用不同的方法求异面直线的距离，有助于教学难点的突破，可以引导学生更新解题思路，提高学生的思维能力。

关键词：异面直线距离公垂线法最值法线面平行法体积法在立体几何学习中，求异面直线之间的距离是学习中的难点，因此掌握几种求异面直线距离的常用方法是非常必要的。

一、公垂线法找出或作出两异面直线的公垂线然后进行计算是求异面直线之间的距离的首要方法。

由于两条异面直线的公垂线唯一存在，因此有时找出或作出其公垂线比较困难，但是如果两异面直线中的一条在另一条所在的垂面内时，它们之间的公垂线往往比较容易作出。

例1：边长为a的正方形的两条对角线AC，BD交于O，以BD为折痕将正方形折成空间图形，这时若△ACD为等边三角形，求异面直线AC和BD之间的距离。

解：如图，∵△ACD为等边三角形∴AD=DC=AC=AB∴点A在平面BCD的射影O为△BDC的外心∵△BCD为直角三角形∴O为斜边BD的中点∵AO⊥平面BCD∴AO⊥BD又∵OC⊥BD∴BD⊥平面AOC在平面AOC内作OE⊥AC于E，则OE为异面直线BD、AC距离。

∵AO=OC=a，AC=a，又在Rt△AOC中，OA #8226;OC=AC #8226;OE∴OE==a二、最值法如果两条异面直线分别在两个互相垂直的平面内，应用最值法求两条异面直线的距离是比较方便的。

我们知道两条异面直线之间的距离是连结异面直线上两点距离中的最小者，故我们可以将异面直线的距离表示成某个变量的目标函数，通过求函数的最小值求得两条异面直线的距离。

例2：已知正方体ABCD—ABCD的棱长为a，求异面直线AB和BD的距离。

解：如图，在AB上任取一点M，在平面AB内作MP⊥AB于P，在平面AC内作PN⊥BD 于N，连MN。

「高中数学异面直线距离(教师用)」

求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解；或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离,或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离,或转化为求一元二次函数的最值问题,或用等体积变换的方法来解。

方法一、定义法也叫直接法,根据定义,找出或作出异面直线的公垂线段,再计算此公垂线段的长。

这是求异面直线距离的关键。

该种方法需要考虑两种情况:一是如两条一面直线垂直,一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。

若两个直线不垂直,则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直,则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。

例１已知:边长a 为的两个正方形ＡBCD 和ＣDE Ｆ成１200的二面角,求异面直线C Ｄ与AE 间的距离。

思路分析：由四边形A ＢＣD 和CD ＥＦ是正方形，得ＣD ⊥AD,ＣD ⊥DE,即C Ｄ⊥平面ADE,过D 作ＤH ⊥AE 于H,可得D Ｈ⊥ＡE ，DH ⊥CD ，所以ＤH 是异面直线ＡE 、CD 的公垂线。

在⊿ADE 中,∠ＡＤE ＝1200,AD=DE=a ，D Ｈ＝2a 。

即异面直线CD 与ＡE 间的距离为2a 。

例2 如图，在空间四边形A ＢC Ｄ中,ＡB =ＢC ＝CD ＝D Ａ＝AC =BD =ａ，E 、F 分别是AB 、ＣD 的中点．(1)求证：E Ｆ是AB 和CD 的公垂线;(2)求AB 和C Ｄ间的距离；（3)求EF 和ＡC 所成角的大小.(1）证明：连结AF ,B Ｆ,由已知可得AF ＝BF ．又因为AE =B Ｅ,所以F Ｅ⊥ＡB 交AB 于Ｅ.同理ＥF ⊥ＤC 交ＤC 于点F .所以EF 是AB 和C Ｄ的公垂线.(2）在R ｔ△BE Ｆ中，ＢF ＝a 23，BE =a 21，所以E Ｆ2＝BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22．由（1)知EF 是AB 、C Ｄ的公垂线段,所以AB 和ＣＤ间的距离为a 22. （3）过E 点作EG ∥ＡC 交BC 于G ,因为E 为ＡＢ的中点，所以G 为B Ｃ的中点.所以∠FEG 即为异面直线E Ｆ和AC 所成的角.A B H D C E F例2题图在△FEG 中,E Ｆ=a 22,E Ｇ＝a 21，FG =a 21, ｃｏs ∠F ＥG ＝222222=⋅⋅-+EG EF FG EG EF . 所以 ∠FEG ＝45°所以异面直线EF 与AC 所成的角为45°.例3 正方体A ＢCD-A 1Ｂ1C 1D １棱长为a,求异面直线ＡC 与B Ｃ１的距离。

异面直线间的距离(全部方法详细例题)

同里曲线间的距离之阳早格格创做供同里曲线之间的距离是坐体几许沉、易面之一.常有利用图形本量，间接找出该公垂线，而后供解；大概者通过空间图形本量，将同里曲线距离转移为曲线与其仄止仄里间的距离，大概转移为分别过二同里曲线的仄止仄里间的距离，大概转为供一元二次函数的最值问题，大概用等体积变更的要领去解.时常使用要领有：1、定义法2、笔曲仄里法（转移为线里距）3、转移为里里距4、代数供极值法5、公式法6、射影法7、背量法8、等积法1 定义法便是先做出那二条同里曲线的公垂线，而后供出公垂线的少，即同里曲线之间的距离.例1 已知：边少a为的二个正圆形同里曲线CD与AE间的距离.思路分解：由四边形ABCD战CDEF是正圆形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥仄里ADE，过D做DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是同里曲线AE、CD的公垂线.正在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，即同里曲线CD与AE2 笔曲仄里法：转移为线里距离，若a、b是二条同里曲线，过b上一面A做a的仄止线a/，记a/与b决定的仄里α.进而，同里曲线a、b间的距离等于线里a、α间的距离.例1 如图，BF、AE二条同里曲线分别正在曲二里角P-AB-Q的二个里内，战棱分别成α、β角，又它们战棱的接面间的距离为d，供二条同里曲线BF、AE间的距离.思路分解：BF、AE二条同里曲线分别正在曲二里角P-AB-Q的二个里内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，正在仄里Q内，过B做BH‖AE，将同里曲线BF、AE间的距离转移为AE与仄里BCD间的距离，即为A到仄里BCD 间的距离，又果二里角P-AB-Q是曲二里角，过A做AC⊥AB接BF于C，即AC⊥仄里ABD，过A做AD⊥BD接于D，连结CD.设A到仄里BCD的距离为h.由体积法V A-BCD=V C-ABD，得3转移为里里距离若a、b是二条同里曲线，则存留二个仄止仄里α、β，且a∈α、b∈β.供a、b二条同里曲线的距离转移为仄止仄里α、β间的距离.例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，供同里曲线AS与BC的距离.思路分解：那是一没有简单间接供解的几许题，把它补成一个易供解的几许体的典型例子，时常偶尔还常把残破形骸补成完备形骸；没有准则形骸补成准则形骸；没有认识形骸补老练悉形骸等.所以，把三棱锥的四个里偶像到少圆体割去四个曲三棱锥所得，果此，将三棱锥补形转移为少圆体，设少圆形的少、宽、下分别为x、y、z，解得x=3，y=2，z=1.由于仄里SA‖仄里BC，仄里SA、仄里BC间的距离是2，所以同里曲线AS与BC的距离是2.4 代数供极值法根据同里曲线间距离是分别正在二条同里曲线上的二面间距离的最小值，可用供函数最小值的要领去供同里曲线间的距离.例4 已知正圆体ABCD-A1B1C1D1的棱1 AC少为a ，供A 1B 与D 1B 1的距离.思路分解：正在A 1B 上任与一面M ，做MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只央供出MN 的最小值即可.设A 1M=x ，则，A 1所以PB 1=a–x ，PN=（a–x ）sin450=a –x ），当MN min5公式法同里曲线间距离公式：距离.例5 已知圆柱的底里半径为3，下为4，A 、B 二面分别正在二底里圆周上，而且AB=5，供同里曲线AB 与轴OO /之间的距离.思路分解：正在圆柱底里上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的下，AB=5，所以即同里曲线AB 与轴OO /6 射影法将二条同里曲线射影到共一仄里内，射影分别是面战曲线大概二条仄止线，那么面战曲线大概二条仄止线间的距离便是二条同里曲线射影间距离.例6 正在正圆体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中面，E 是BD 的中面.供同里曲线D 1M 、EN 间的距离.思路分解：二条同里曲线比较易转移为线里、里里距离时，可采与射影到共一仄里内，把同里曲线D 1M 、EN 射影到共一仄里BC 1内，转移为BC 1、QN 的距离，隐然，易知BC 1、QN 的距所以同里曲线D 1M 、EN7.背量法：先供二同里曲线的大众法背量，再供二同里曲线上二面的连结线段正在大众法背量上的射影少.例7 已知：正圆体ABCD-A 1B 1C 1D 1供同里曲线DA 1与AC 的距离.瞅做是.此题西席带领，教死心述，西席正在课件上演示解题历程，归纳解题步调.1NC解：如图所示修坐空间曲角坐标系D-xyz∴D(0,0,0)A1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0)线DA1与AC∴同里曲线DA1与AC的距离为步调小结：供同里曲线间的距离:⑴修坐空间曲角坐标系；⑵写出面的坐标，供出背量坐标；离公式.例8 已知：SA⊥仄里ABCD,∠DAB=∠SA=AB=BC=a,AD=2a，供A到仄里SCD的距离.解：如图所示修坐空间曲角坐标系A—xyz∴A（0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴设里SCD∴面A到里SCD A到里SCD的距离为36a八等积法把同里曲线间的距离转移为供某个特殊几许体的的下，利用体积相等供出该下的少度.例：正四棱锥S-ABCD中，底里边少为a，侧棱少为b(b＞a)．供：底里对于角线AC与侧棱SB间的距离．设BC与仄里SAD间的距离为d，则以B为顶面，△SAD为底里的三棱锥的体积为而以S为顶面，△ABD为底里的三棱锥的体积为。

向量法求异面直线距离

向量法求异面直线距离异面直线是指在三维空间中不在同一平面上的两条直线。

可以使用向量法来求异面直线间的距离。

首先，我们需要确定两条异面直线的方程。

一般情况下，异面直线的方程可以写成以下形式：L1: r = a1 + t1 d1L2: r = a2 + t2 d2其中，a1和a2是两条直线上的点，d1和d2分别是两条直线的方向向量，t1和t2是参数。

我们可以通过两点法或点向式法求得两条直线上的点。

具体方法如下：两点法：已知异面直线上两个点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)，则可以得到两条直线的参数式方程：L1: r = P1 + t1 (P2 - P1)L2: r = P2 + t2 (P1 - P2)点向式法：已知异面直线上一点P(x0,y0,z0)和方向向量d(a,b,c)，则可以得到两条直线的参数式方程：L1: r = P + t1 dL2: r = P + t2 d'其中，d'为L2的方向向量。

接下来，需要计算两条直线之间的距离。

我们知道，两条平行直线的距离为它们之间任意两个点之间的距离。

因此，我们可以通过计算两条直线上任意两个点之间的距离来求得异面直线的距离。

假设我们在L1上取一个点Q1(x1,y1,z1)，在L2上取一个点Q2(x2,y2,z2)。

我们可以通过以下公式计算两点之间的距离d：d = | (Q2 - Q1) · n | / | n |其中，“·”表示点乘，n为两个方向向量的叉积。

对于计算两个向量的叉积，我们可以使用行列式的方法：n = | i j k || d1x d1y d1z || d2x d2y d2z |其中，i、j、k为单位向量，d1和d2分别为L1和L2的方向向量。

总结一下求异面直线距离的步骤：1.求出两条异面直线的参数式方程；2.在两条直线上各自任意取一点，计算它们之间的距离；3.求出两个方向向量的叉积，并计算出它的模长；4.将步骤2和步骤3的结果代入公式中，求得异面直线的距离。